第2节常用逻辑用语-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节常用逻辑用语高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确对全称量词命题与存在量词命题进行否定.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp微点拨充分条件与必要条件的两个特征:(1)对称性:“p⇒q”⇔“q⇐p”.(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).微思考“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”含义相同吗?提示

不相同.“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA;“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB.2.全称量词命题与存在量词命题(1)全称量词与存在量词①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“∀”表示.

②短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“∃”表示.

全称量词

存在量词

(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定

有些命题中省略了量词,在进行否定时先改写为完整形式,再进行否定

命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定

结论全称量词命题的否定是

命题

存在量词命题的否定是

命题

∃x∈M,￢p(x)∀x∈M,￢p(x)存在量词

全称量词

微点拨1.含有一个量词的命题与它的否定真假性相反.2.在对“含有一个量词的命题”进行否定时,首先要改变量词符号,其次要将结论否定,二者缺一不可.常用结论p是q的充分不必要条件⇔￢p是￢q的必要不充分条件;p是q的必要不充分条件⇔￢p是￢q的充分不必要条件;p是q的充要条件⇔￢p是￢q的充要条件.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p.(

)2.命题“∃α∈R,使sin2α=2sin

α”是假命题.(

)3.若p是q的充分不必要条件,且p是r的必要不充分条件,则r是q的充分条件.(

)4.对全称量词命题进行否定时,全称量词可以不改为存在量词.(

)√×√×题组二回源教材5.(人教B版必修第一册1.2.2节练习B第3题)已知区间M=[a,a+1],且“∀x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围.解

依题意应有a+1>0,所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞).6.(人教B版必修第一册习题1-2B第5题)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解

依题意集合A是集合B的真子集,所以a<3,即实数a的取值范围为(-∞,3).7.(人教A版必修第一册35页复习参考题7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根;(2)每个正方形都是平行四边形;(4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.解

(1)∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0,没有实根.假命题.(2)有些正方形不是平行四边形.假命题.(4)所有的四边形ABCD,其内角和等于360°.真命题.题组三连线高考8.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A解析

若x为整数,则2x+1一定为整数;但2x+1为整数,x不一定为整数,例如当x=时,所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件,选A.9.(2021·全国乙,理3改编)已知命题p:∃x∈R,sin

x<1,命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列说法正确的是(

)A.p真q真 B.p真q假C.p假q真 D.p假q假A解析

易知命题p是真命题,又当x∈R时,|x|≥0,所以e|x|≥1,即命题q也是真命题,故选A.2研考点精准突破考点一充分条件与必要条件的判断与探求(多考向探究预测)考向1充分条件与必要条件的判断例1(1)(2024·广州调研测试)已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x-1|<2,则p是q的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析

由已知得p:-2<x<3,q:-1<x<3,由于{x|-1<x<3}⫋{x|-2<x<3},所以p是q的必要不充分条件,故选B.(2)(2024·河北石家庄模拟)已知复数z1,z2,“z2>z1”是“>1”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件D考向2充分条件与必要条件的探求例2(1)(2024·重庆万州模拟)下列四个条件中,是“x<y”的一个充分不必要条件的是(

)A.x2<y2 B.xz<yzC.xz2024<yz2024 D.x+x5<y+y5C解析

若x2<y2,可能有y<x<0,不能推出x<y,充分性不成立,故A错误;若xz<yz,当z<0时,有x>y,此时x<y不成立,充分性不满足,故B错误;由xz2

024<yz2

024得z≠0且z2

024>0,此时x<y成立,反之若x<y,当z=0时,xz2

024<yz2

024不成立,故C正确;设f(x)=x+x5,则f(x)在定义域上单调递增,则由x+x5<y+y5,得f(x)<f(y),此时x<y,反之也成立,即“x+x5<y+y5”是“x<y”成立的充要条件,故D错误,故选C.(2)(2024·四川绵阳模拟)命题“∀x∈[-2,3],x2-2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(

)A.a≥1 B.a≥C.a≥5 D.a≤4A[对点训练1](1)(多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是(

)CD(2)(2024·辽宁沈阳检测)设x∈R,则lgx>ln

x的充要条件是(

)A.x>0 B.x>1

C.x>10

D.0<x<1D考点二充分条件与必要条件的应用例3(2024·山东青岛检测)已知集合A是函数

的定义域,非空集合B={x|1-m≤x≤1+2m},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数m的取值集合是

.

{0}解析

依题意,A={x|1≤x≤5},由于集合B={x|1-m≤x≤1+2m}非空,所以1-m≤1+2m,即m≥0.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B是A的真子集,则有m≥0且

(两个等号不同时取到),解得m=0,故实数m的取值范围是{0}.变式探究1(变条件)本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m的取值范围为

.

[2,+∞)

解析

因为x∈A是x∈B的充分而不必要条件,所以A是B的真子集,所以m≥0,且

(两个等号不同时取到),解得m≥2,即实数m的取值范围是[2,+∞).变式探究2(变条件)本例中,其他条件不变,试探究是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件?解

不存在.若x∈A是x∈B的充要条件,则有m≥0且A=B,即

此方程组无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件.[对点训练2](1)(2024·广东惠州模拟)设p:.若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(

)A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]D(2)(2024·山东潍坊模拟)若“x=α”是“sin

x+cosx>1”的一个充分条件,则α的一个可能值是

.

考点三全称量词与存在量词(多考向探究预测)考向1含有一个量词的命题的否定

C解析

原命题为全称量词命题,其否定为“∃α∈(0,),sin2α+tan

2α≤2”,故选C.(2)(2024·山西太原模拟)命题“存在等差数列{an},满足=a3a7”的否定是

.

解析

原命题是一个存在量词命题,所以其否定应为全称量词命题,即“对于任意一个等差数列{an},都不满足

=a3a7”.考向2全称量词命题与存在量词命题的真假判断例5(多选题)(2024·河北沧州检测)下列命题是真命题的是(

)A.∀x∈R,sin2x=2sin

xB.∃x∈{x|x=7k,k∈Z},使得x+1为质数C.∀x∈R,2x+21-x≥D.存在奇函数f(x),使得f(-2)=f(2)BCD

规律方法全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题类型真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象都使结论为真否定为假假存在一个对象使结论为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使结论为真否定为假假所有对象都使结论为假否定为真[对点训练3](多选题)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)下列命题中,是真命题的有(

)A.∀x∈R,都有x2-3x>x-4B.∃α,β∈R,使得sin(α+β)=