2021届新高考数学三轮冲刺训练：集合与常用逻辑用语【含答案】

2021届新高考数学三轮冲刺训练

集合与常用逻辑用语

1.集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现.解决这类问

题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补

等运算.常见选择题.

2.充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识

载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题.命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、

立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定.

3.关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定.

•)知识必备

1、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合8的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记

作AC8,即4nB={x|xGA,且xGB}.

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合，称为A与B的并集，记

作AU8,即AUB={x|xGA,或xGB}.

(3)补集：对于一个集合4,由全集。中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合4相对于

全集U的补集，简称为集合A的补集，记作[必，muA={x\x^U,且依4}.

2、集合的运算性质

(1)ACA=A,AC0=0,ACB=BnA。

(2)4UA=A,4U0=4,4UB=BUA。AU8=AAB=A=AU

(3)AC([uA)=0,A^(,[,uA)=U,[u([uA)=A。

(4)[MAnB)=(C〃)U([u8)，1M4口8)=([〃)G((/)。

3、相关结论：

(1)若有限集4中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"—1个。

(2)不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.记作名

4、两个条件之间可能的充分必要关系：

(1)p能推出q,但q推不出p,则称p是q的充分不必要条件

(2)p推不出q,但q能推出〃，则称〃是q的必要不充分条件

(3)〃能推出“，且q能推出〃，记为poq,则称p是q的充要条件，也称〃国等价

(4)p推不出q,且q推不出p,则称p是q的既不充分也不必要条件

5、运用集合作为工具

由P屋。可得到：xePnxeQ,且xeQ推不出xcP,所以“xeP”是“xe。”充分

不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特

定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，

进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：

①PUQ：〃是q的充分不必要条件，q是〃的必要不充分条件

②P=Q：〃是q的充分条件

③P=Q：〃是q的充要条件

6、集合的考查往往涉及到与函数的定义域、值域以及不等式相结合，因此，要掌握有关各类不等式

的解法，如分式不等式、一元二次不等式等。

•技法必备

本章内容的高考中的考查是以容易题出现，常见选择题的第一题或者多选题的前两题。方法技巧补

交单一。

1、直接法：总结运算得到答案。

2、特殊的方法：对两个集合进行赋值，判断两个集合的关系：或者举一些例子进行排除两个命题之

间的关系。

3、借助于数轴或者文氏图，研究集合之间的关系•

|真题回顾|

1、设集合4={xWYW0},B={x|2x+把0},且4nB={x|-2灸1},则“=

A.-4B.-2

C.2D.4

【答案】B

［解析】求解二次不等式三一4w0可得A={x|-2VxW2},

求解一次不等式2x+aWO可得8=1x|x<一■!].

由于Ac3={x|-2WE},故一1=1,

解得。=一2.

故选B.

2、已知集合1/={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1),B={1,2},则电(AU8)=

A.{-2,3}B.{-2,2,3)

C.{-2,T,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

【答案】A

【解析】由题意可得AuB={-L0,l,2},则g(AU3)={-2,3}.

故选A

3、已知集合4={(乂丁)|再B={(x,y)|x+y=8},则AQB中元素的个数为

A.2B.3

C.4D.6

【答案】C

y>X

【解析】由题意，ADB中的元素满足1。，且羽yeN*,

x+y=8

由x+y=8N2x,得xW4,

所以满足尤+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故AD8中元素的个数为4.

故选C.

4、设全集U={-3,—2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},8={-3,0,2,3},则An(Q/)=

A.{-3,3}B.{0,2}

C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3)

【答案】c

【解析】由题意结合补集的定义可知名B={—2,—u},则An(a,8)={—i,i}.

故选c.

5、已知集合A={-1,0,1,2},8={x|0<x<3},则=

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【解析】AIB={-1,0,1,2)I(0,3)={1,2},

故选D.

6、设aeR,则是“小>a”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解二次不等式可得：〃>1或

据此可知：”>1是片>。的充分不必要条件.

故选A.

7、设集合4={却勺区3},B={x|2a<4},则4UB=

A.{x|2<x<3}B.{x|2<x<3}

C.{x|l<x<4}D.{x|l<x<4}

【答案】C

【解析】AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4).

