第7章 第6课时　空间向量的运算及其应用-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第6课时空间向量的运算及其应用[考试要求]1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量及其有关定理概念语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．2．空间向量的数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉．3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝a·a夹角公式cos〈a，b〉＝a·b4．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[常用结论]1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．三点共线AB＝λBC(λ≠0)．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面． ()(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)． ()(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． ()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AC1＝xAB1＋yAC＋zAD1，则A．3B．2C．32C[AC1＝xAB1＋y＝x(AB+AA1)＋y(AB+＝(x＋y)AB＋(y＋z)AD＋(z＋x)AA而AC1＝所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝323．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为()A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)C．(0，1，－6) D．(0，2，10)BC[依题意，点C在Oyz平面上，设C(0，y，z)，由于|AC|＝|BC|，|AC|2＝|BC|2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，整理得5y＋z＋1＝0，通过验证可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，所以BC选项正确．故选BC.]4．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝34OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，18[∵P，A，B，C四点共面，∴34+18＋t＝1，考点一空间向量的线性运算[典例1](1)(2023·辽宁大连双基测试)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝x，−12x，3A．5B．21C．4D．21(2)(2024·山东济南模拟)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON＝23OM，设OA＝a，OB＝b，OC＝A．OP＝14a＋14b＋B．AN＝a＋13b＋1C．AP＝－34a＋14b－D．OM＝12b－1(1)D(2)A[(1)由题意x−2＝−12x1即b＝−1，12，2，|b故选D.(2)因为ON＝23OM，OA＝a，OB＝b，所以AN＝AO+ON＝AO+23OM＝AO+23因为AP＝34AN＝3413b+13c因为OM＝12(OB+OC)＝1因为OP＝OA+AP＝a＋−34a+14b＋14c＝空间向量线性运算中的三个关键点[跟进训练]1．(1)在空间四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，AD＝c，则CD＝()A．a＋b－c B．c－a－bC．a－b－c D．b－a＋c(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简A1②用AB，AD，AA1(1)B(2)①A1A②12CD＝CB+BD＝CB＋(AD−AB)＝－b＋c－a＝c－(2)①A1O−12AB−12②因为OC＝12AC＝1所以OC1＝OC+CC1＝【教师备选资源】以下四组向量在同一平面的是()A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)B[对于A，设(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以n=对于B，因为(2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三个向量共面；对于C，设(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以x+对于D，设(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以0=考点二空间向量数量积的应用[典例2]如图所示，在四棱柱ABCD−A1B1C(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．[解](1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.AC1＝a＋b∴|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12+12+12＝6，∴|A(2)证明：∵AC1＝a＋b＋c，BD＝b－a∴AC1·BD＝(a＋b＋c)·(b＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴AC1⊥BD，∴AC1⊥BD(3)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝2，|AC|＝3，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·∴cos〈BD1，AC〉＝BD∴AC与BD1夹角的余弦值为66空间向量数量积的应用[跟进训练]2．(1)(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，OA＝(－1，2，1)，OB＝(－1，2，－1)，OC＝(2，3，－1)，则()A．|AB|＝2B．△ABC是等腰直角三角形C．与OA平行的单位向量的坐标为66，D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为−(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·(1)AC(2)[0，1][(1)根据空间向量的线性运算，AB＝OB−∴|AB|＝02AC＝OC−OA＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，∴|AC|＝32+1BC＝OC−∴|BC|＝32+1计算可得，△ABC三条边不相等，B错误；与OA平行的单位向量为e＝±OAOA＝±＝±−1，2，OA在OB方向上的投影向量与向量OB共线，而−23，43故选AC.(2)由题意，设BP＝λBD1，其中λ∈[0，1]，DC·AP＝AB·(AB+BP)＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝AB2考点三利用向量证明平行与垂直[典例3]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[证明](1)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M32∴DP＝(0，－1，2)，DA＝(23，3，0)，CM＝32设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，由DP·n令y＝2，则n＝(－3，2，1)是平面PAD的一个法向量．∵n·CM＝－3×32＋2×0＋1∴n⊥CM.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)法一：由(1)知BA＝(0，4，0)，PB＝(23，0，－2)，设平面PAB的法向量为m＝(x0，y0，z0)，由BA·m令x0＝1，则m＝(1，0，3)是平面PAB的一个法向量．又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2，1)，∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴平面PAB⊥平面PAD.法二：取AP的中点E，连接BE，则E(3，2，1)，BE＝(－3，2，1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.