北师大新版八年级下学期《6.2平行四边形的判定》2019年同步练习卷

北师大新版八年级下学期《6.2平行四边形的判定》2019年同

步练习卷

—.选择题（共10小题）

1.下列选项中，不能判定四边形ABCQ是平行四边形的是（）

A.AD//BC,AB//CDB.AB//CD,AB=CD

C.AD//BC,AB=DCD.AB=DC,AD=BC

2.顺次连接平面上4、B、C、力四点得到一个四边形，从①AB〃C0②BC=A。③/4=N

C④NB=ND四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABC。是平行四边形”这一

结论的情况共有（）

A.5种B.4种C.3种D.1种

3.如图，在四边形A8CZ）中，E是8c边的中点，连接OE并延长，交AB的延长线于点F,

AB=BF.添加一个条件使四边形ABC。是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的

C.ZA=ZCD.ZF=ZCDF

4.在四边形ABC。中：（T）AB//CD@AD//BC@AB^CD@AD=BC,从以上选择两个条件

使四边形A8C。为平行四边形的选法共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

5.如图，在oABCZ）中，已知AC=4cm,若△AC。的周长为13cm,则。A8CZ）的周长为（

A.26cmB.24cmC.20cmD.Mem

6.QABCD中，E,F是对角线8。上不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AECF一

定为平行四边形的是（）

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.ZBAE=ZDCF

7.在□ABC。中，若NBA。与NCD4的角平分线交于点E,则的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

8.如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为0E的中点，延长尸。至点C,使F0=30C,

连接A&AC、BC,则在AABC中SAAB。：S^OC：SABOC=（）

9.如图，在平行四边形ABC。中，BC^2AB,CELABE,F为的中点，若/AEF=

54°,则N8=（）

10.如图，已知△ABC的面积为24,点。在线段AC上，点F在线段8c的延长线上，且

BC=4CF,OCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.6D.8

填空题（共6小题）

11.如图，0ABe。中，AC、BO相交于点0,若AO=6,AC+BO=16,则△BOC的周长

为

D

12.如图，在nABC。中，A5=10,AD=6,AC±BC.则8。=

13.如图，尸是口ABC。的边A。上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若DABCO的面积

为I65A则尸的面积（阴影部分）是cm2.

14.如图，在平行四边形ABC。中，连接BZ）,且8D=CD,过点4作。于点M,

过点。作。NJLAB于点N,且DN=3泥,在£>B的延长线上取一点P,满足/ABD=N

15.如图，-8co的对角线相交于点0,且AD^CD,过点。作OM_LAC,交A。于点M.如

果的周长为8,那么DABC。的周长是.

16.如图，在。4BCQ中，E为BC边上一点，且AB=AE,若AE平分ND4B,ZEAC=25°,

则/4EC的度数是度.

D

三.解答题(共24小题)

17.如图，在。ABCD中，连接BD,E是D4延长线上的点，尸是8c延长线上的点，且4E

18.如图，在△ABC中，过点C作C0〃AB,E是AC的中点，连接

OE并延长，交A8于点F,交CB的延长线于点G,连接A。，

CF.

(1)求证：四边形AFCZ)是平行四边形.

(2)若G8=3,BC=6,BF=3,求AB的长.

19.如图，在平行四边形ABC。中，E为AB边上的中点，连接。E并延长，交CB的延长

线于点F.

(1)求证：AD=BF；

(2)若平行四边形ABCD的面积为32,试求四边形EBCD的面积.

20.如图，在。ABCQ中，过B点作于点E,交CC于点M,过。点作DNLAC

于点F,交AB于点N.

(1)求证：四边形8MCN是平行四边形;

(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.

21.如图：在平行四边形A2G9的边A8,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,

点M,N是线段所上两点，且EM=FN,连接AMCM.

