2022-2023学年江苏省淮安市马坝某中学高二年级上册期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1.直线x-y+i=o的倾斜角为（）

A.30B.45,C.120D.150

【答案】B

【分析】由直线方程求直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.

【详解】x-y+l=0即y=x+i,

所以斜率为1,

设直线x-y+l=0的倾斜角为a,则tano=l

又ae[0,7t）,

所以a=f,

4

即2=45"

故选：B.

2.双曲线/-丁=1的焦距等于（）

4

A.4B.2C.石D.2#）

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用双曲线方程求出半焦距作答.

【详解】双曲线?-丁=1的半焦距为c,则02=4+1=5,解得c=6,

所以双曲线?-丁=i的焦距等于26.

故选：D

3.圆G:（x—1）-+V=4与圆G：（尤―2）-+（y+1）-=1的位置关系为（）

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】A

【分析】求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系作答.

【详解】圆G的圆心0（1,0）,半径4=2,圆G的圆心Cz（2,-1）,半径4=1,

则|C|GI=0，有々-a〈ICG1<4+八，

所以圆G与圆c2相交.

故选:A

4.已知S“是等差数列｛。,,｝的前〃项和，若4=7吗。=-43,则％=（）

A.250B.-180C.180D.-250

【答案】B

【分析】由已知，根据题意，将4=7吗。=-43直接带入九求和公式即可.

【详解】由已知，数列｛%｝为等差数列，4=7,须=-43,

所以儿=办（〃广|。）』,（丁3）-80.

故选：B.

5.过点2（2,-3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）

A.3x+2y=0B.x+y+l=0

C.2x-3y=0或x+y+1=0D.3x+2y=0或x+y+1=0

【答案】D

【分析】分为过原点和不过原点两种情况讨论，根据直线方程的截距式即可求得方程.

【详解】当截距都为0时，过点（0,0）时直线为3x+2y=o,

当截距不为零时，设直线为2+上=1,代入点尸（2,-3）得ci——L.'.x+y+1—0

aa

故选：D.

6.设等比数列｛q｝的前”项和为S“，若吟，则公比4=（）

A.4B.-2C.2D.-4

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合等比数列通项及前〃项和的意义，列式计算作答.

【详解】等比数列｛4｝的前〃项和为S.，由邑日$*得：4+%+6=5-3=28,

7_

而4+%+%=53=5，则有炉=8,解得4=2,

所以4=2.

故选：C

7.点P是椭圆《+《=1的一个焦点，点尸在椭圆上，线段尸尸的中点为N,且|ON|=1（。为坐标

1691

原点），则线段PF的长为（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】结合三角形的中位线以及椭圆的定义求得正确答案.

【详解】不妨设尸为左焦点，线为右焦点，

依题意a=4,

由于线段P厂的中点为N,而。是线段/入的中点，

所以。可〃//,|咖|=/尸用,|尸用=2,

根据椭圆的定义可知|尸网=为-归周=8-2=6.

故选：D

8.若直线y="x+l与圆d+丁=1相交于4B两点，且NAOB=60(其中。为原点)，则％的值为

()

A.或乎B.乎C.-夜或0D.72

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由NAO8=6(T可知，圆心(0,0)到直线y=Zx+l的距离为也，根据点到直线的距离公式可

2

I

得

#7^23

故选：A

y

【点睛】

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.已知直线(。+2)》+四，一1=0与直线36一丫+2=0垂直，则实数〃的值是-g

B.直线如7+1-相=0必过定点(1,1)

C.直线y=3x-2在)，轴上的截距为—2

D.经过点(1,3)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-4=0

【答案】BC

【分析】根据直线垂直关系列方程求“，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B：根

据截距的定义判断选项C,根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.

【详解】解：对A：因为直线(a+2)x+2e-l=0与直线3以—y+2=0垂直，

/\r4

则3a(a+2)-2a=3a~+4a=0,解得a=0或a=-§,A不正确；

对B：直线，nr-y+1—机=0可变为y-l=,w(x-l),因此直线必过定点(1,1),即B正确；

对C：由直线方程y=3x-2取户0,得y=-2,

所以直线y=3x-2在y轴上的截距为—2,所以C正确.

