备考2025届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第1讲任意角和蝗制三角函数的概念

第1讲随意角和弧度制、三角函数的概念1.与－2025°终边相同的最小正角是（A）A.135° B.132° C.58° D.12°解析因为－2025°＝－360°×6＋135°，所以与－2025°终边相同的最小正角是135°.2.[2024广东部分学校调研]sinπ6是第（A）象限角A.一 B.二 C.三 D.四解析因为sinπ6＝12∈（0，π2），所以sinπ63.[2024辽宁辽阳统考]若α是其次象限角，则－π2－α是（BA.第一象限角 B.其次象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由α与－α的终边关于x轴对称，可知若α是其次象限角，则－α是第三象限角，所以－π2－α是其次象限角.故选4.已知角α的终边经过点P（3，t），且sin（2kπ＋α）＝－35（k∈Z），则t等于（BA.－916 B.－94 C.－34 解析∵角α的终边经过点P（3，t），∴r＝32＋t2，∴sinα＝t32＋t2.又sin（2kπ＋α）＝－35＝sinα（k∈Z），∴5.[2024浙江统考]已知点（23，－2）在角α的终边上，则角α的最大负值为（C）A.－5π6 B.－2π3 C.－π解析易知点（23，－2）在第四象限，且tanα＝－223＝－33，所以α＝－π6＋2kπ，k∈Z，故当k＝0，6.[情境创新]如图所示，《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（B米 米米 米解析由题意画出示意图，如图所示，则AB的长为2×π4＋π8＝5π8（米），OA＝OB＝1.25米，∠AOB＝5π81.25＝π2，所以AB＝2OA＝57.[2024江西上饶市第一中学月考]如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为{α｜－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.解析由题图，与阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋k·360°，且k∈Z，与上侧终边相同的角为135°＋k·360°，且k∈Z，所以阴影部分（包括边界）的角α的集合为{α｜－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.8.已知角α满意sinα＜0，且tanα＞0，则角α的集合为{α｜2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z}；sinα2·cosα2·tanα2＞0（填“＞”“＜”或解析由sinα＜0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上；又tanα＞0，所以角α的终边在第三象限，故角α的集合为{α｜2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z}.由2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z.当k＝2m，m∈Z时，角α2的终边在其次象限，此时sinα2＞0，cosα2＜0，tanα2＜0，所以sinα2·cosα2·tanα2＞0；当k＝2m＋1，m∈Z时，角α2的终边在第四象限，此时sinα2＜0，cos9.如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，－2），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（C）解析因为P0（2，－2），所以∠P0Ox＝π4.设角速度为ω，则ω＝1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，（θ＝ωt，θ为射线OP所以∠POx＝t－π4.由三角函数的定义，知yP＝2sin（t－π4），因此d＝2｜sin（t－π4）｜.当t＝0时，d＝2｜sin（－π4）｜＝2；当t＝π4时，10.[2024河北衡水饶阳中学模拟]若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角α的弧度数为（B）A.1 B.2 C.3 D.4解析设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝36，所以S＝12rl＝14（36－l）·l＝－14l2＋9l（0＜l＜36），故当l＝18时，S取最大值，此时r＝9，所以α＝lr＝1811.[2024江苏淮安统考]如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为4π3－3解析如图，连接GA，GB.由题意知，线段GA，GB，AB的长度都等于半径2，所以△GAB为正三角形，则∠GBA＝∠GAB＝π3，故△GAB的面积为S1＝34×22＝3，扇形GBA的面积为S2＝12×π3×22＝2π3，由图形的对称性可知，扇形GAB的面积与扇形GBA的面积相等，所以阴影部分的面积S＝2S2－S112.[数学文化/2024江西南昌市等5地开学考试]《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：lAB＝弦＋2×矢

2径.如图，公式中“弦”是指扇形中AB所对弦AB的长，“矢”是指AB所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的面积为16π3A.3＋1 B.23＋1 C.33＋1 D.43＋1解析设该扇形的圆心角为α，由扇形面积公式得12×42×α＝16π3，所以α＝2π3