(1)求证：XAFN9XCEM；

22.如图，0ABec的对角线AC,8。相交于点。，EF过点。且与AD,BC分别相交于点

23.如图，在平行四边形4BCD中，E,尸分别是AB,8C边上的中点，CE1AB,垂足为E,

AFA.BC,垂足为F,AF与CE相交于点G；

(1)求证：XCFG乌XAEG；

(2)若AB=6,求四边形4GC£＞的对角线G。的长.

24.如图，“ABCD的对角线4C,相交于点0.E,尸是AC上的两点，并且AE=CF,

连接DE,BF.

(1)求证：△。。£丝△BOF；

(2)若BD=EF,连接EB,DF,判断四边形EBFD的形状，并说明理由.

25.如图，在平行四边形A8C。中，点。是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且4B

=AE,连接EO并延长交于点F.过点B作AE的垂线，垂足为H,交AC于点G.

(1)若AH=3,HE=\,求△ABE的面积；

(2)若/ACB=45°,求证：DF=yf2CG.

26.如图，在c4BC£>中，分别以边BC,CO作等腰△BCF,ACDE,使BC=BF,CD=DE,

NCBF=NCDE,连接4尸，AE.

(1)求证△ABF四△EDA；

(2)延长AB与CF相交于G.若AF_LAE,求证BF_LBC.

27.如图，平行四边形ABC。中，E、F分别是边8C、AQ的中点，求证：NABF=/CDE.

28.己知：如图，平行四边形A8CD,对角线AC与BD相交于点E,点G为A。的中点,

连接CG,CG的延长线交54的延长线于点片连接FD.

(1)求证：AB=AF；

(2)若AG=A8,ZBCD=120°,判断四边形ACQF的形状，并证明你的结论.

29.如图，在。4BC。中，点E、尸分别在边CB、A。的延长线上，且BE=O凡E尸分别与

AB、C。交于点G、H.求证：AG=CH.

30.如图，在QABCD中，/ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA,B凡L4C于点凡

BF的延长线交AO于点G.点”在BC的延长线上，且C”=AG,连接E/7.

(1)若BC=V2近,AB=\3,求A尸的长；

(2)求证：EB=EH.

31.如图，在平行四边形ABC。中，8力为对角线，AEA.BD,CF1BD,垂足分别为E、F,

连接AF、CE.

求证：AF=CE.

32.在平行四边形4BCD中，E为AB的中点，尸为BC上一点.

(1)如图1,若A尸_LBC,垂足为凡BF=3,AF=4,求EF的长.

(2)如图2,若。E和4F相交于点尸，点。在线段OE上，S.AQ//PC,求证：PC=2AQ.

DD

B

33.己知：如图，A。是△ABC的中线，E为A。的中点，过点A作AF〃BC交BE延长线

于点凡连接CF.

图1图2

(1)如图1,求证：四边形4OCF是平行四边形;

(2)如图2.连接CE,在不添加任何助线的情况下，请直接写出图2中所有与△8EC面积

相等的三角形.

34.如图，在8c中，AB=AC,点。，E,G分别在BC,AB,AC上，且EG〃BC,DE

//AC,延长GE至点凡使得BE=BF.

(1)判断四边形8OEF的形状，并说明理由;

(2)若NC=45°,BD=2,求£>,尸两点的距离.

35.在口A8C。中，点E为CD边上一点，点F为BC中点，连接BE,DF交于点G,且GA

=GD：

(1)如图1,若AB=AE=BG=6&,AELCD,求AG2的值；

(2)如图2,若EM平分/BEC,且EM〃。凡过点G作GNJ_BE交4E于点N且GN=

GE,求证：AEVCD.

36.如图，平行四边形ABC。中，点0是对角线AC的中点，点M为8c上一点，连接AM,

且AB=AAf，点E为BA/中点，AFrAB,连接EF,延长尸。交A8于点N.

(1)若BM=4,MC=3,AC=A/38，求AM的长度；

(2)若NACB=45。，求证：AN+AF=-/2EF.

37.在。ABCD中，连接对角线B。，AB=BD,E为线段4。上一点，AE=BE,尸为射线BE

上一点，DE=BF,连接4尸

(1)如图1,若/BED=60°,CD=243,求E尸的长；

(2)如图2,连接。F并延长交AB于点G,若AF=2DE,求证：DF=2GF.

