人教版高中数学全册教案-09-直线、平面、简单几何体-23

二面角

一、素质教育目标

(-)知识教学点

1.二面角的有关概念.

2.二面角的平面角的定义及作法.

(-)能力训练点

1.利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的

定义.

2.用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生

的空间想象能力和分析、解决问题的能力.

3.通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法.

(三)德育渗透点

让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的

观点.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：二面角、二面角的平面角的概念.

2.教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题.

3.教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点

必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内.

三、课时安排

1课时.

四、教与学过程设计

(-)二面角

师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交.两个相交

平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的.在生产实践中，有许多问题也涉及

到两个平面所成的角.如：修筑水坝时,，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适

当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一

定的角度（图看课本P.39中图1—43）,等等.这些事实都说明了研究两个平面

所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二

面角呢？阅读课本P.39—40,回答下列问题.

师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？

生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117）,

表示为NAOB.

边

图1-117

师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角.先给出半平面的定义.

生：•个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.

面/面

图1-118

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,

这两个半平面叫做二面角的面（如图.

图1-119

师：那么如何表示二面角呢？

生：棱为AB,面为a、p的二面角记作二面角a—AB—P,如果棱用a表示,

则记作二面角a一a一B.

师：二面角的画法通常有哪几科1?

生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1—120）.

第二种是立式法，也称为直立式.

（二）平面角

师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题.如

门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，

也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的.为了表示

二面角的大小，我们必须引入平面角的定义.

定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这

两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二

面角是几度.现在我们来思考：

问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？

生：是合理的.

如图1—121,在二面角a—a—8的棱a上任取一点0,在半平面a和0内，

从点。分别作垂直于棱a的射线0A、0B,射线0A和0B组成/A0B,在棱上另取

任意一点0',按同样的方法作NA'O'B',因为0A和0A'、0B和OB'都垂

直于棱a,所以NA0B和NA，O'Bz的两边分别平行且方向相同，根据等角定理,

得：ZA0B=ZAzO'B',即NA0B的大小是一定的.由于这个唯一性，从而说

明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点0在棱上的位置无关.

图1-121

问题2：二面角的平面角必须满足哪儿个条件？

生：两个条件.一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个

面内.

师：平面角是直角的二面角叫直二面角.

在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所

成二面角的平面角（图见P.40中图1—45）.我国发射的第一颗人造地球卫星的

倾角是68.5°,就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是

68.5°（图见P.39中图1—43）.

下面请同学们完成例题和练习.

（三）练习

例如图1—122,山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是

60°,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30°,沿这条路上

111,行走100米后升高多少米？

解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H,线段DH的

长度就是所求的高度.在平面DBC内，过点D作DG_LBC,垂足是G,连结GH.

平面BCH,DG1BC,

.'.GH1BC.

因此，NDGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，ZDGH=

60°,由此得：

DH=DCai^O*=CDsu>30*而61r=100an30*sin6O*=25^3

%43.3（米）.

答：沿直道前进100米，升高约43.3米.

注：在解题中要特别注意书写规范.如:

VDG±BC,GH±BC,

ZDGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角.

练习：（P.41—42练习1、2、3、4.）

1.拿一张正三角形的纸片ABC,以它的高AD为折痕，折成一个二面角，指

出这个二面角的面、棱、平面角.

2.一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角就是

二面角的平面角.为什么？

3.教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度？

4.在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm,求它

到棱的距离.

解：1.如图1一123,二面角B—AD—C中，面ABD,而ACD；棱AD；平面角

ZBDC.

2.如图1—124,平面AOBLa,平面AOB与平面a、0的交

的别力AO,BO,可得AOi&BOia.5UOca,BOcP,所以

ZAOB是二面角a一a一B的平面角.

3.如图1一125,二面角a一c一B,二面角B一b一Y,二面角a—a—Y

的平面角分别为NAOB,ZAOC,ZB0C,都是90°.

图1-125

4.已知：如图1—126,二面角a—AB—B为30°,PCa,P到平面B的

距离为10cm.

求P至UAB的距离.

解：在6内作点P的射影0,过点P作PQ1AB于Q,连结0Q,根据三垂线定

理，可得0QLAB.

.•./PQ0为二面角a—AB—B的平面角，即NPQ0=30°.

•/P0=10cm,

PQ=20cm.

即P到AB的距离为20cm.

小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法.

1.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的

两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如练习1,3）.

2.应用三垂线（逆）定理法：在二面角a—1—B的面a上取一点A,作AB

_LB于B,BCJ_1于C,则NACB即为a