2023苏教版新教材高中数学必修第二册同步练习-9平面向量

第9章平面向量

9.4向量应用

基础过关练

题组一向量在几何中的应用

22

1.在直角三角形ABC中，点。是斜边A8的中点，点P为线段CO的中点，则PA+PB_

PC2

（）

A.2B.4C.5D.10

2.（2021江苏白塔高级中学月考）在^ABC中，设裕-同2=2询尻，那么动点M的轨

迹必通过△A3c的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

3.（2022江苏南通海门实验中学期末）如图所示，在正方形A3CD中，已知|幅=2,若

点N为正方形内（含边界）任意一点，则而•丽的最大值是.

4.（2021山东烟台一中月考）如图，设尸,。分别是梯形A3c。的对角线AC,8D的中

点.

⑴试用向量的方法证明:PQ〃48;

（2）若府|=3面求登的值.

题组二向量在物理中的应用

5.（2021江苏射阳中学月考）一质点受到平面上的三个力842,冗（单位我）的作用

而处于平衡状态，已知B产2成90。角，且尸的大小分别为2N和4N,则F3的大

小为（）

A.6NB.2NC.2V5ND.2V7N

6.某人骑车以akm/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a

km/h时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.

能力提升练

题组一向量在几何中的应用

1.（2022江苏太湖高级中学阶段检测）在4ABC中，角A氏C所对的边分别为a,b,c,

若氏c="=120。,且。是边上的动点（不含端点），则烟+而）・网+前）的取值范

围是（）

A.[-8,10）B.[-16,40）

C.[-8,40）D.[-16,48）

2.（2021江苏镇江期末）已知点「是^ABC内的一点，刀甘（而+元），则△ABC的面积

与△P3C的面积之比为（）

A.2B.3C.|D.6

3.（2021江苏泰州中学月考）正方形A3CD的边长为1,点尸在线段AC上运动，则

Q•（而+而）的取值范围为_________.

,1^---------------SB

4.（2022江苏三仓中学期末）如图，在△A3C中，已知NB4C=12（r,AB=2,AC=4,点D

在BC上，且BD=2DC,E是4c的中点,AQ,BE相交于O点.

（1）求线段的长；

（2）求NEOQ的余弦值.

题组二向量在物理中的应用

5.（多选X2021山东临胸实验中学期中）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个

行李包的情境.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为

尸1尸2,且尸1|=旧2|,b1与B的夹角为。.下列结论中正确的是（）

A.e越大越费力,。越小越省力

B.e的取值范围为［o,幻

C.当供我寸,|B|二|G|

D.当仇当时，周=|G|

6.(2021江苏灌云高级中学月考)质量m=2.0kg的木块，在平行于斜面向上，大小为

10N的拉力厂的作用下，沿倾斜角6=30。的光滑斜面向上滑行了|s|=2.0m的距

离.(g=9.8N/kg)

(1)分别求木块所受各力对木块所做的功；

(2)在这个过程中，木块所受各力对木块做功的代数和是多少？

答案与分层梯度式解析

第9章平面向量

9.4向量应用

基础过关练

Pf+PF,引产+|丽|2_方2+而2

,PC2_|PC|2-PC2

_(PC+CA)2+(PC+CB')2

_超__

_2|近1+2无6+画+丽2

~~

=^^-6=42-6=10.

\PC\2

2.C设BC的中点为O,

则前2一荏2=(而+荏＞(前一而)=2而.近=2询•玩，即(而-施)•就二诟•近=0,

所以雨，近，

所以动点M在线段BC的中垂线上，

所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.

故选C.

3.答案4

解析以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则4(0,0),5(2,0),

设N(x,y)(0S^2,0筑2),

则四=(2,0),而=(x,y),

所VXAB-AN=2xe[0,4],所以布.前的最大值是4.

4.典J1)我:为8。的中点，

：.CB+CD=2CQ.

VP为AC的中点,#.

2PQ=2CQ-2CP^(CB+CD)^CA=CB+CD+AC^AB+'CD.

由而与福共线，可设而=/而，

则2所=(1+2)福

.•质=殍而.①

在梯形ABCD中,|而国而|,.•"齐1,

.,质〃福即PQ//AB.

(2):•向量荏与而反向，

且|而|=3|而|,

.,.屈=-3而，即2=一,将其代入①式，

得丽亭福场

.PQ_1

••——.