38.已知在平行四边形ABC。中，AELBC于E点，平分NAQC交线段AE于F点.

(1)如图1,若AE=A£>,求证：CD=AF+BE；

(2)如图2,若AE：AD=a：b,试探究线段C。、4/、BE之间所满足的等量关系，请直

接写出你的结论.

图1图2

39.如图1,在平行四边形ABCQ中，E,尸分别在边A。，A8上，连接CE,CF,且满足

NDCE=NBCF,BF=DE,ZA=60°,连接EF.

(1)若EF=2,求△AEF的面积：

(2)如图2,取CE的中点P,连接。P,PF,DF,求证：DPVPF.

图1图2

40.在。ABC。中，N4OC的平分线交直线BC于点E、交A8的延长线于点凡连接AC.

(1)如图1,若乙40c=90°,G是EF的中点，连接4G、CG.

①求证：BE=BF.

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

(2)如图2,若NAOC=60°,将线段F3绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那

么AAGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)

(_7

北师大新版八年级下学期《6.2平行四边形的判定》2019

年同步练习卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.下列选项中，不能判定四边形48C。是平行四边形的是（）

A.AD//BC,AB//CDB.AB//CD,AB=CD

C.AD//BC,AB=DCD.AB=DC,AD=BC

【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；

【解答】解：A、由AO〃8C,可以判断四边形A8CZ）是平行四边形；故本选项不

符合题意；

B、由AB〃CO,AB=C。可以判断四边形ABC。是平行四边形；故本选项不符合题意；

C、由AO〃8C,AB=OC不能判断四边形ABC。是平行四边形；故本选项符合题意；

。、由AB=OC,AQ=BC可以判断四边形ABC。是平行四边形；故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础

题.

2.顺次连接平面上A、B、C、。四点得到一个四边形，从①AB〃C£>②BC=AO③NA=N

C④NO四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABC。是平行四边形”这一

结论的情况共有（）

A.5种B.4种C.3种D.1利।

【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案.

【解答】解；当①③时,四边形A8C。为平行四边形：

当①④时，四边形ABC。为平行四边形；

当③④时，四边形4BC。为平行四边形；

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形

是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相

等的四边形是平行四边形.（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（5）对角线

互相平分的四边形是平行四边形.

3.如图，在四边形A8CQ中，£是BC边的中点，连接。E并延长，交A8的延长线于点F,

AB=BF.添加一个条件使四边形ABC。是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的

是（）

CD

工

FB4

A.AD=BCB.CD=BFC.NA=NCD.ZF=ZCDF

【分析】正确选项是D想办法证明CQ=AB,CQ〃A8即可解决问题；

【解答】解：正确选项是D

理由：:NF=NCDF,NCED=NBEF,EC=BE,

:ACDE/ABFE,CD//AF,

:.CD=BF,

'：BF=AB,

：.CD=AB,

，四边形ABCD是平行四边形.

故选：D.

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

4.在四边形A8CC中：®AB//CD@AD//BC（3）AB^CD@AD=BC,从以上选择两个条件

使四边形ABC。为平行四边形的选法共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、②④、①③、③④均可判定是平行四边

形.

【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、②④、①③、

③④.

故选:B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果

有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；

4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等.则四边形是平行四边形.本题利用了第1,

2,3种来判定.

5.如图，在口A8CD中，已知AC=4cm,若△ACC的周长为13cm,贝心ABCQ的周长为（）

A.26cmB.24cmC.20cmD.18c，"

【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm.然后由平行四边形的对边相等的性质

来求平行四边形的周长.

【解答】解：；AC=4cn,若△力0c的周长为13c/n,

：.AD+DC=i3-4=9（cm）.

又：四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD,AD^BC,

平行四边形的周长为2CAB+BC）=18cm.

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质.此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质.