对D：经过点(1,3)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-4=0或y=3x,所以D不正确;

故选：BC.

10.已知C:/+y2-6x=0,则下述正确的是()

A.圆C的半径r=3B.点(1,2夜)在圆C的内部

C.直线/:x+道y+3=0与圆C相切D.圆C':(x+iy+/=4与圆C相交

【答案】ACD

【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可

【详解】由V+产-6*=0,得(x-3)、y2=9,则圆心C(3,0),半径用=3,

所以A正确，

对于B,因为点(1,2⑹到圆心的距离为J(3_1)2+(O一2扬2=2^>3,所以点(1，2闾在圆C的外

部，所以B错误，

「一」+3|_

对于C,因为圆心C(3,0)至IJ直线/：x+6丫+3=0的距离为"-可'，

所以直线/:x+百y+3=0与圆C相切，所以C正确，

对于D,圆C:(x+iy+y2=4的圆心为CQ1,O),半径0=2,

因为|CC[=J(3+1)2=4,LG<4<4+〃，

所以圆C':(x+iy+y2=4与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

11.已知等差数列｛4｝的前"项和为S“，公差d钝,5lt=H0,的是火与。9的等比中项，则下列选

项正确的是()

A.42=4+49=20B.d=-2

C.S“有最大值D.当S.>0时，〃的最大值为21

【答案】BC

【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，列出关于4和公差d的方程组，求得通项公式后逐

项判断即可.

.,11x10..

1la.H-------d=110

【详解】设｛%｝公差为"，则由题可知2,解得]=-2,4=20,

(q+6d)2=(q+2d)(q+8d)

故B正确；

aI2=20-2x11=-2,%+%=26+10d=2x20-20=20,故A错误；

Val=20>0,d=-2<0,故根据等差数列前〃项和的性质可知S“有最大值，故C正确；

W(n1W2

5„=na｝+~=-«+2In>0,则0<〃<21,故〃的最大值为20,故D错误.

故选：BC.

12.己知抛物线/=2期（。>0）的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，且|AF|的最小值为1,M是

线段AB的中点，P（2,3）是平面内一定点，则（）

A.p=2

B.若图+网=8,则M到x轴距离为3

C.若丽=2丽，则|丽|=3

D.|M+|A耳的最小值为4

【答案】ABD

【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.

【详解】抛物线犬=20，（P>0）上的点A到抛物线焦点尸距离的最小值为1,则有§=1,解得p=2,

A正确；

抛物线的方程为V=4y,焦点厂（0,1）,准线/：y=-l,设&±/）,8区,当），

对于B,点M（三产,入产），由抛物线的定义知，|AF|+|"|=*+l+%+l=8,

有X+%=6,所以M到x轴距离入产=3,B正确；

对于C而=（一与』一乂）,而=（々,%-1），由赤=2而得：1-%=2（%-1），即y+2y2=3,

又|而|=2|而|,即乂+1=2（必+1）,则％-2y2=1,解得y=2,y2=g，

于是得|A8HAF|+|3用=乂+1+%+1=3C不正确；

对于D,抛物线f=4），中，当x=2时，y=l<3,因此点P（2,3）在抛物线f=4y上方，

过点「作PP」/于P',交抛物线于点Q，连QF,过A作A4'_U于4，连AF,AP,PA',如图，

显然|AP|+|A尸|=|AP|+|A4乍|PA闫PPRPQ|+|QPHPQ|+|QF|,当且仅当点A与。重合时取

等号，

所以(|M+|AF|)1rtli=|PP|=4,D正确.

故选：ABD

三、填空题

13.点P(-l,2)到直线2x+y-10=0的距离为.

【答案】2>/5

【分析】由点到直线的距离公式计算.

由已知所求距离为"=掂评1=26

【详解】

故答案为：2节.

14.数列也｝的前〃项和为且2=(-1)"〃,7；9=.

【答案】-10

【分析】根据给定的通项公式，利用并项求和法计算作答.