故选C

8、已知集合「="[1<^<4},Q={x[2<x<3},贝iJPIQ=

A.{x|l<x<2}B,{x|2<x<3}

C.{.r|3<x<4}D,{x|l<x<4}

【答案】B

【解析】】PlQ=(L4)I(2,3)=(2,3).

故选B.

9、已知空间中不过同一点的三条直线/,〃共面‘'是"/，m,〃两两相交''的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】、依题意，机,〃，/是空间不过同一点的三条直线，

当机,〃，/在同•平面时，可能“〃/?〃/,故不能得出机,〃，/两两相交.

当两两相交时，设〃7c〃=A,/〃c/=B,〃c/=C,根据公理2可知确定一个平面

a,而根据公理1可知，直线6c即/ua，所以〃?,〃,/在同一平面.

综上所述，“九〃，/在同•平面”是“机,〃，/两两相交”的必要不充分条件.

故选B.

10、己知a,〃eR,则“存在ZeZ使得。=&兀+(-1)为月”是"sina=sin/?”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

［解析】(1)当存在kwZ使得a=E+(-1)*，时，

若人为偶数，则sina=sin(E+A)=sin。；

若&为奇数，则sine=sin(%t-/?)=sin［(Z-l)7i+7t—月］=sin(兀一/7)=sin/3•

(2)当sine=sin力时，。=尸+2小或a+/7=兀+2〃讥，meZ,即

。=版+(-1)火4(左=2"2)或。=仄+(-1『0(k=2m+l),

亦即存在kwZ使得a=E+(-l)*尸.

所以，“存在丘Z使得a=E+(-1»(3”是“sine=sin夕，的充要条件.

故选C.

11、若a>0,b>0,贝lj“a+》<4”是“a6W4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当。>0,。>0时，a+b>2>fab，则当a+bW4时，有2而Wa+b44，解得a。W4，

充分性成立；

当a=l,b=4时，满足出?<4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,

综上所述，“a+844”是“W4”的充分不必要条件.

故选A.

12、设xwR,则-5x<0”是的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由/一5%<0可得0<x<5,由|*一1|<1可得0<x<2,

易知由0<x<5推不出0<x<2,

由0<x<2能推出0<x<5,

故0<x<5是0<x<2的必要而不充分条件，

即“/一5%<0”是“次一1|<1"的必要而不充分条件.

故选B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到无的取值范围.

13、设a,4为两个平面，则a〃4的充要条件是

A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与“平行

C.a,夕平行于同一条直线D.a,£垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：a内有两条相交直线都与万平行是a〃〃的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若a〃尸，则a内任意一条直线都与夕平行，所以a内有两条相交

宜线都与0平行是a///3的必要条件.

故a〃夕的充要条件是a内有两条相交直线与少平行.

故选B.

14、已知集合4={-1,0,1,2},8={0,2,3},则408=.

【答案】{0,2}

【解析】VA={-1,0,1,2}.B={0,2,3}，

AIB={0,2}.

故答案为{0,2}.

【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型.

15、设有下列四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

Pi-.过空间中任意三点有且仅有一个平面.

而：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面a,直线m_L平面a,则

则下述命题中所有真命题的序号是.

①小八Pa②〃|人〃2③「P2Vp3④可3V

【答案】①③④

【解析】对于命题PI,可设《与6相交，这两条直线确定的平面为a；

若卜与《相交，则交点A在平面。内，

同理，h412的交点B也在平面a内，

所以，ABua，即gua,命题p1为真命题;

对于命题P2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,

命题”2为假命题:

对于命题，3,空间中两条直线相交、平行或异面,

命题为假命题：

对于命题P4,若直线m_L平面。，

则机垂直于平面a内所有直线，

•.•直线Iu平面a,.•.直线m1,直线I,

命题Pa为真命题.

综上可知，P1,Pj为真命题，P1,P3为假命题，

PlAP4真命题，P|八。2为假命题，

「P2Vp3为真命题，「P3V为真命题.

故答案为①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查

推理能力，属于中等题.

16、已知集合A={-4,0,1,6},B={x|x>0,xeR},则AG8=▲.

【答案】{1,6}

【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.

