第10讲 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第10讲直线的交点坐标与距离公式【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：距离问题的综合灵活运用题型九：线段和与差的最值问题【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组SKIPIF1<0的解即可．若有SKIPIF1<0，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有SKIPIF1<0，则方程组无解，此时两直线平行；若有SKIPIF1<0，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有SKIPIF1<0以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交点的直线方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是待定系数．在这个方程中，无论SKIPIF1<0取什么实数，都得不到SKIPIF1<0，因此它不能表示直线SKIPIF1<0．知识点三：两点间的距离公式两点SKIPIF1<0间的距离公式为SKIPIF1<0．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．知识点四：点到直线的距离公式点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为直线上所有的点到已知点SKIPIF1<0的距离中最小距离；(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式SKIPIF1<0时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【典例例题】题型一：判断两直线的位置关系例1．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的情况是(

)A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，两边平方得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当SKIPIF1<0时，得到SKIPIF1<0，与曲线只有一个交点．所以曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的最多有两个交点．故选：A例2．SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)上两个不同的点，则关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解的情况是(

)A．无论SKIPIF1<0如何，总是无解B．无论SKIPIF1<0如何，总有唯一解C．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是方程组的一组解D．存在SKIPIF1<0，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0的斜率存在，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴方程组SKIPIF1<0总有唯一解．A，D错误，B正确；若SKIPIF1<0是方程组的一组解，则SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0上，但已知这两个在直线SKIPIF1<0上，这两条直线不是同一条直线，∴SKIPIF1<0不可能是方程组的一组解，C错误．故选：B．例3．两条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标就是方程组SKIPIF1<0的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.题型二：过两条直线交点的直线系方程例4．过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为()A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【解析】设过两直线交点的直线系方程为SKIPIF1<0，代入原点坐标，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.例5．已知两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0SKIPIF1<0两点的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依题意两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以过SKIPIF1<0SKIPIF1<0两点所在直线方程为SKIPIF1<0，故选：B例6．经过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】设直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.例7．过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】过两直线交点的直线系方程为SKIPIF1<0，代入原点坐标，求得SKIPIF1<0，故所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．题型三：交点问题例8．两条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点在第二象限，则m的取值范围是()A．(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0) B．(SKIPIF1<0,0)C．(0,SKIPIF1<0) D．(SKIPIF1<0)【答案】C【解析】由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0即两条直线的交点为SKIPIF1<0，由交点在第二象限，得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选：C.例9．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D例10．过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程是(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】联立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以交点坐标为SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以所求直线方程的斜率为SKIPIF1<0，由点斜式直线方程得：所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：B.例11．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行或重合，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则有：联立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即交点坐标SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上所述：k的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C.例12．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，则实数k的值为(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】D【解析】因直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以实数k的值为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故选：D例13．若三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共有两个交点，则实数SKIPIF1<0的值为(