【详解】数列也｝中,b,=(-»〃,则%T+4=一(2〃-1)+2〃=1,

所以工9=(4+。)+(4+d)+(HF(Z>17+biS)+bl9=9+(—19)=—10.

故答案为：-10

15.当圆C：/+y2-2彳-3=0截直线/：机-2=0所得的弦长最短时，实数m=

【答案】-1

【分析】根据直线方程，求其所过定点，整理圆的一般方程，明确圆心与半径，根据弦长公式，确

定当弦长最短时，圆心到直线距离的取值，根据点到直线的距离公式，可得答案.

【详解】由直线/：x-my+m-2=0,整理可得(1-y)m+x-2=0,令y=l,解得x=2,则直线/过

定点P(2,l),

由圆C：x2+y2-2x-3=0,整理可得：(x-l)2+y2=4,可知圆心C(l,0),半径r=2,

因为(2-iy+「=2<4,故尸在圆内，

设圆心C到直线/的距离为d,在弦长为2>/Z力，显然当d取得最大值，弦长最短，

22

在UCP时，d„m=\PC\=7(1-2)+(1-0)=V2,则弦长的最小值为2"^=20，

此时+则坐工=0，两边平方整理可得病+2〃7+1=0,解得〃?=-1,

J1+MJl+>

故答案为：-1.

22

16.已知片，鸟是椭圆C：5+4~=1（a>/?>0）的左，右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在

Q-b-

过4且斜率为正的直线上，△尸耳行为等腰三角形，Z/>/sP=120°,则椭圆C的离心率为.

4

【答案】y##0.5

【分析】结合图像,得到归闾=2c,再在Rt«"Q中，求得|闻=^3C,\F2Q\=c,从而得到P（2c,43c],

代入直线4尸可得到a=2c,由此可求得椭圆C的离心率.

【详解】由题意知A（-a,0），6（-c,0），E（c,0）,直线A尸的方程为：y=2^（x+a）,

由△PKK为等腰三角形，"；gP=120。，得|P闾=|耳周=2c,

过尸作尸。垂直于x轴，如图，则在Rt/KQ中，/产乙。=180。-120。=60。，

/□1

故|尸@=|尸周sinNPgQ=2c、x9=Gc,\F2Q\=\PF2\cosZPF2Q=2cx-=c,

22

所以p（c+c,6c）,即尸（2c,6）,

代入直线AP:广¥（x+a）,得辰=f（2c+a）,即。=2c,

所以所求的椭圆离心率为e=£=1.

a2

四、解答题

17.已知直线/经过两直线4：x+y=0和4：2x+3y-2=0的交点.

⑴若直线/与直线3x+y-l=0垂直，求直线/的方程；

（2）若直线/与直线x-2y+10=0平行，求直线/的方程.

【答案】⑴x-3y+8=0；

(2)x-2y+6=0.

【分析】(I)解方程组求出直线《4的交点，根据垂直条件设出直线/的方程求解作答.

(2)由(1)的交点坐标，再根据平行条件设出直线/的方程求解作答.

[x+y=0[x=—2

【详解】(1)由c-c八解得c,即直线44的交点为(-2,2),

[2x+3y-2=0[y=2

因直线/与直线3x+y-l=0垂直，则设直线/的方程为x-3y+机=0,有一2-3x2+w=0,解得，〃=8,

所以直线/方程为x-3y+8=0.

(2)由(1)知，直线4,4的交点为(-2,2),

因直线/与直线x_2y+10=0平行，贝IJ设直线/的方程为x_2y+〃=0(〃N]O),W-2-2x2+/7=0,

解得n=6,

所以直线/的方程为x—2y+6=0.

18.(1)求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与。(2#,20)的双曲线的标准方程：

(2)已知抛物线C的焦点是直线2x-3y+6=0与坐标轴的一个交点，求抛物线C的标准方程.

22

【答案】(1)--^-=1；(2)x2=Sy^y2=-l2x.

84

【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求解作答.

(2)求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线方程作答.

