2024八年级数学下册专题4.3三角形中位线定理重点题专项讲练含解析新版浙教版

Page1专题4.3三角形中位线定理【典例1】如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为．【思路点拨】连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，依据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解题过程】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，∴EM∥AB，MF∥DC，EM=12AB＝2，MF=∵MF∥DC，∴∠FGC＝∠EFM，∵EM∥AB，∴∠FEM＝∠FHB，∵∠BHF与∠CGF互余，∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，∴△EMF是直角三角形，∴EF=E故答案为：13．1．（武进区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（）A．13 B．192 C．17 【思路点拨】依据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论．【解题过程】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，∴DE＝BF=12BC=12×9=92，∴四边形DBFE的周长为DE+BF+EF+BD＝9+10＝19，故选：D．2．（宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=25，BC=4，则A．12 B．1 C．32【思路点拨】依据勾股定理求出AB，依据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=12AB＝3，BE=12BC＝2，依据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出【解题过程】解：在Rt△ABC中，AC＝25，BC＝4，由勾股定理得：AB=A∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE=12AB＝3，BE=∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．3．（雁塔区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】连接AC，依据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA=12×（180°﹣100°）＝40°，依据勾股定理得到AC=【解题过程】解：连接AC，∵∠D＝100°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA=1∵∠BAD＝130°，∴∠BAC＝90°，∵AB＝5，BC＝13，∴AC=B∵点E，F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF=12故选：D．4．（海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN=32，则△A．17 B．18 C．19 D．20【思路点拨】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，依据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，依据三角形中位线定理求出DE，依据三角形的周长公式计算，得到答案．【解题过程】解：在△BNA和△BNE中，∠NBA=∠NBEBN=BN∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN=3∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．5．（澄江市期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．4【思路点拨】如图，延长FE交AC于G，首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用平行线的性质和角平分线的性质推知∠D＝∠CAD，则判定AC＝CD；最终利用三角形中位线定理分别求得FG和EG的长度，求差即可．【解题过程】解：如图，延长FE交AC于G，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵AB∥CD，AD是∠BAC的平分线，∴∠D＝∠DAB，∠DAB＝∠DAC．∴∠D＝∠CAD．∴AC＝CD＝10．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴FG是△ABC的中位线，EG是△ABC的中位线．∴FG=12DC＝5，EG=∴EF＝FG﹣EG＝2．故选：C．6．（广西模拟）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．12＜MN＜52 B．12＜MN≤52【思路点拨】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出帮助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．【解题过程】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG=12AB∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位线，NG=12CD=1在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即32-1＜MN∴12＜MN当MN＝MG+NG，即MN=52时，四边形故线段MN长的取值范围是12＜MN故选：B．7．（淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．5 C．7 D．9【思路点拨】依据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得【解题过程】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=A∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．8．（同安区期中）如图，为估计池塘岸边AB两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝8m，则A、B两点间的距离是16m．【思路点拨】依据三角形中位线定理计算即可．【解题过程】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴AB＝2MN＝2×8＝16（m），故答案为：16．9．（北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝8cm．【思路点拨】依据直角三角形的性质求出DF，进而求出DE，依据三角形中位线定理计算，得到答案．【解题过程】解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，∴DF=12AC=1∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案为：8cm．10．（邗江区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是CD、AB、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝80°，则∠FEG＝30°．【思路点拨】依据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．【解题过程】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是CD，AB，AC的中点，∴GE是△ACD的中位线，GF是△ACB的中位线，∴GE=12AD，GF=12BC，GF∥BC，∴∠AGF＝∠ACB＝80°，∠EGC＝∠DAC＝20°，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∴∠EFG＝∠FEG，∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣80°）＝120°，∴∠FEG=12（180°﹣∠故答案为：30°．11．（鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞10，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，CE＝6，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，则线段MN的长为5．【思路点拨】作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可【解题过程】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝8，DN＝NH，∵CH＝8，CE＝6，∴EH=C∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=12故答案为：5．12．（虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝4.5．【思路点拨】延长AM交BC于点G，依据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，依据三角形中位线定理即可求得MN．【解题过程】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣故答案为：4.5．13．（香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【思路点拨】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解题过程】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．14．（桥西区校级期中）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝6，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，则△A3B3C3的周长＝174，△AnBnCn的周长＝172【思路点拨】依据三角形中位线定理求出A2B2，B2C2，A2C2，进而出去△A2B2C2的周长，总结规律，依据规律解答即可．【解题过程】解：∵连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝6，∴A2B2=12A1B1=72，B2C2=12B1C1＝2，A2C2∴△A2B2C2的周长=72+同理可得：△A3B3C3的周长=17……△AnBn∁n的周长=17故答案为：174；1715．（丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．【思路点拨】（1）依据三角形中位线定理求出OC；（2）依据AD的长度求出OC的长度，得到答案．【解题过程】解：（1）由题意得：OC∥AD，∵点C为AB的中点，∴OC为△ABD的中位线，∴OC=12∵AD＝1米，∴OC=1（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要上升为0.625米．当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要上升为0.625米．16．（沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12【思路点拨】过D作DG∥AC，可证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，由三角形中位线定理可得DG=12【解题过程】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG=12∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，∠EAF=∠EDGAE=DE∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF=1217．（莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．【思路点拨】取BC边的中点M，连接EM，FM，则依据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，依据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后依据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，依据等角对等边即可证得．【解题过程】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12同理：ME∥AC，ME=12∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．18．（富平县期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．【思路点拨】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，依据三角形中位线定理得到PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，EP∥【解题过程】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠AHF＝∠BGF．19．（建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．【思路点拨】（1）依据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，依据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，依据三角形中位线