由题意知，4口8={1,6}.

【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

17、能说明“若/(x)>/(0)对任意的xG(0,2］都成立，则f(x)在［0,2］上是增函数”为假

命题的一个函数是.

3,

【答案】/(x)=-(.«--)(答案不唯一)

【解析】对于/(x)=—(X—1)2,其图象的对称轴为x=1,

则/(无)"(0)对任意的xe(0,2］都成立,

但f(x)在［0,2］上不是单调函数.

名校预测

一、单选题

1、已知集合人={1w2-%-2<()},B={x[l<x<3},则Af|B=

A.1x|-l<x<31B.|x|-l<x<1}C.{x[l<x<2}D.{x[2<x<3}

【答案】：C

【解析】：集合人={*,2-%一2<()},二集合A={x|-l<x<2},

乂'；B={x[l<x<3},；.ARB={x[l<x<2},故选C.

2、己知集合4=卜|2*<1},3={x|y=lg(x-l)},则An(CM)=()

A.0B.(0,1)

C.(-00J]D.(-oo,0]

【答案】D

【解析】由题：A={x|2v<1}={A]X<0},B={x|y=lg(x-l)}={x|x>l},

C>B={x|xWl},An(CM)=(—8,0]

故选：D

3、已知全集〃=1<.集合/=卜|一3<x<l},7V={x||x|<l)(则阴影部分表示的集合是()

A.[-1/]B.(-3,1]C.(-3,-1)D.(f-3)U(-l,+<»)

【答案】C

【解析】-.ixiM.-.-i*1,i],

由题得阴影部分表示集合(43)「|加，

q,,N={x|x<—1或X>1}

所以(4N)p|M=(-3,T),

阴影部分表示的集合是(-3,-1).

故选：C

4、已知集合4=卜|三<()},B={x||x|<«},若“a=l”是=的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，集合A={x|号<0}={x[(x+l)(x—2)<0}={x[—l<x<2},

充分性：

若。=1,则8={x[T<x<l},满足5工A,即“a=l”是A”的充分条件;

必要性：

-a<a

若BqA,①集合3=0,此时符合BqA；②集合此时2，解得0<aWl.

-a>-1

故时,a<\,即“a=1”不是"8=A"的必要条件.

所以“a=1”是"B^A”的充分不必要条件.

故选：A.

5、命题“7*6凡/一；1+1>0”的否定是()

A.VxGR,x2-x+1<0B.VxeR,x2-x+1<0

22

C.3x()eR,x()-x()+1<0D.3x0e/?,x0-x0+1<0

【答案】C

【解析】全称命题的否定“玉凡炉一”+1«0，，,故选析

6、"％<0”是“1!1(%+1)<0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意得，ln(x+l)<0=0<x+l<lo—l<x<0‘故是必要不充分条件，故选B.

7、函数/(工)=1。8〃宜。>0,。工1)是增函数的一个充分不必要条件是()

A.0<a<-B.0<a<lC.a>\D.2<〃<4

2

【答案】D

【解析】

；。>1时，/(x)=log“x(a>0，axl)是增函数，

，函数f(x)=log“x{a>0,”工1)是增函数的一个充分不必要条件是ae(1,+℃)的一个子集，又

(2,4)<=(l,+w),

故选：D.

二、多选题

8、下列命题中，是真命题的是()

A.已知非零向量向万,若忖+同=,一同，则2_1_方

B.若p:Vxw(0,+oo),x-l>lnx5!lr?:Hrow(0,+oo),%-lWin/

C.在AA8c中，"sinA+cosA=sin8+cosB"是"A=8"的充要条件

D.若定义在R上的函数y=/(x)是奇函数，则y=/(/(x))也是奇函数

【答案】ABD

【解析】对A,卜+可=,一.=>a+h+2a-h-a+b-2ab=>a-b-0,所以£j_B，故A

正确；

对B,全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；

对C,sinA+cosA=sinB+cos8=2sinA•cosA=2sin8-cosB=sin2A=sinIB.

7t

所以A+8=—或A=B，显然不是充要条件，故C错误；

2

对D,设函数/(x)=/(/(x)),其定义域为R关于原点对称，目