7.3多元函数积分学

7.3多元积分学

一、问题的提出回想：定积分中会求平行截面面积为已知的立体体积，旋转体体积。一般立体的体积如何求？１．曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是平面上的有界闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于的柱面，此立体称为曲顶柱体。这里且在上连续。它的顶是曲面柱体体积=特点：平顶.曲顶柱体体积=曲顶柱体特点：曲顶.分析：底面积×高？回忆：曲边梯形面积如何求？思想是以直代曲、以不变代变。如何创造条件使平与曲这对矛盾转化？求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：2)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，1)先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，3)曲顶柱体的体积二、二重积分的概念1、二重积分定义定义设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，2)作乘积

3)求和上任取一点在每个1)积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素零时，这和式的极限存在；即如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于记为4)二重积分，在闭区域上的则称此极限为函数对二重积分定义的说明：(1)

在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的；在小区域内的点的取法是任意的。(2)二重积分中面积元素象征着积分和中的因此在直角坐标系下用平行于D则面积元素为(3)坐标轴的直线网来划分区域故在直角坐标系下二重积分可写为中是()(A)最大小区间长(B)小区域最大面积(C)小区域直径(D)最大小区域直径D选择题3、二重积分的几何意义若在有界闭区域上连续，则上的二重积分在D上的二重积分存在。1)当时，二重积分表示以为底的曲顶柱体体积。为顶，以此时，二重积分表示曲顶柱体体积的负值。2)当被积函数时，柱体在面下方，2、二重积分的存在定理3)当在的若干部分区域上是正的，而在其它部分区域上是负的，体积取为正，面下方的柱体体积取为负，在上的二重积分就等于这些区域上的柱体体积的代数和。例设为圆域二重积分则面上方的柱体可以把性质1（二重积分与定积分有类似的性质）设为常数，则三、二重积分的性质性质2对区域具有可加性性质3性质4则有若为的面积，则若在上，特别地其中则()。(A)(B)(C)(D)无法比较比较C与的大小，比较性质5（二重积分估值不等式）不作计算，估计的值，其中是：例解最大值和最小值，为D的面积，设分别是在闭区域D上的则设函数),(yxf在闭区域上连续，（二重积分中值定理）性质6

的面积，为证显然设在上的最大值和最小值分别为则所以由介值定理可知：在上至少存在一点使得两端乘以就得所要证的不等式。上至少存在一点使得则在二重积分中值定理几何意义若为在闭区域上的非负连续函数，则以为曲顶的曲顶柱体的体积为底，为底，内某点的函数值等于以D为底，以为高的平顶柱体的体积。解例1

估计的值，其中

故解

例2判断的符号。解例3

的大小,

与比较积分其中是三角形闭区域，三顶点各为在D内有

如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.三、利用直角坐标系计算二重积分－型区域出口曲线入口曲线应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.得等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。的值于是上式右端的积分称为先对后对的二次积分。先把看作常数，对计算从到的定积分；的结果再对计算在区间上的定积分。记为即然后把计算只看作的函数，把并上式对于在区域D上的一般可积函数f(x,y)仍成立。－型区域的特点：穿过区域内部且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.于是得若则如果积分区域为：－型区域－型区域的特点：穿过区域内部且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.则若既是－区域，表示为又是－区域，表示为解积分区域如图若区域如图，在分割后的三个区域上分别则必须分割.使用积分公式例1

改变积分

的次序.原式解积分区域如图例2

改变积分的次序.原式

解例3求，其中是由抛物线和所围平面闭区域.解例4求，其中是以为顶点的三角形.无法用初等函数表示，

11解例5计算积分

例8计算解其中区域由曲线所围成。若将看作－区域，于是关于为奇函数注：此例也可以按－区域计算。（或关于)是偶函数，（或关于)是奇函数，此例说明积分区域关于轴对称，被积函数关于为奇函数，则该二重积分为零。一般地，在计算二重积分时，1)若积分区域关于）轴对称，（或2)若积分区域关于）轴对称，（或而被积函数则而被积函数上(或右）则如：四、利用极坐标系计算二重积分其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这个小区域内取一点该点的直角坐标设为则于是即或其中就是极坐标系中的面积元素。极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域，宜采用极坐标。且被积函数又呈或时，注：二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（3）区域特征如图区域特征如图解例1

写出积分的极坐标二次积分形式，其中