6.nABCZ）中，E,F是对角线8。上不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AEC/一

定为平行四边形的是（）

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.NBAE=NDCF

【分析】连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得0A=0C,0B

=0D,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到0E=0/即可，然

后根据各选项的条件分析判断即可得解.

【解答】解：如图，连接AC与8。相交于0,

在nA8C£>中，0A=0C,0B=0D,

要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到0E=0F即可：

A、若BE=DF,则08-8E=0£>-。凡BPOE=OF,故本选项不符合题意；

B、若AE=CF,则无法判断。£=0£,故本选项符合题意；

C、AF〃CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF,故本选项

不符合题意；

。、NBAE=/DC尸能够利用“角角边”证明△ABE和△CO尸全等，从而得到。然

后同A,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关

键.

7.在。ABCD中，若与/CD4的角平分线交于点E,则△AEZ）的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【分析】想办法证明NE=90°即可判断.

【解答】解：如图，•••四边形ABCD是平行四边形，

J.AB//CD,

：.ZBAD+ZADC^\80°,

,/NEAD=LNBAD,ZADE=1-ZADC,

22

:.NEAD+NADE=L（NBAD+/ADC）=90°,

2

AZE=90°,

...△ACE是直角三角形,

【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

8.如图，四边形4OEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长尸。至点C,使尸O=3OC,

连接AB、AC、BC,贝］在1△ABC中SMBO：SAAOC：SABOC=（）

【分析】连接BF.设平行四边形AFEO的面积为4〃?.由尸O：0C=3：1,BE=OB,AF//

0E可得SCOBF=SMOB=»J,SAO«C=-^W,SAAOC=—>由此即可解决问题；

33

【解答】解：连接8尺设平行四边形AFEO的面积为4,%

,/FO：0C=3：1,BE=OB,AF//OE

S^OBI--S&AOB—in>SAOBC=LK,SAAOC=2^，

33

•'♦SAAOB：SAAOC：S&B0C=m：L”=3：2：1

33

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数

解决问题，属于中考常考题型.

9.如图，在平行四边形ABCQ中，BC=2AB,CE_LA8于E,F为A。的中点，若NAEF=

【分析】过产作AB、CO的平行线FG,由于尸是AO的中点，那么G是BC的中点，即

《△BCE斜边上的中点，由止匕可得BC=2EG=2尸G,即△GEF、都是等腰三角形,

因此求N8的度数，只需求得NBEG的度数即可；易知四边形A8GF是平行四边形，得

NEFG=NAEF,由此可求得NFEG的度数，即可得到NAEG的度数，根据邻补角的定

义可得/8EG的值，由此得解.

【解答】解：过尸作尸G〃AB〃CD,交BC于G；

则四边形ABG尸是平行四边形，所以AF=BG,

即G是5c的中点；

连接EG,在RtZ\BEC中，EG是斜边上的中线,

则BG=GE=FG=1~BC；

2

'.,AE//FG,

：.NEFG=NAEF=ZFEG=54°,

/AEG=NAEF+NFEG=108°,

AZB=ZBEG=180°-108°=72°.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性

质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键.

10.如图，已知AABC的面积为24,点。在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且

BC=4CF,OCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.6D.8

【分析】由题意可知△AOE和AOEB同一底。E的高为△ABC的边BC上的高，又因平行

四边形和阴影部分同底等高，则阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半，从而问题

得解.

【解答】解：•••四边形。CFE是平行四边形，

：.DE=CF,DE//CF,

...三角形。EB的面积为：!四边形。EC凡

2

：8C=4CF,

DE=i.BC,

4

•*.sAADAs4DEB="E*h=—,皂C・h=6,

242

故选：c.

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积公式，解答此题的关键是明白：平

行四边形的面积是与其等底等高的三角形面积的2倍.

二.填空题（共6小题）

II.如图，nABCD中，AC.相交于点0,若4£>=6,AC+BD=\6,则△B0C的周长为

【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC=6,OA^OC,0B=0D,

'：AC+BD^16,

：.0B+0C=8,

.../\BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14,

故答案为14.

