第6章 第3课时　等比数列-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第3课时等比数列[考试要求]1．理解等比数列的概念.2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1an＝q(n∈(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn-1＝amqn－m.(2)前n项和公式：Sn＝n提醒：求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．3．等比数列的性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝ak(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则λanλ≠0，1an，a(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．[常用结论]1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增． ()(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ()(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列． ()(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝a1−an(5)若数列{an}为等比数列，Sn是其前n项和，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则aA．32 C．－32 D．－3或D[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12∴a2＝a3q＝322．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于()A．31 B．32C．63 D．64C[根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．27[依题意a1＝1，a5＝9，所以a1a5＝a2a4＝a32＝9，所以a3＝3或a3＝－3(舍去)，所以a2a3a4＝a34．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．1，3，9或9，3，1[设这三个数为aq，a，aq，则a+aq∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]考点一等比数列基本量的运算[典例1](1)(2024·河北唐山模拟)已知数列ann为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则aA．30 B．±30C．40 D．±40(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．(1)C(2)－12[(1)令bn＝ann，设数列ann的公比为q，因为a所以b4＝a44＝12，b8＝a88＝2，又b8＝b4q4，所以q4＝所以b10＝a1010＝b8q2＝4，所以a10故选C.(2)若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8a11−即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－12等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会漏解或增解．[跟进训练]1．(1)(2024·山东淄博实验中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5S10＝133，a4A．127 B．254C．510 D．255(2)(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________，数列{an}所有项的和为________．(1)D(2)48384[(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则显然q≠1．因为S5S10＝133，所以S5S10＝a解得q＝2．由a4＝8，得a1＝a4所以S8＝1−281−2＝28(2)∵数列{an}的后7项成等比数列，an>0，∴a7＝a5a9∴a3＝a52a∴公比q＝a5a3∴a4＝3×2＝6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{an}的所有项的和为3a1+a3【教师备选资源】1．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则bn＝()A．2×3n B．2×3n-1C．2×3n＋1 D．2×3n-1＋1B[依题意，bn＋1－1＝3(bn－1)＋2，∴bn＋1＝3bn，即bn是首项为2，公比为3的等比数列，bn＝2×3n-12．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长3尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．2.9天 B．3.9天C．4.9天 D．5.9天C[设蒲的长度组成等比数列{an},a1＝3，公比为12，前n项和为An莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝31−12n1−1由题意可得5×31−12解得2n＝30或2n＝1(舍去)．∴n＝log230＝lg30lg2＝lg3+1考点二等比数列的判定与证明[典例2]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.[证明]选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)，因为{an}是等比数列，所以Aq−1q＝A2，解得q＝2，所以a2＝2选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，所以Sn＝a11−2n1−2＝a1(2n－1)，即Sn＋a1因为Sn+1+a1S选②③作为条件证明①：设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)．因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)＝A·2n-2＝a1·2n-1，所以an+1an＝2(n≥2)，又因为a2＝2a判定一个数列为等比数列的常见方法[跟进训练]2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由题意可得a1解得a1=1，q=3，所以an＝3n-1(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时Sn＋12＝12×3n，则故存在常数λ＝12，使得数列S【教师备选资源】(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是()A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D．数列1an是公比为AD[对于A，由anan+1an−1an＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，1考点三等比数列性质的应用[典例3](1)(2023·福建漳州三模)已知数列{an}为递减的等比数列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，则anA．12B．1235C．(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3＝1，S6＝5，则S9(1)A(2)4[(1)∵{an}为递减的等比数列，∴a解得a3=∴an的公比q＝3a6(2)因为Sn为等比数列{an}的前n项和，S3＝1，S6＝5，所以由等比数列的性质可得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以S9−S6S应用等比数列性质的两个关注点[跟进训练]3．(1)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于()A．40 B．36C．54 D．81(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．(3)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．(1)C(2)－2(3)2[(1)在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·a3+a4a(2)法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．①又a9a10＝a1q8·a1q9＝a12q17所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.法二：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.(3)由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)，所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)．又q＞0，an＞0，所以q＋1＝3，即q＝2．]课时分层作业(三十八)等比数列一、单项选择题1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－7，S6＝－63，则公比q＝()A．－2 B．2C．－12 D．B[法一：由等比数列的性质，得q3＝S6−S3S3＝−63−法二：由题得q≠1，∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝－7，S6＝－63，∴S解得q＝2.故选B.]2．(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．32D[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以a2+a3+a4a1+a2+a3＝a1+a2+a3qa1+a2+a3＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝17，所以a6＋a7＋a8法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则bn+1bn＝an+1+an+2+an+3an+an+1+an+2＝an+an+1+an+3．(2024·湖北名校联盟模拟)已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为7，前3项的积为8，则a4的值为()A．2 B．4C．6 D．8D[由前3项的和为7，得a1＋a1q＋a1q2＝7，前3项的积为8，得a1a2a3＝a23＝8，即a则a1＝2q，代入a1＋a1q＋a1q2＝7，得2q+2q·q＋2q·q2＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得因为an所以q＝2，则a1＝2q所以a4＝1×23＝8.故选D.]4．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2 B．3C．4 D．5C[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴2k+11−2即2k+1(210－1)＝25(210－1)，∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.故选C.]5．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为()A．3 B．18C．54 D．152C[因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2，所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，由等比数列的性质可得，a22＝a1·即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，所以a1＝2或a1＝－1(舍)，所以a2＝6，q＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54.故选C.]6．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－120C[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则a11−q41−q=−5，a11−q61−q=法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a11−q41−q=−57．(2024·福建福州模拟)音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m＝2n，则k－lA．400 B．500C．600 D．800C[由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列，设第一个音为a1，所以an＝a1(12002)n－1，故m＝a1(12002)k－1，n＝a1(12002因为m＝2n，所以mn＝a1(12002)k−1a1(12002)l−1＝(12002)k－故选C.]8．(2023·山东济南一模)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝12，则Tn取最大值时nA．3 B．6C．4或5 D．6或7C[an＝a1qn-1＝16×12n−1＝24×21-n＝25-故Tn＝a1a2…an＝24×23×…×25-n＝24+3+…+5-n＝2n4+5−n2因为n∈N*，所以当n＝4或5时，Tn取得最大值．故选C.]二、多项选择题9．(2023·浙江温州二模)Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则()A．a＋c＝0 B．b是数列{an}的公比C．ac<0 D．{an}可能为常数列ABC[设等比数列{an}的公比为q.当q＝1，Sn＝na1，显然不是Sn＝a·bn＋c的形式，故不满足，D错误；当q≠1，Sn＝a11−qn1−q＝a11−q−a11−q·qn，所以c＝a11−q，a＝－a10．(2024·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则()A．数列{an＋2n}是等比数列B．数列anC．an＝2×3n－2n+1D．Sn＝2(3n－2n)ABD[an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，又a1＋2＝4≠0，an+1+2n+1an+2n＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2an+12n+1＋1＝3an+2n2三、填空题11．在正项等比数列an中，a3与a8是方程x2－30x＋10＝0的两个根，则lga1＋lga2＋…＋lga105[因为a3与a8是方程x2－30x＋10＝0的两个根，所以a3a8＝10，因为{an}为正项等比数列，所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，所以lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1·a2·…·a10)＝lg(a3a8