2022年湖北省华中学师范大第一附属中学九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．已知点都在反比例函数的图像上，那么（）A． B． C． D．的大小无法确定4．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．5．气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”．据此信息，下列说法正确的是（）A．铜陵市明天将有75％的时间降水 B．铜陵市明天将有75％的地区降水C．铜陵市明天降水的可能性比较大 D．铜陵市明天肯定下雨6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是()A． B． C． D．7．如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm8．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，当四边形ABCD的面积为6时，则k的值是（）A．6 B．3 C．2 D．9．如图是小玲设计用手电来测家附近“新华大厦”高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处，已知，且测得米，米，米，那么该大厦的高度约为（）A．米 B．米 C．米 D．米10．要使方程是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______12．如上图，四边形中，，点在轴上，双曲线过点，交于点，连接.若，，则的值为______.13．小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示0~9），由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是__________.14．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．15．如果向量a、b、x满足关系式2a﹣（x﹣3b）＝4b，那么x＝_____（用向量a、b表示）．16．若如果x：y=3：1，那么x：（x-y）的值为_______.17．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长三、解答题(共66分)19．（10分）抛物线y＝﹣x2+x+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）若B点坐标为（2，0）①求实数b的值；②如图1，点E是抛物线在第一象限内的图象上的点，求△CBE面积的最大值及此时点E的坐标．（2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点D，若抛物线上存在点P，使得P、B、C、D四点能构成平行四边形，求实数b的值．（提示：若点M，N的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则线段MN的中点坐标为（，）20．（6分）如图，已知二次函数的图象经过，两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．21．（6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A测得河北岸的树C在点A的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B点，测得树C在点B的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽.22．（8分）如图，矩形中，.为边上一动点(不与重合)，过点作交直线于.(1)求证：；(2)当为中点时，恰好为的中点，求的值.23．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，在轴上，把矩形沿对角线所在的直线对折，点恰好落在反比例函数的图象上点处，与轴交于点，延长交轴于点，点刚好是的中点.已知的坐标为．（1）求反比例函数的函数表达式；（2）若是反比例函数图象上的一点，点在轴上，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_________.25．（10分）综合与探究:操作发现:如图1，在中，，以点为中心，把顺时针旋转，得到;再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接.则与的位置关系为平行；探究证明:如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式，以点为中心，把顺时针旋转，得到；再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接，①探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；②探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.26．（10分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．（1）直接写出点B的坐标是；（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程.【详解】解：A选项，缺少a≠0条件，不是一元二次方程；B选项，分母上有未知数，是分式方程，不是一元二次方程；C选项，经整理后得x2+x=0，是关于x的一元二次方程；D选项，经整理后是一元一次方程，不是一元二次方程；故选择C.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义.2、A【解析】试题分析：因为=2，所以与是同类二次根式，所以A正确；因为与不是同类二次根式，所以B错误；因为，所以与不是同类二次根式，所以B错误；因为，所以与不是同类二次根式，所以B错误；故选A．考点：同类二次根式3、C【分析】由反比例函数的比例系数为正，那么图象过第一，三象限，根据反比例函数的增减性可得m和n的大小关系．【详解】解：∵点A（m，1）和B（n，3）在反比例函数（k＞0）的图象上，

1＜3，

∴m＞n．

故选：C．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限，用到的知识点为：k＞0，图象的两个分支分布在第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．4、D【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【详解】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．5、C【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：

A、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；

B、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；

C、明天降水的可能性为75%，比较大，故此选项正确；

D、明天肯定下雨，故此选项错误；

故选：C．【点睛】此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．6、C【解析】试题解析：C.两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.必须是夹角，但是不一定等于故选C.点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似.两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.三边的比相等，两三角形相似.7、C【分析】根据OB＝10cm，OM：MB＝4：1，可求得OM的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案．【详解】∵弦CD⊥OB于M，∴CM＝DM＝CD，∵OM：MB＝4：1，∴OM＝OB＝8cm，∴CM＝（cm），∴CD＝2CM＝12cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8、B【分析】根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，AB＝CD，再由反比例函数y＝中k的几何意义，即可得到结论.【详解】解：∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，∴AB＝OB＝OD＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴k＝2S△AOB＝2×＝3，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的结合题型,关键在于熟悉反比例函数k值的几何意义.9、B【分析】根据光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处，可知，再由，可得，从而可以得到，即可求出CD的长．【详解】∵光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处∴∵∴∴∴∵米，米，米∴∴CD=16（米）【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定，通过判定三角形相似得到对应线段成比例，构成比例是关键．10、B【分析】根据一元二次方程的定义选出正确选项．【详解】解：∵一元二次方程二次项系数不能为零，∴，即．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．二、填空题(每小题3分,共24分)11、8m【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即，解之可得．【详解】如图，

由题意知∠BAO=∠C=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO∽△CDO，

∴，即，

解得：CD=8，

故答案为：8m．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12、6【分析】如图，过点F作交OA于点G，由可得OA、BF与OG的关系，设，则，结合可得点B的坐标，将点E、点F代入中即可求出k值.【详解】解：如图，过点F作交OA于点G，则设，则，即双曲线过点，点化简得，即解得，即.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像，灵活利用坐标表示线段长和三角形面积是解题的关键.13、【分析】根据题意可知密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可．【详解】解：∵密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，∴小丽能一次支付成功的概率是．故答案为：．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14、1【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长为＝1．故答案为1．【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.15、2a﹣b【解析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．【详解】2a2ax=2故答案是2a【点睛】本题主要考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．16、【分析】根据x：y=3：1，则可设x=3a，y=a，即可计算x：（x-y）的值．【详解】解：设x=3a，y=a，则x：（x-y）=3a：(3a-a)=，故答案为：．【点睛】本题考查了比的性质，解题的关键是根据已有比例关系，设出x、y的值．17、1【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，设内切圆半径为r，由面积法r=3（步），即直径为1步，