【点评】本题考查平行四边形的性质.三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型.

12.如图，在口ABCQ中，AB=10,AD=6,ACLBC.则BD=.

BC

【分析】由BCLAC,4B=10,8c=AO=6,由勾股定理求得4c的长，得出0A长，然后

由勾股定理求得08的长即可.

【解答】解：；四边形ABC。是平行四边形，

：.BC=AD=6,OB=D,OA=OC,

VAC±BC,

•"-AC=VAB2-BC2=8,

・・・0C=4,

二0fi=VoC2+BC2=2^,

：.BD=2OB=^413

故答案为：4^/13.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思

想的应用.

13.如图，尸是。4BCD的边AQ上一点，E、尸分别是尸8、PC的中点，若。ABC。的面积

为16C”?2,则△PET7的面积（阴影部分）是2a/.

（分析］先根据S“ABCD=16C〃F知SAPBC=Z“4BCD=8,再证△PEFs^PBC得-s

2S^PBC

（旦以）2,即浊变=工，据此可得答案.

BC84

【解答】解：的面积为16a/,

:E、尸分别是P8、PC的中点,

J.EF//BC,且EF=4C,

2

:.△PEFs^PBC,

S

APEF_(EF)2,即SaPEF=1

,△PBCBC84

S^PEF-2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质与相似三角

形的判定与性质.

14.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,且BD=CD,过点A作AM1BD于点M,

过点。作£>N_LA8于点M且ON=3加,在DB的延长线上取一点P,满足/ABD=N

MAP+ZPAB,则AP=6

【分析】根据BD=CD,AB=CD,可得BD=BA,再根据AM1BD,DNA.AB,即可得到

DN=AM=3&,依据ZABD^ZP+ZBAP,即可得到△APM

是等腰直角三角形，进而得到AP=J%M=6.

【解答】解：AB=CD,

：.BD=BA,

又DNLAB,

:.DN=AM=3瓜

又•.,NABC=NMAP+N«4B,NABD=NP+NBAP,

...△APM是等腰直角三角形，

；.AP=V^4M=6,

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给

的关键是判定△APM是等腰直角三角形.

15.如图，°ABCD的对角线相交于点O,且AD^CD,过点0作OMJ_AC,交AD于点M.如

果△CDW的周长为8,那么DABCQ的周长是16.

【分析】根据题意，0M垂直平分AC,所以MC=MA,因此△CQM的周长=AO+C£>,可

得平行四边形ABCD的周长.

【解答】解：•••A8CZ）是平行四边形，

：.OA=OC,

\'OM±AC,

：.AM=MC.

：./\CDM的周长=AO+CQ=8,

平行四边形ABC。的周长是2X8=16.

故答案为16.

【点评】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得

AM=MC是解题的关键.

16.如图，在。A8CC中，E为BC边上一点,HAB=AE,若AE平分ND48,NE4C=25°,

则/AED的度数是85度.

【分析】先证明N8=/E4Z),然后利用SAS证明△A8C之△E4O,得出NAE£)=/BAC再

证明AABE为等边三角形，可得NBAE=60°,求出N3AC的度数，即可得/AED的度

数.

【解答】解：：在平行四边形ABCZ)中，AD//BC,BC=AD,

；.NEAD=NAEB,

5L'：AB=AE,

/B=NAEB,

：.ZB=ZEAD,

'AB=AE

在aABC和△EA。中，＜NABC=/EAD

BC=AD

AAABC^AEAD(SAS),

，ZAED=ZBAC.

平分NZMB,

；.NBAE=NDAE,

:.NBAE=NAEB=NB,

.二△ABE为等边三角形，

：.ZBAE=60Q,

...NBAC=N2AE+/E4C=85°,

.•./AEZ)=N8AC=85°；

故答案为：85.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性

质；熟记平行四边形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键.

三.解答题（共24小题）

17.如图，在口ABCQ中，连接8£）,E是D4延长线上的点，尸是BC延长线上的点，且AE

=CF,连接EF交于点0.求证：OB=OD.

