2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）

第第页第05讲空间向量及其运算的坐标表示【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【知识点梳理】知识点一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系SKIPIF1<0，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是SKIPIF1<0平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3、空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点二、空间直角坐标系中点的坐标1、空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点SKIPIF1<0；SKIPIF1<0轴上的点的坐标分别为SKIPIF1<0；坐标平面SKIPIF1<0上的点的坐标分别为SKIPIF1<0.2、空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点SKIPIF1<0，则有点SKIPIF1<0关于原点的对称点是SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0关于横轴(x轴)的对称点是SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0关于纵轴(y轴)的对称点是SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0关于竖轴(z轴)的对称点是SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0关于坐标平面SKIPIF1<0的对称点是SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0关于坐标平面SKIPIF1<0的对称点是SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0关于坐标平面SKIPIF1<0的对称点是SKIPIF1<0.知识点三、空间向量的坐标运算(1)空间两点的距离公式若SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量SKIPIF1<0的坐标表示，然后再用模长公式推出。(2)空间线段中点坐标空间中有两点SKIPIF1<0，则线段AB的中点C的坐标为SKIPIF1<0.(3)向量加减法、数乘的坐标运算若SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;(4)向量数量积的坐标运算若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。(5)空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若SKIPIF1<0，则(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0.知识点诠释：①夹角公式可以根据数量积的定义推出：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系(相等，互余，互补)。(6)空间向量平行和垂直的条件若SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0规定：SKIPIF1<0与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典例例题】题型一：空间向量的坐标表示例1．已知平行四边形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则顶点SKIPIF1<0的坐标为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故顶点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.故选：D例2．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即x=0y=12z=1，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例3．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0为线段AB上靠近SKIPIF1<0的三等分点，则点SKIPIF1<0的坐标为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题设，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型二：空间向量的直角坐标运算例4．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【解析】由已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C．例5．已知向量SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵向量SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.故选:B.题型三：空间向量的共线与共面例6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则实数SKIPIF1<0(

)A．-2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.例7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0共面，则实数SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0共面，则设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.题型四：空间向量模长坐标表示例8．设空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝______．【答案】3【解析】SKIPIF1<0，则显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：3.题型五：空间向量平行坐标表示例9．在空间直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0__________.【答案】4【解析】由题意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：4题型六：空间向量垂直坐标表示例10．已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【解析】空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型七：空间向量夹角坐标表示例11．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例12．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为钝角，则实数SKIPIF1<0的范围是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为钝角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线同向，综上可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例13．已知向量SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________.【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.【过关测试】一、单选题1．若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.2．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.3．已知向量SKIPIF1<0,若三个向量SKIPIF1<0共面,则实数m等于(

)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】由SKIPIF1<0共面可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A．4．长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，F为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，又SKIPIF1<0，则长方体的高SKIPIF1<0等于(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设长方体的长为SKIPIF1<0，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：C.5．设SKIPIF1<0，则AB的中点M到点C的距离SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：C．6．已知空间直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，则当SKIPIF1<0取得最小值时，点SKIPIF1<0的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因点Q在直线SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时点QSKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0取得最小值时，点Q的坐标为SKIPIF1<0.故选：C二、填空题7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<08．已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，则存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<09．已知向量SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，求实数SKIPIF1<0的取值范围______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0三、解答题10．已知空间三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角；(3)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互相垂直，求k．【解析】(1)由题可知，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKI