2022年中考数学压轴难题附答案

2022年中考数学压轴题

3

1.如图1,已知经过原点的抛物线歹=以2+&与X轴交于另一点/0),在第一象限内

与直线y=x交于点8(2,/)

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线OB下方的抛物线上有一点C,点C到直线OB的距离为近,求点C的坐标；

(3)如图2,若点“在抛物线上，且/八四。=/48。，在(2)的条件下，是否存在点

2

将点4、8的坐标代入二次函数表达式得：［0=«(|)+|6；解得：(a=2

故抛物线的表达式为：y=2?-3x…①；

(2)如图，过点C作CH〃'轴交于点，，

：.ZOHC=45°,

又,.•CATLOB,

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:・/MHC=/MCH=45°,

CM-A/2,

：.HC=V2CA/=2,

设点、H(/,t),则C(32?-3z),

・・,点C在直线80的下方，

HC=t-2?+3t=2,解得：t=\,

：.C(1,-1)；

(3)如图(2)交y轴于点M

,：4MBO=NABO,0B=0B,NN0B=NAOB=45°,

•••△BON丝△405(AAS),

：・ON=OA=*,

3

将点8、N(0,-)坐标代入一次函数表达式并解得：

直线8M的表达式为：尸*1■方…②，

QQ45

联立①②并解得：x=-夕故点M(-g,-),

♦：△POCSAMOB,OB=2y/2,OC=近,

OB0M

•••—_—_乙,7

0COP

即：OM=2OP,NMOB=NPOC,

①当点P在第一象限时，

过点P作P0LO4于点0,过点/作用GLCW于点G,

ZBON=ZAOC=45°

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:./MON=/POA,

・・.△MOGs△尸。0,

•：OM=2OP,

OMMGOG

•・•------一---------—--------—-O乙,

OPPQOQ

又。G=会，MG=w，

453

•••0°=打也=话

即点P17)

6416

②同理当点P在第三象限时，

点尸(一击一曲；

453R41

综上，点P(氤痛)或(一话一才

2.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+fcv+c(a#0)的图象与x轴的交点为/(-3,0),

B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3),顶点为。，其对称轴与x轴交于点E.

(1)求二次函数解析式；

(2)连接NC,AD,CD,试判断△/QC的形状，并说明理由;

(3)点P为第三象限内抛物线上一点，△NPC的面积记为S,求S的最大值及此时点尸

的坐标;

(4)在线段/C上，是否存在点「使•为等腰三角形？若存在，直接写出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)二次函数表达式为：y—a(x+3)(x-1)—a(7+2x-3),

贝!|-3a=-3,解得：a—\,

函数的表达式为：y=/+2x-3；

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(2)由(I)知，点。(-1,-4),

AC=3CD=y/2,AD=y/(-l+3)2+(-4)2=V20,

：.AD2^AC2+CD2,

故△/£>€1为直角三角形；

(3)过点P作PH//y轴交AC于点H,

图2

将点4C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AC的表达式为：y=-x-3,

设点P(x,)+2x-3),则点，(x,-X-3),

(-X-3-X2-2X+3)=-1(x+|)2+^,

当x=—|时，S最大值为小此时点P(-|,-竽);

(4),：0A=0C=3,：.ZOAC=ZOCA=45°,

图3

△NEF为等腰直角三角形，AE=2=EF,

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:.点F（-1,-2）；

②当时，

同理可得：点尸（-3+V2,-V2）；

③当/尸=£尸时，

同理可得：点尸（-2,-1）；

故点F的坐标为：（-1,-2）或（-3+&，—V2）或（-2,-1）.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线Ci：y=ax2+bx-1经过点4（-2,1）和点8（-1,

-1）,抛物线C2：y=2?+x+l,点M为C2上一点，轴交。于点N.

（1）求抛物线Ci的解析式；

（2）①求的最小值；

②当△⑷I/N是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求M的坐标；

（3）请直接写出当△力8N为锐角三角形时，点N横坐标x的取值范围.

解：（1）：抛物线Ci：yuaf+for-1经过点N（-2,1）和点8（-1,-1）,

•••，丁”】，解得｛广：，

IQ—b-1=-13=1

二抛物线Cl的解析式为y=x2+x-1；

（2）①设M（62?+/+1）,则N（/,?+?-1）,

:.MN=4+2,

Vl>0,

.•.当f=0时,九W有最小值为2；

②当//NA/=90°,AN=NM时,AN=t-（-2）=f+2,MN=F+2,

.*.r+2=?+2,解得“=0（舍），）=1,此时点A/坐标为（1,4）,

当/NA/N=90°,时，有汁2=尸+2,解得“=0,2=1（舍），此时点M坐标

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为(0,1),

综上所述，当是以为直角边的等腰直角三角形时，用的坐标为(0,1)或(1,

4)；

(3)如图，过点/作交抛物线于M,过点8作8M_L/8交抛物线于M，

过工作/Q〃x轴，过Ni作NiQ〃y轴，过8作8SL/Q于S,过M作MT,8s于T,

\"A(-2,1),5(-1,-1),

；.NS=1,8s=2,

设M(w,m2+m-1),N2(n>n2+»-1),则

AQ=m+2,N\Q=m2+m-2,NiT=n+\,8T=M+〃，

/AQNi=//S8=NBTN2=ZBANI=NABN2=9Q°

：.NQANi+/BAS=NBAS+NABS=NABS+NNiBT=9&

：.Z.QAN\=NABS,NNzBT=ZBAS

：.丛ANiQs丛BASsZ\N2BT

.N、QBTAS।m2+m-2n2+n1

"AQ~N2T-BS'⑷m+2-n+1-2

.*加1=-2(舍去),m2=I；n\--1(舍去)，“2=4,

1o

故a/BN为锐角三角形时，点N横坐标x的范围为：-<X<1.