【分析】欲证明。8=。。，只要证明△E。。也△FOB即可；

【解答】证明：；口48c。中，

：.AD=BC,AD//BC.

NADB=NCBD.

X，：AE=CF,

：.AE+AD^CF+BC.

：.ED=FB.

又•：NE0D=4F0B,

：./\EOD^/\FOB.

：.OB=OD.

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

18.如图，在△ABC中，过点C作CD〃AB,E是AC的中点，连接

QE并延长，交AB于点F,交CB的延长线于点G,连接A。，

CF.

（1）求证：四边形4FCD是平行四边形.

(2)若GB=3,BC=6,BF=员,求AB的长.

2

'D

E

GBC

【分析】（1）由E是AC的中点知4E=CE,由AB〃C£>知/AFE=/C£）E,据此根据“44S”

即可证丝△CE£）,从而得AF=C£>,结合4B〃C£）即可得证；

（2）证△GBFS/\GCQ得竺=典，据此求得cn=2,由AF=C。及AB=AF+BF可得

GCCD2

答案.

【解答】解：（1）是AC的中点，

：.AE=CE,

'JAB//CD,

：./AFE=NCDE,

在△4£'/和△CEO中，

，ZAFE=ZCDE

V-NAEF=NCED，

AE=CE

.•.△AEF^ACED（AAS）,

：.AF=CD,

又.AB//CD,即A/〃CO,

四边形AFC。是平行四边形；

(2)'JAB//CD,

:.△GBFS/XGCD,

3_

•GB—BFpg3_2

GCCD3+6CD

解得：CD=,

2

•.•四边形AFCQ是平行四边形,

."尸=8=旦，

2

，AB=AF+BF=2+W=6.

22

【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角

形及平行四边形的判定与性质.

19.如图，在平行四边形A8C。中，E为AB边上的中点，连接OE并延长，交C8的延长

线于点F.

(1)求证：AD=BF；

(2)若平行四边形A8CZ)的面积为32,试求四边形的面积.

【分析】(1)依据中点的定义可得到AE=BE,然后依据平行线的性质可得到/4£>E=NF,

接下来，依据A4S可证明最后，依据全等三角形的性质求解即可；

(2)过点D作DMLAB于M,则DM同时也是平行四边形ABCD的高，先求得的

面积，然后依据SniliKEBCD—S平行四边形ABC。-S&4EO求解即可.

【解答】解：(1)是AB边上的中点，

：.AE=BE.

,JAD//BC,

NADE=NF.

在△AOE和△8FE中，NADE=NF,NDEA=NFEB,AE=BE,

：.△ADEQXBFE.

：.AD=BF.

(2)过点D作DMLAB与M,则DM同时也是平行四边形ABCD的高.

2244

:・S四边形EBCD=32-8=24.

【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四

边形的面积公式是解题的关键.

20.如图，在中，过8点作BMLAC于点E,交CD于点过。点作DNLAC

于点F,交48于点M

(1)求证：四边形8MEW是平行四边形；

(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.

【分析】(1)只要证明。N〃BM,可；

(2)只要证明△CEM四ZVIFM可得FN=EM=5,在RtAAFN中，根据勾股定理AN=

[AN+FN御可解决问题；

【解答】(1)证明：•.•四边形ABCZ)是平行四边形，

J.CD//AB,

'：BMLAC,DNLAC,

J.DN//BM,

...四边形BMDN是平行四边形；

(2)解：：四边形3MDN是平行四边形，

：.DM=BN,

"：CD=AB,CD//AB,

:.CM=AN,ZMCE=ZNAF,

:NCEM=NAFN=90°,

△CEM畛/XAFM

:.FN=EM=5,

在RtAAFTV中，

A/V=^AF2+FN2^52+122=13.

【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

21.如图：在平行四边形ABC。的边43,CQ上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,

点M,N是线段EF上两点，且连接AMCM.

(1)求证：△AFN妾ACEM；

(2)若/CM尸=107°,ACEM=12°,求NM4尸的度数.