故答案为：1．考点：三角形的内切圆与内心．18、AD=1【分析】通过证明△ADE∽△ACB，可得，即可求解．【详解】解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∴，∴AD＝1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质定理，熟练掌握定理是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）①b＝2；②△CBE面积的最大值为1，此时E（1，2）；（2）b＝﹣1+或b＝，（，）【分析】（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b即可求b；②设E（m，﹣m2+m+2），求出BC的直线解析式为y＝﹣x+2，和过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2，求出两直线交点F，则EF最大时，△CBE面积的最大；（2）可求C（0，b），B（，0），设M（t，﹣t2+t+b），利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，则分三种情况求解：①当CM和BD为平行四边形的对角线时，＝，＝0，解得b＝﹣1+；②当BM和CD为平行四边形的对角线时，＝，＝，b无解；③当BC和MD为平行四边形的对角线时，＝，＝，解得b＝或b＝﹣（舍）．【详解】解：（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b，得到0＝﹣4+2+b，∴b＝2；②C（0，2），B（2，0），∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，设E（m，﹣m2+m+2），过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2，∴直线BC与其垂线的交点为F（，﹣+2），∴EF＝（﹣+2）＝[﹣（m﹣1）2+]，当m＝1时，EF有最大值，∴S＝×BC×EF＝×2×＝1，∴△CBE面积的最大值为1，此时E（1，2）；（2）∵抛物线的对称轴为x＝，∴D（，0），∵函数与x轴有两个交点，∴△＝1+4b＞0，∴b＞﹣，∵C（0，b），B（，0），设M（t，﹣t2+t+b），①当CM和BD为平行四边形的对角线时，C、M的中点为（，），B、D的中点为（，0），∴＝，＝0，解得：b＝﹣1+或b＝﹣1﹣（舍去），∴b＝﹣1+；②当BM和CD为平行四边形的对角线时，B、M的中点为（，），C、D的中点为（，），∴＝，＝，∴b无解；③当BC和MD为平行四边形的对角线时，B、C的中点为（，），M、D的中点为（，），∴＝，＝，解得：b＝或b＝﹣（舍）；综上所述：b＝﹣1+或b＝．【点睛】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题的关键．20、见解析【分析】（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点，两点代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．【详解】（1）把，代入得，解得.∴这个二次函数解析式为.（2）∵抛物线对称轴为直线，∴的坐标为，∴，∴.【点睛】本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．21、米【分析】如图（见解析），过点A作于点E，过B作于点F，设河宽为x米，则，在和中分别利用和建立x的等式，求解即可.【详解】过点A作于点E，过B作于点F设河宽为x米，则依题意得在中，，即解得：则在中，，即解得：（米）答：根据学习小组的测量数据计算出河宽为米.【点睛】本题考查了锐角三角函数中的正切的实际应用，依据题意构造出直角三角形是解题关键.22、(1)见解析；(2)的值为.【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据余角的性质可得，进而可得结论；（2）根据题意可得BP、CP、CE的值，然后根据（1）中相似三角形的性质可得关于m的方程，解方程即得结果.【详解】解：（1）证明：四边形是矩形，，，，，，∴∽；(2)为中点，为的中点，且，，，，∵∽，，即，解得：，即的值为.【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.23、（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．24、（1）；（2），，（，0）．【分析】(1)证得BD是CF的垂直平分线，求得，作DG⊥BF于G，求得点D的坐标为，从而求得反比例函数的解析式；(2)分3种情形，分别画出图形即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABOC是矩形，∴AB=OC，AC=OB，，根据对折的性质知，，∴，，AB=DB，又∵D是CF的中点，∴BD是CF的垂直平分线，∴BC=BF，，∴，∵，∴，∵点B的坐标为，∴，在中，，，，∴，过D作DG⊥BF于G，如图，在中，，，，∴，，∴，∴点D的坐标为，代入反比例函数的解析式得：，∴反比例函数的解析式；(2)如图①、②中，作EQ∥x轴交反比例函数的图象于点Q，在中，，，∴，∴点E的坐标为，点Q纵坐标与点E纵坐标都是，代入反比例函数的解析式得：，解得：，∴点Q的坐标为，∴，∵四点构成平行四边形，∴∴点的坐标分别为，；如图③中，构成平行四边形，作QM∥y轴交轴于点M，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，，∴点的坐标为，∴∴，∴点的坐标为，综上，符合条件点的坐标有：，，；【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、直角三角形中30度角的性质、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．25、①,证明详见解析；②，证明详见解析.【分析】（1）根据旋转角的定义即可得到，即可证得与的位置关系.（2）过点作，交于点，证明四边形为平行四边形即可解决问题.【详解】①.证明:由旋转的性质，知.又，.②.证明:过点作，交于点..又由旋转的性质知，...又四边形为平行四边形..【点睛】本题考查旋转变换，掌握旋转的性质及平行四边形的判定和性质是解