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第三章

导数及其运用第二节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题【例1】已知函数f(x)＝ex－1－asinx.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x，求a的值；解：由f(x)＝ex－1－asinx，得f′(x)＝ex－acosx.因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x，所以f′(0)＝1－a＝－1，解得a＝2.核心考点提升“四能”分离参数(构造函数)解决恒成立问题

反思感悟1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题

分离参数(构造函数)解决能成立问题

反思感悟1．含参数的能成立(存在型)问题的解题方法(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min.(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.2．含全称量词、存在量词不等式的能成立问题(1)存在x1∈A，对任意x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max.(2)对任意x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.

xh′(x)＋0－h(x)单调递增单调递减

双变量不等式恒(能)成立问题

x02g′(x)

－0＋

g(x)－3单调递减单调递增1

反思感悟“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换．常见的等价变换有：(1)∀x1∈M，∀x2∈N，使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x)max≤g(x)min.(2)∀x1∈M，∃x2∈N，使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x)max≤g(x)max.(3)∃x1∈M，∀x2∈N，使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x)min≤g(x)min.(4)∃x1∈M，∃x2∈N，使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x)min≤g(x)max.

x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减0

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