人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题抽象函数的性质学案

微专题抽象函数的性质抽象函数是高中数学的难点，也是近几年高考试题的热点．抽象函数与函数的单调性、周期性、奇偶性和对称性相结合的题目往往难度大，综合性强，解此类题目定义是根本，特值代入是妙法，充分理解和运用已知的抽象式是关键．抽象函数一般都基于基本初等函数，找到原型，数形结合可化抽象为具体．本专题就抽象函数的性质及应用予以讲解．类型一抽象函数的奇偶性与单调性【例1】若f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，都有fx1-fx2x1-x2>0，则a＝f(sin3)，bA．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>b>aA解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有fx所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．由f(x)为偶函数，得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．因为0<sin3<1，1<ln3<2，21.5＞2，fln13＝f(－ln3)＝所以f(sin3)>f(ln3)>f(21.5)，即a>b>c.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．类型二抽象函数的周期性【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，则eq\i\su(k＝1,22,)f(k)＝()A.－3 B．－2C．0 D．1A解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，即有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.因为22＝3×6＋4，所以eq\i\su(k＝1,22,)f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.抽象函数的周期(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1fx(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.类型三抽象函数的奇偶性和对称性【例3】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是()A．f(e12)＜f(ln2)＜fB．f(ln2)＜f(e12)＜fC．f(ln2)＜f(10)＜f(e12D．f(10)＜f(e12)＜fD解析：根据题意，函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，即f(x)是周期为6的周期函数．由y＝f(x＋3)为偶函数，知函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则f(10)＝f(4)＝f(2)，而ln2＜lne＝1，1＜e12＜3又由f(x)在(0，3)内单调递减，则有f(2)＜f(e12)＜f(ln2)，故f(10)＜f(e12)＜【例4】(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则eq\i\su(k＝1,22,)f(k)＝()A．－21 B．－22C．－23 D．－24D解析：因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)．因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立，得g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称．因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6.因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以eq\i\su(k＝1,22,)f(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.故选D.已知函数f(x)是定义在R上的函数：(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关