4.如图，在RtA48C中，NACB=9G°,。为边上的一点，以4)为直径的。。交BC

于点E,交AC于点、F,过点C作CGL/8交力8于点G,交AE于点、H,过点E的弦EP

交于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结8P,8P恰好为。。的切线.

(1)求证：8c是。。的切线.

(2)求证：EF^ED.

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3

(3)若sinN48C=^,AC=\5,求四边形的面积.

(1)证明：连接OE,0P,

,•I。为直径，点0为弦£尸的中点，

・・・依，4"点。为弦"的中点，

，力8垂直平分EP,

:・PB=BE,

°：OE=OP,OB=OB,

:.△BEOQXBPO(SSS),

・•・/BEO=/BPO,

・・・8户为OO的切线，

；・NBPO=90°,

AZBEO=90°,

：.OELBC,

・・・8C是。。的切线.

(2)证明：•：NBEO=NACB=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

9

：OA=OE9

：.NEAO=N4EO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：为的。。直径，点。为弦皮的中点,

：.EPVAB,

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•CG_L/B,

.CG//EP,

9ZACB=ZBEO=90°,

.AC//OE,

・NCAE=/AEO,

•OA=OE,

.ZEAQ=ZAEO,

・NCAE=NEAO,

•NACE=/AQE=90°,AE=AE,

•△ACE冬AAQE(4/S),

•CE=QE,

.NAEC+NCAE=NEAQ^NAHG=90°,

.ZCEH=ZAHG9

♦/AHG=/CHE,

./CHE=/CEH,

.CH=CE,

.CH=EQ,

•四边形CHQE是平行四边形，

*CH=CE,

.四边形C7/0E是菱形，

AG3

■sinN48c=sinZJCG==一，

AC5

*JC=15,

・4G=9,

.CG=y/AC2-AG2=12,

・△ACE学AAQE,

.AQ=AC=\5,

・0G=6,

'HQ1=HG2+QG2,

.暗=(12-HQ)2+62,

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解得："。=学，

:.CH=HQ=*

，四边形CHQE的面积=C〃・GQ=学x6=45.

5.如图，△/8C中，AB=AC,O。是△/8C的外接圆，8。的延长线交边4C于点D.

(1)求证：NBAC=2NABD；

(2)当△8CZ)是等腰三角形时，求/BCD的大小；

(3)当工。=2,8=3时，求边BC的长.

'：AB^AC,

：.AB=AC,

：.OA±BC,

：.ZBAO=ZCAO,

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•：OA=OB,

：.NABD=/BAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如图2中，延长/。交6C于〃.

图2

①若BD=CB,WlJZC=ZBDC=ZABEH-ZBAC=3ZABD9

9：AB=AC,

：./ABC=/C,

・・・/DBC=2N4BD,

VZDBC+ZC+ZBDC=\80°,

：.8ZABD=180°,

・・・NC=3N力80=67.5°.

②若CD=CB,则/C8O=NCO8=3N/18。，

：.ZC=4ZABDf

VZZ)5C+ZC+ZCZ>5=180°,

・・・10/48。=180°,

：.ZBCD=4ZABD=72°.

③若O8=OC,则。与4重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°♦

(3)如图3中，作4石〃8。交8。的延长线于£.

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A

图3

/.—=—=一，设。8=。力=4m0H=3a,

OHBH3

*：BH1=AB2-AH1=OB1-OH2,

・・・25-49〃2=16/-9。2,

-2_25

・・。F

4

:.BC=2BH=翌.

6.已知，如图：△/8C是等腰直角三角形，ZABC^90°,AB=10,D为4ABC外一点、,

连接N。、BD,过。作。垂足为H,交AC于E.

(1)若是等边三角形，求DE的长；

【解答】解：(1)；△48。是等边三角形,48=10,

：.NADB=60°,AD=AB=10,

'：DH±AB,

1

：.AH=抻=5,

：.DH=y/AD2-AH2=V102-52=5百，

•.♦△/8C是等腰直角三角形，

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，NC48=45°,即N4E〃=45°,

...△/E4是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)•:DHLAB,HtanZHDB=p

可设8H=3A,!J!lJDH=4k,

根据勾股定理得：DB=5k,

,:BD=AB=1Q,

.♦.5%=10解得:k=2,

:.DH=8,BH=6,AH=4,

又；EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

7.如图，已知G)O是△/BC的外接圆，是。。的直径，。是延长线上的一点，AE

，£>C交DC的延长线于E,交。。于点F,且我=存

(1)试判断DE与0。的位置关系并加以证