AB3

5.答案C

信息提取①一质点受到平面上的三个力尸|出,尸3的作用而处于平衡状态;②M,尸2成90。角;③的

大小分别为2N,4N.

数学建模以物理中的质点受力平衡问题为背景构建数学模型,求解质点的受力大小.根据向量垂直的

充要条件,向量加法的几何意义，向量数量积的运算，从而求出力尸3的大小.

解析由题意知尸3=-(尸|+尸2),

二+尸2)]2=理+母+2Q优=4+16=20,

...岛|=2通.

故用的大小为24N.

故选C.

6.解析设此人行驶的速度为则间=。,无风时此人感觉到风速为乜设实际风速为v,由题意知，此人所感

到的从正北方向吹来的风速为v-a,

如图所示，令万5=-a,丽=-24

由^-PO+OA=PA,mPA=v-a,yJPO+OB=PB,

.♦.而”2”,即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速.由题意得/已3。=45。/4,8。,胡=4。,从而

△BP。为等腰三角形，

/.PB=PO,ZPOA=ZAPO=45°,

.•.尸0=或。,即|W=或4km/h.

故实际吹来的风是西北风，其大小为aakm/h.

解题模板

用向量法解决物理问题时，正确作出相应的几何图形有助于建立数学模型.用向量知识来解决共点

力的问题往往需要把向量平移到同一作用点上.

能力提升练

1.C以所在直线为x轴,BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

B0I)C

因为b=c=44=120。,所以40,2),8(2/5,0),C(2g,0),设D(x,0)^e(-273,273),

则说=(-x,2),丽=(-2通-x,0),觉=(2巡-x,0),

所以两+而)旧+沆)=(-2存2x,2>(2叵2犬,2)=4/-8,

因为xG(-2g,2g),

所以4r-8引-8,40),

所以(而+而)•(育+沆)的取值范围是[-8,40).

故选C.

2.B如图，取BC的中点O,连接A。,则点P在线段4。上，过点P作PMLBC于点M,过点A作ANLBC

于点N,

BDMNC

则而三(而+硝，

因为而=：(荏+前)，所以而=：而,

贝"同二3而，因止匕|而|二1而I,即PD=^AD.

易知RtAPDMSRSADN,

因喷啜W

所以S—BJ#N・BC=4N=3

S^PBC^PMBCPM

故选B.

3.答案卜2周

解析以A为坐标原点/B,A£＞所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,

则A(0,0),8(1,0),C(1,1),£>(0,1),

设P(xj)(081),

贝|J/P=(羽x),PB=(1・x,・x),PO=(・x,l-x),

/.AP-(PB+PD)=(x^c)-(1-2x,1-2x)=2%(1-2x)=-4x2+2x=-4(^x—+^(0<x<l),

/.当x=：时，存•(而+而)有最大值,为:，

当x=I时，9•(而+而)有最小值，为-2,

•••欣(而+而)的取值范围是卜蜀.

4.解析(1)易得丽=荏-同三亚-布，

：.[BE\2=BE2=(^AC-AB'fAC2^AC-AB+AB2\AC\2-\AC\-\AB\COSZBAC+\AB\2=\2,

.•.函=2b，即BE=2V3.

易得而=而+前=同+|尻=南+|(宿福[AC+^AB,

：.[AD\2=AD2=(^AC+^AB^^AC2-^AC-AB+^AB2^\AC\2+^\AC\-\AB\COSZBAC+^\AB\2=^,

.，.丽=率，即A小率.

⑵由(1)知丽AC^ABjD=l^4C+|AB,

：.ADBE=(^AC+:硝G前-硝=萍2,而通-万2=2_兴_4卓22=6

易知NE。。为而与丽的夹角，

和证_6_3回

/.cosNEOD=

I布II前「逅森方一百,

5.AD对于A,根据题意，得|0=尸|+乃|,

故|GF*F+|同2+2图x|同xcos6=2间2（+c°s。）,解得国F=募篇

由题意知。£（0㈤时,y=cos6单调递减，所以。越大越费力,9越小越省力，故A正确;

对于B,由题意知。的取值范围是（0,兀），故B错误；

对于C,当咐时,间2=字所以周=¥。|,故C错误;

对于D,当供