22

【详解】(1)设双曲线方程为：因点*4,2)、。(2遥,2a)在双曲线上，

4

16F

2=8

则有以

2

8=4

F

口

所以双曲线的标准方程为：—-^=1.

84

(2)直线2x-3y+6=0交y轴于点(0,2),则以(0,2)为焦点的抛物线的标准方程为x2=8y,

直线2x-3y+6=0交x轴于点(-3,0),则以(-3,0)为焦点的抛物线的标准方程为/=-12x.

所以抛物线C的标准方程为炉=8y或V=-12x.

19.已知等差数列｛4｝满足%=2,前4项和邑=7.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设等比数列步,｝满足"=%,4=%,数列｛"｝的通项公式.

【答案】⑴4,=；〃+；

(2也=2"T或2=-(-2广

【分析】(1)设等差数列｛《,｝的公差为d,根据已知条件列关于4和d的方程组，解方程求得％和d

的值，即可求解；

(2)等比数列也｝的公比为4,由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得弓和夕的值，即可求

解.

【详解】(1)设等差数列｛《,｝首项为％,公差为a

4+2d=2

4x(4-1)

4q+———Ld=1

12

4=1

解得：,1

a=—

2

等差数列｛为｝通项公式a,,=l+(〃-l)x；=gw+g

(2)设等比数列也｝首项为4，公比为q

解得：(T=4

.••等比数列也｝通项公式"=2"T或2=-(-2产

20.己知圆C经过A(3,0)和8(2,1)两点，且圆心在直线2x+y-4=0上.

⑴求圆C的方程；

(2)从点(3,2)向圆C作切线，求切线方程.

【答案】⑴(x-2)2+y2=l

(2)x=3或3x-4y-l=0

【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据

直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】(1)由题可知号-=E=T，所以线段43的中垂线的斜率等于1.

又因为AB的中点为(|，；),

所以线段A3的中垂线的直线方程为y-；=x-|,

即x-y-2=0,

f2x+y-4=0\x=2

联立〈-n,解得A，所以圆心C(2,0)

[x-y-2=0[y=0

又因为半径等于|AC|=1,所以圆C的方程为(x-2)2+V=l.

(2)设圆C的半径为『，贝Ur=l,

若直线的斜率不存在，因为直线过点(3,2),

所以直线方程为x=3,

此时圆心C(2,0)到直线x=3的距离d=l=r,满足题意；

若直线的斜率存在，设斜率为k,

贝切线方程为＞-2=女(》一3),即依一y+2-3«=0,

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离4=匚竺3=1,

42+1

3

解得

4

39

所以切线方程为]x_y+2_：=0,g[J3x-4y-l=0.

44

所以切线方程为x=3或3x-4y-l=0.

21.已知数列｛〃“｝为公差不为零的等差数列，4=2,且4,%,%成等比数列

（1）求数列｛4｝的通项公式

（2）若数歹IJ｛〃｝满足勿=2册，求数列｛a„+b„｝的前〃项和T„.

।3

【答案】（1）+1（2）-n2+-n+2"+2-4.

【分析】（1）利用公式法求通项公式即可.

（2）由已知得，勺为等差数列，4为等比数列，求和时注意使用分项求和的方法来求和即可.

【详解】解：（1）设数列仅“｝的公差为d,因为外,«3,%成等比数列，

所以=4%

即（4+24）2=4（4+6d）,将q=2代入，解得d=l或==0（舍），

所以4,="+1.

（2）数列仅“｝的前〃项和为»=J〃2+g”•

又"=2"‘，所以数列也』为首项为4,公比为2的等比数列，

4-?n+,x2C

所以数列｛2｝的前〃项和为=2/2-4.

1-2

13

所以数列｛“"+〃,｝的前”项和为万川+,"+2"+2_4.

【点睛】本题考查数列的公式法求通项公式，以及等差数列和等比数列的求和，属于简单题

22.椭圆C，■+£=l（a>6>0）的离心率为手，短轴一个端点到右焦点的距离为5

⑴求椭圆C的方程；

（2）设斜率存在的直线/与椭圆C交于