【分析】(1)利用平行线的性质，根据S4S即可证明；

(2)利用全等三角形的性质可知NN4F=NECM,求出/ECM即可;

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.CD//AB,

NAFN=ZCEM,

•：FN=EM,AF=CE,

.♦.△AFN丝△CEM(SAS).

(2)解：,:丛AFN丝丛CEM,

：.4NAF=NECM,

'：ZCMF=ZCEM+ZECM,

A107°=72°+NECM,

：.ZECM^35Q,

:.NNAF=35°.

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

22.如图，oABCD的对角线AC,3。相交于点。，EF过点。且与A。，BC分别相交于点

E,F.求证：OE=OF.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC,AD//BC,继而可证得△AOEg4

COF(ASA),则可证得结论.

【解答】证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.OA=OC,AD//BC,

：.ZOAE=ZOCF,

在△OAE和△OCF中，

fZ0AE=Z0CF

,OA=OC

LZAOE=ZCOF

AAAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意

掌握数形结合思想的应用.

23.如图，在平行四边形48C。中，E,尸分别是AB,8c边上的中点，CEA.AB,垂足为E,

AFLBC,垂足为F,AF与CE相交于点G；

(1)求证：△CFG会△AEG；

(2)若4B=6,求四边形AGCO的对角线GO的长.

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到A8=AC,AC^BC,得至UAB=AC=8C,求

得/B=60°,于是得到N8AF=/8CE=30°,根据全等三角形的判定定理即可得到结

论；

(2)根据菱形的判定定理得到。ABC。是菱形，求得NADC=/B=60°,AD=CD,求得

/AZ)G=30°,解直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：,:E、F分别是AB、8c的中点，CE_LA8,AFLBC,

：.AB=AC,AC=BC,

：.AB=AC=BC,

：.ZB=60°,

:.NBAF=NBCE=30°,

■:E、F分别是AB、BC的中点,

；.AE=CF,

在△CFG和△AEG中，

'/CFG=/AEG=90°

<CF=AE，

,ZFCG=ZEAG

.,•△CFG^AAEG；

(2)解：•.•四边形ABC。是平行四边形，AB=BC,

.”A8C。是菱形，

AZADC=ZB=60°,AD=CD,

'CAD//BC,CD//AB,

：.AF±AD,CELCD,

CFG丝"EG,

：.AG=CG,

VGAIAD,GCLCD,GA=GC,

：.G£>平分NAOC,

AZADG=30°,

\'AD=AB=6,

：.DG=—=473.

cos30

【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，平

行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

24.如图，oABCO的对角线AC,BO相交于点。E,尸是AC上的两点，并且AE=CH

连接。E,BF.

(1)求证：ADOE咨ABOF；

(2)若BD=EF,连接EB,DF,判断四边形EBFD的形状，并说明理由.

D

【分析】(1)根据SAS即可证明；

(2)首先证明四边形EBFO是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证

明；

【解答】(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

：AE=C凡

：.OE=OF,

在△OEO和△20F中，

fOD=OB

<ZD0E=ZB0F

OE=OF

：./\DOE^ABOF.

(2)解：结论：四边形是矩形.

理由：'：OD=OB,OE=OF,

...四边形EBFO是平行四边形，

■:BD=EF,

四边形是矩形.

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

25.如图，在平行四边形ABC。中，点。是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且A8

=AE,连接E0并延长交AD于点F.过点B作4E的垂线，垂足为“，交4c于点G.

(1)若A4=3,HE=\,求△ABE的面积；

(2)若NAC8=45°,求证：DF=-/2PG.

【分析】(1)利用勾股定理即可得出8"的长，进而运用公式得出aABE的面积：

(2)过4作AMLBC于M,交BG于K,过G作GN1BC于N,判定△AME丝△BNGCA4S),

可得ME=NG,进而得出BE=&GC,再判定△AFO丝△CEO(AAS),可得AF=CE,

即可得到DF=BE=-j2CG.

