2024年高中数学新高二暑期培优讲义第12讲 椭圆（学生版）

第第页第12讲椭圆【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义题型二：求椭圆的标准方程题型三：椭圆的综合问题题型四：轨迹方程题型五：椭圆的简单几何性质题型六：求椭圆的离心率题型七：求椭圆离心率的取值范围题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围题型九：椭圆中的范围与最值问题题型十：焦点三角形【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离之和等于常数(SKIPIF1<0)，这个动点SKIPIF1<0的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点诠释：若SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的标准方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；2、当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的标准方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；知识点诠释：(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2)在椭圆的两种标准方程中，都有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的焦点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的焦点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：SKIPIF1<0.(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程SKIPIF1<0，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆SKIPIF1<0是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆SKIPIF1<0(a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作SKIPIF1<0.②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而SKIPIF1<0越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形SKIPIF1<0有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式SKIPIF1<0相结合的方法进行计算与解题，将有关线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有关角SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)结合起来，建立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的关系.知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形性质焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴长轴长=SKIPIF1<0，短轴长=SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0知识点诠释：椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和SKIPIF1<0，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。【典例例题】题型一：椭圆的定义例1．设定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足条件SKIPIF1<0，则点P的轨迹是(

)A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段例2．设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，则SKIPIF1<0的周长为(

)A．12 B．24 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：求椭圆的标准方程例3．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过坐标原点的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例4．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0；(2)焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为SKIPIF1<0.题型三：椭圆的综合问题例5．已知椭圆的方程为SKIPIF1<0，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．例6．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长是短轴长的SKIPIF1<0倍，且椭圆C经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使SKIPIF1<0面积最大时直线l的方程．例7．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，长轴长为4，离心率SKIPIF1<0.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆有两个交点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.题型四：轨迹方程例8．已知动圆过定点SKIPIF1<0，并且在定圆B：SKIPIF1<0的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则顶点SKIPIF1<0的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．设SKIPIF1<0为坐标原点，动点SKIPIF1<0在椭圆C：SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆M与圆SKIPIF1<0外切，同时与圆SKIPIF1<0内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0题型五：椭圆的简单几何性质例12．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若椭圆上顶点为点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则SKIPIF1<0______.例13．椭圆SKIPIF1<0的内接正方形的周长为__________．题型六：求椭圆的离心率例14．椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．椭圆SKIPIF1<0的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0-1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例16．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的左右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上一点，SKIPIF1<0，若坐标原点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则椭圆离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型七：求椭圆离心率的取值范围例17．已知F1，F2分别是椭圆SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例18．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，椭圆上一点M满足：SKIPIF1<0，则该椭圆离心率取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例19．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若椭圆上存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则该椭圆离心率的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围例20．已知椭圆C的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．例21．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0，求短轴长为______.题型九：椭圆中的范围与最值问题例22．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为_______．例23．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的一个动点，定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为______．例24．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.题型十：焦点三角形例25．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，M是此椭圆上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为______．例26．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，P是椭圆上的点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为________.例27．椭圆SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，点P在椭圆C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆C的方程为___________.【过关测试】一、单选题1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．椭圆SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若SKIPIF1<0，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知P点是椭圆SKIPIF1<0上的动点，A点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知点P为椭圆SKIPIF1<0上动点，SKIPIF1<0分别是椭圆C的焦点，则SKIPIF1<0