高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)期中模拟测试卷03(拔尖培优卷)(原卷版+解析)

期中模拟测试卷03拔尖培优卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，，则A∩（∁RB）的子集个数为【】A．2 B．3 C．4 D．82．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为【】A． B． C． D．3．已知、、是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是【】A． B．C． D．4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为【】A．或 B．C．或 D．5．下列命题中，正确命题的个数为【】①当时，的最小值是5；②与表示同一函数；③函数的定义域是，则函数的定义域是；④已知，，且，则最小值为．A． B． C． D．6．设函数，则的表达式为【】A． B．C． D．7．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则【】A． B． C． D．8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则【】A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是【】A． B．C． D．10．已知，且，则下列结论正确的是【】A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为11．已知函数，若，则实数a的值可能为【】A． B． C． D．12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是【】A．的图象关于对称B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________.14．函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．15．幂函数，满足，的解析式_____16．若函数，则_______________；____________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝，．(1)当m＝1时，求AB，(A)B；(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）（1）若，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.19．（12分）已知函数.(1)求函数的解析式；(2)若函数，若关于x的不等式在上能够成立，求实数a的取值范围.20．（12分）已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．21．（12分）定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题：(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数的单调性；(3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围．22．（12分）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求的解析式；求函数在内的“和谐区间”；若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.期中模拟测试卷03拔尖培优卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，，则A∩（∁RB）的子集个数为【】A．2 B．3 C．4 D．8答案：D【解析】，或，所以，其子集个数为．故选：D．2．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为【】A． B． C． D．答案：C【解析】因为二次函数在区间上单调递增，所以解得．因为只有C是其真子集，故选：C3．已知、、是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是【】A． B．C． D．答案：D【解析】当，，时，，，故选项A错误；当时，，，故选项B错误；当，时，，，故选项C错误；∵，∵，∴，即，故成立，故选项D正确故选：D4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为【】A．或 B．C．或 D．答案：A【解析】由题意知：且，得，从而可化为，等价于，解得或.故选：A.5．下列命题中，正确命题的个数为【】①当时，的最小值是5；②与表示同一函数；③函数的定义域是，则函数的定义域是；④已知，，且，则最小值为．A． B． C． D．答案：B【解析】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；对于②与表示同一函数，故②正确；对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；对于④已知，，且，所以，则，当且仅当，即，时取等号，故④正确；故选：B6．设函数，则的表达式为【】A． B．C． D．答案：B【解析】令，则可得所以，所以故选：B7．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则【】A． B． C． D．答案：C【解析】由可知的图象关于点对称，又因为的图象也关于点对称，所以两个函数的图象的交点关于点对称，即，，所以，故选：．8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则【】A． B． C． D．答案：D【解析】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是【】A． B．C． D．答案：ABD【解析】全集，集合或，集合，由得，A正确；由或或或，B正确；由或或，C错误；由或，或，故D正确．故选：ABD．10．已知，且，则下列结论正确的是【】A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为答案：BC【解析】，且，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故D错误；故选：BC11．已知函数，若，则实数a的值可能为【】A． B． C． D．答案：ACD【解析】解：根据题意，函数，当时，，其中当时，，此时，解可得，符合题意；当时，，此时，解可得或，符合题意；当时，必有，此时，变形可得或，若，解可得，若，无解；综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；故选：ACD．12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是【】A．的图象关于对称B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集为答案：ACD【解析】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；令，则，令代x，则，即，即，故B错误；设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________.答案：【解析】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集.当时即，集合A的真子集，符合题意；当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故；综上，实数m的取值范围是.故答案为：.14．函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．答案：【解析】解：因为函数的定义域是.所以不等式恒成立．所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；当时，则有，即，解得.综上，实数a的取值范围为.故答案为:15．幂函数，满足，的解析式_____答案：【解析】解：由幂函数满足（2）（4），所以函数在上是增函数，可得，且，由得或.不满足，满足.所以，故．故答案为：16．若函数，则_______________；____________．答案：

【解析】由于所以，令，得故答案为：，．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝，．(1)当m＝1时，求AB，(A)B；(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．答案：(1)；(2)【解析】（1）选条件①：（1）当时，，选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；（2）若，则当时，，解得当时，，即，解得综上，实数m的取值范围为18．（12分）（1）若，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.答案：（1）证明见解析；（2）当时取得最小值，最小值为25.【解析】（1）

，又（当且仅当时取等号），即（2）当时，当且仅当，即时取等号即当时，取得最小值19．（12分）已知函数.(1)求函数的解析式；(2)若函数，若关于x的不等式在上能够成立，求实数a的取值范围.答案：(1)(2)【解析】(1)令，则，所以，所以.(2)依题意，，因为.故可化为在时有解；令，由，得，设.则函数的图象的对称轴方程为，故当时，函数取得最小值.则，即实数a的取值范围为.20．（12分）已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．答案：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）①时，，不合题意，舍去；

②时，.综上：.（2）即，所以，①时，解集为：；②时，，因为，所以解集为：；③时，，因为，所以解集为：.（3）因为不等式的解集为，且，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，因为，所以，设，所以，当且仅当时取“=”.所以的最大值为：，所以.21．（12分）定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题：(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数的单调性；(3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围．答案：(1)奇函数，证明见详解；(2)在R上单调递减，证明见详解；(3)[，＋)【解析】(1)令得，即或(舍去)，令代入得，对，即在上为奇函数；(2)设，若，，由(1)知在上为奇函数，则，函数的值域为，则，即，又，则，，在上为减函数；(3)由(2)知在上为减函数，，化简得对，使得恒成立设，有，(当且仅当时等号成立)，的对称轴为，开口向下，，，，即﹒22．（12分）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求的解析式；求函数在内的“和谐区间”；若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在