∵BE·DA＝(－3，2，1)·(2∴BE⊥DA，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，DA，PA⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD.∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.1．利用向量法证明平行问题(1)线线平行：方向向量平行．(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：两平面的法向量平行．2．利用向量法证垂直问题(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．[跟进训练]3．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．[解]以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，Ea2，1，0，故AD1＝(0，1，1)，B1因为B1E·AD1＝－a2×因此B1E⊥AD1，所以B1E(2)存在满足要求的点P，理由如下：假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．AB1＝(a，0，1)，AE＝因为n⊥平面B1AE，所以n⊥AB1，n⊥得ax取x＝1，则y＝－a2，z＝－a则平面B1AE的一个法向量n＝1，要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥DP，有a2－az0解得z0＝12所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12课时分层作业(四十七)空间向量的运算及其应用一、单项选择题1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于()A．310B．210C．10D．5A[∵a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，∴a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝92+32．(2024·安徽滁州模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6B[向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.故选B.]3．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，若向量a，b，c共面，则实数m等于()A．4 B．6C．8 D．10A[因为向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，且向量a，b，c共面，所以c＝xa＋yb，x，y∈R，即2x+y=−1，x−4y=22故选A.]4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±66 B．6C．－66 D．±C[由于OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，OB＝(0，－1，1)，则cos120°＝λ+λ1+2λ2·2＝－12，解得λ＝±5．(2024·山东潍坊模拟)已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c＝()A．52，54C．54，5B[向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝4+1+故向量a在向量b上的投影向量c＝a·bb·bb6．(2024·广东广州模拟)在空间四边形ABCD中，AB·A．－1 B．0C．1 D．不确定B[令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.]7．(2024·山西太原模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG＝2GE，则GF＝()A．1B．1C．－2D．－1D[因为AG＝2GE，所以GE＝13AE，又E是所以AE＝12(AB+AC)，所以GE＝1因为EF＝EC+CF，E，F分别是BC，CC所以EF＝12(BC因此GF＝GE+EF＝16(AB故选D.]8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1A．斜交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内B[建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝2a3，则Ma，2a3，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C因为MN·所以MN⊥C1D1，又MN⊄平面BB1C所以MN∥平面BB1C1C.]二、多项选择题9．(2023·湖北十堰二模)《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，B1D＝2DA．AD＝AB．AD＝AC．向量AD在向量AB上的投影向量为2D．向量AD在向量AC上的投影向量为2BD[因为AD＝AA1+A1B1+如图所示，过点D作DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，EG垂直于AC，故向量AD在向量AB上的投影向量为AF，向量AD在向量AC上的投影向量为AG，由题意易得AFAB＝13，AGAC＝23，故AF10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，点P为线段AA．当A1C＝2A1P时，B1，B．当AP⊥A1C时，APC．当A1C＝3A1P时，D1PD．当A1C＝5A1P时，A1C⊥ACD[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝3AD＝3AA1＝3，所以AD＝AA1＝1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，则A1C＝(－1，3，－1)，当A1C＝2A1P时，P为线段A1C的中点，则P12，32，12，DP＝12，设A1P＝λA1C＝λ(－1，3，－1)＝(－λ，3λ，－λ)(0≤λ≤1)，AP＝AA1+A由AP⊥A1C，可得AP·A1C＝5所以AP＝−15＝(1，0，－1)＋−15，所以D1P·AP＝－4所以AP与D1当A1C＝3A1P＝13A1C＝−1设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·D令y＝1，则x＝z＝－3，∴n＝(－3，1，－3)，又A1所以D1P＝A1所以D1P·n＝23×(－3)＋33×1－1所以D1P⊥∵D1P⊄平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；当A1C＝5A1P＝15所以D1P＝A1所以A1C·D1P＝－1×45+3×35－1×−15＝0，A1C·D1A＝－1×1＋3×0＋(－1)2＝0．所以A1C⊥D1PD1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP，D正确．故选ACD.]三、填空题11．(2024·河南信阳模拟)如图是某段新开河渠的示意图．在二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝41，则该二面角的大小为________．120°[设所求二面角为θ，由CD＝CA+AB+BD，得CD＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·＝32＋22＋42＋0－2×3×4cosθ＋0＝41，∴cosθ＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°12．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为________；过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G进行切割，得到四棱锥P-AEFG，若PEPB＝35，PFPC32π34[设AC，BD交于点O，连接PO由于P-ABCD为正四棱锥，故PO为四棱锥的高，由底边和侧棱长均为4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝22，PO＝PA2−OA2即点O到点P，A，B，C，D的距离相等，故O即为该正四棱锥的外接球球心，则外接球半径为22，故外接球表面积为4π×(22)2＝32π.PA＝PD+DA＝PD+CB设PD＝tPG，则PA＝tPG+53由于点A，E，F，G四点共面，故t＋53解得t＝43，故PD＝43PG，则PG四、解答题13．已知空间三点A(0，2，3)，B