)A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0不平行，∴直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0平行或直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0平行，∵直线SKIPIF1<0的斜率为1，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.例14．若点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共点，则相异两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所确定的直线方程是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在同一条直线SKIPIF1<0上，故两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所确定的直线方程是SKIPIF1<0，故选:A.题型四：对称问题例15．已知点A与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则点A的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线SKIPIF1<0上且直线AB与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，即点A坐标为SKIPIF1<0.故选：C例16．已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，且直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点的坐标为SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.例17．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点Q的坐标为(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以点Q的坐标为SKIPIF1<0.故选：A例18．已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则点SKIPIF1<0的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.例19．已知直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0关于直线l的对称直线为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为_______________．【答案】SKIPIF1<0.【解析】由题意知SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例20．直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】在对称直线上任取一点SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例21．直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线方程是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设对称直线为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解这个方程得SKIPIF1<0(舍)或SKIPIF1<0.所以对称直线SKIPIF1<0的方程中SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例22．直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程是__.【答案】SKIPIF1<0【解析】设所求直线上任一点的坐标为SKIPIF1<0，该点关于SKIPIF1<0的对称点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,得对称点的坐标为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以所求直线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例23．直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程为________【答案】SKIPIF1<0【解析】设所求直线方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求直线方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型五：两点间的距离例24．点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例25．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例26．已知SKIPIF1<0，则BC边上的中线AM的长为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设BC的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例27．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为______．【答案】3【解析】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故答案为：3例28．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0/SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例29．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0轴上存在一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．题型六：点到直线的距离例30．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为______．【答案】1【解析】点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例31．已知动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_________.【答案】2【解析】因为SKIPIF1<0表示动点SKIPIF1<0到坐标原点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0到线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故答案为：2.例32．直线SKIPIF1<0上的点到原点距离的最小值为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】直线SKIPIF1<0上的点与原点的距离的最小值为原点到直线的距离SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．例33．已知实数x，y满足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】方程SKIPIF1<0表示直线，SKIPIF1<0表示该直线上的点与定点SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0的最小值是点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例34．已知SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于4，则a的值为__________．【答案】10或SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于4，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：10或SKIPIF1<0．例35．若点A在直线SKIPIF1<0上，且点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则点A的坐标为________________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】依题意，设点A的坐标为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例36．已知点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0___________.【答案】3或SKIPIF1<0【解析】因为点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离相等，所以由点到直线的距离公式可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：3或SKIPIF1<0例37．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点到直线l：SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0______．【答案】1或SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：1或SKIPIF1<0.题型七：两平行直线间的距离例38．若两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】3【解析】因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，因为两平行线间的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：3例39．已知直线l到两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离相等，则直线l的方程为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例40．若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例41．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则这两条直线间的距离是____________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0变形得SKIPIF1<0，故这两条直线间的距离为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.例42．平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】直线SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，则平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型八：距离问题的综合灵活运用例43．函数SKIPIF1<0的最小值是_____________.【答案】5【解析】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离之和，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上的点，则点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例44．函数SKIPIF1<0的最小值为_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据两点距离公式的几何意义得，函数SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0距离之和，如图所示，作出点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例45．设SKIPIF1<0的最小值为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】从几何意义看，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距离的和，其最小值为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点间的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例46．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0之间的距离，结合．上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的几何意义为点SKIPIF1<0与两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离之和．如图所示：设点SKIPIF1<0关于x轴的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标为(2，－4)．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0要求SKIPIF1<0的最小值，即求SKIPIF1<0的最小值，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例47．已知实数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】5【解析】由题可知，SKIPIF1<0表示的是直线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和.如图，设点N关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0最小所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：5.题型九：线段和与差的最值问题例48．已知点SKIPIF1<0，点P是直线SKIPIF1<0上动点，则SKIPIF1<0的最小值是________．【答案】13【解析】作A点关于直线的对称点SKIPIF1<0，如图所示，易知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为P点，故SKIPIF1<0的最小值是13．故答案为：13例49．已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的周长的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，如图所示，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共线时，等号成立，因为点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例50．在直角坐标系中，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，由对称性可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例51．)已知SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和最小时点SKIPIF1<0的坐标为____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】点SKIPIF1<0在直线的同侧，设点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由题意，点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0故点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例52．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离，结合上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的几何意义为点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离之和.如图所示：设点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.要求SKIPIF1<0的最小值，可转化为求SKIPIF1<0的最小值，利用对称思想可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.也即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例53．已知平面上两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0上求一点M．(1)使SKIPIF1<0最大值；(2)使SKIPIF1<0最小．【解析】(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点，则SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最大，只需SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0.(2)如上图，要使SKIPIF1<0最小，只需SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0.例54．已知直线SKIPIF1<0及点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)试在SKIPIF1<0上求一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最小，并求这个最小值；(2)试在SKIPIF1<0上求一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最大，并求这个最大值．【解析】(1)设SKIPIF1<0关于直线的对称点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的直线方程为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小，最小为SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0关于直线的对称点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由对称性知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时取“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0，是使SKIPIF1<0最大的点．此时最大值为SKIPIF1<0；【过关测试】一、单选题1．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0距离的最大值是(

)A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意知，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，如图所示，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线段SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，那么必有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时取等号，从而SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0距离的最大值是SKIPIF1<0.故选：D.2．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0，则a的值为(

)A．4 B．SKIPIF1<0 C．4或SKIPIF1<0 D．8或SKIPIF1<0【答案】C【解析】将直线SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0，根据题意可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以a的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C3．点(1,1)到直线SKIPIF1<0的距离是(

)A．1 B．2 C．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，故选：A4．已知直线SKIPIF1<0过直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线SKIPIF1<0的方程为()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】由方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以两直线的交点坐标为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距互为相反数，当直线SKIPIF1<0与两坐标轴的截距不为SKIPIF1<0时，可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0过两直线的交点SKIPIF1<0，代入可得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<