【解答】解：(1)：AH=3,HE=\,

.\AB=AE=4,

又,?RlAABH中，BH=7AB2-AH2^夜，

•』ABE=^4EX8H=}X4X^=277；

(2)如图，过A作AM_LBC于例，交BG于K,过G作GMLBC于N,则NAMB=NAME

=NBNG=90°,

•；NACB=45°,

：.ZMAC=ZNGC=45°,

'：AB=AE,

：.BM=EM=1~BE,/BAM=NEAM,

2

又；AELBG,

AZAHK=90°=NBMK,而NAKH=/BKM,

：.ZMAE=NNBG,

设NBAM=NMAE=NNBG=a,则NBAG=45°+a,ZBGA=ZGCN+ZGBC=45°+a,

：.AB=BG,

:.AE=BG,

在△AME和△BNG中，

fZAME=ZBNG

<NMAE=/NBG，

AE=BG

:.AAME法/XBNG(A45),

:.ME=NG,

在等腰Rt^CNG中，NG=NC,

：.GC=yf2NG=yf2ME=J^BE,

：.BE=-/2pC,

；0是4c的中点,

：.OA=OC,

•.•四边形ABC。是平行四边形,

C.AD//BC,AD=BC,

：.ZOAF^ZOCE,/AFO=NCEO,

：.^AFO^/\CEO(A4S),

J.AF^CE,

：.AD-AF=BC-EC,即DF=BE,

:.DF=BE=y[^：G.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的

性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直

角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论.

26.如图，在。48CD中，分别以边BC,C。作等腰△8CF,XCDE,使BC=B凡CD=DE,

ZCBF=ZCDE,连接AF,AE.

(1)求证△ABFg△ED4；

(2)延长AB与CF相交于G.若AF_LAE,求证BF_L8C.

【分析】（1）想办法证明：AB=DE,FB=AD,NABF=NACE即可解决问题;

（2）只要证明即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••四边形A8CD是平行四边形,

：.AB=CD,AD=BC,ZABC=AADC,

■:BC=BF,CD=DE,

：.BF=AD,AB=DE,

VZADE+ZADC+ZEDC^360Q,ZABF+ZABC+ZCBF=360°,NEDC=NCBF,

：.ZADE=ZABF,

：.XABF沿XEDA.

（2）证明：延长必交AZ）于”.

NE4F=90°,

/\ABF^/\EDA,

：.ZEAD^ZAFB,

VZEAD+ZFAH=90°,

；.NFAH+NAFB=90°，

：.ZAHF=90Q,即FB_LA£),

\'AD//BC,

：.FBLBC.

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解

题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

27.如图，平行四边形ABCQ中，E、尸分别是边8C、AD的中点，求证：/ABF=NCDE.

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案.

【解答】解：在QABCD中，

AD=BC,NA=/C,

；E、产分别是边8C、的中点，

.'.AF=CE,

在aABF与△CDE中,

'AB=CD

<ZA=ZC

.AF=CE

:.丛ABF悬XCDE(SAS)

NABF=NCDE

【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三

角形，本题属于中等题型

28.已知：如图，平行四边形ABCD,对角线AC与BZ)相交于点E,点G为AO的中点，

连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.

(1)求证：A8=AF；

(2)若AG=A3,ZBCD=120°,判断四边形ACQF的形状，并证明你的结论.

G

、D

BC

【分析】(1)只要证明A8=C£>,。即可解决问题；

(2)结论：四边形ACD尸是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可;

【解答】(1)证明：・・•四边形A8CQ是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

：./AFC=/DCG,

,:GA=GD,/AGF=/CGD,

：.AAGF^ADGC,

:.AF=CD,

：.AB=AF.

(2)解：结论：四边形AC。尸是矩形.

理由：9：AF=CD,AF//CD,

・・・四边形ACDF是平行四边形，

・・•四边形ABCD是平行四边形，

：.ZBAD=ZBCD=nO0,

：.ZFAG=60°,

a

：AB=AG=AFf