高三数学一轮复习第六章数列第2课时等差数列学案

第2课时等差数列[考试要求]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．考点一等差数列基本量的运算1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d．2．前n项和公式：Sn＝na1＋nn-12d或Sn＝[典例1](1)(多选)(2024·淄博模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2(2)(2024·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于()A．13 B．14C．15 D．16(1)ABC(2)C[(1)S4＝4×a∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②联立①②得d=2∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；Sn＝－3n＋nn-12×2＝n2－4(2)∵S4=24，S则a7＝a1＋6d＝15．]等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”，解题的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．跟进训练1(1)(多选)(2024·广州调研)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是()A．a1＝－2 B．a1＝2C．d＝4 D．d＝－4(2)(2024·信阳一中月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．(1)AC(2)25[(1)设等差数列{an}的公差为d．因为a所以a(2)设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2．因为a1＝－2，所以d＝1．所以S10＝10×(－2)＋10×92×考点二等差数列的判定与证明1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．[典例2](2024·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2a(1)求证：数列1a(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：由1an+1-1＝12a得1an+1-1又a1＝2，∴1a∴数列1a(2)由(1)知，1an-1＝n，∴an∴数列{an}的通项公式为an＝n+1n等差数列的证明方法一般用定义法，即证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；而判断一个数列是等差数列时可以用定义法、等差中项法、通项公式法及前n项和公式法等．跟进训练2(2024·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求a2，a3；(2)证明数列ann是等差数列，并求{a[解](1)由题意可得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6．由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15．(2)由已知得nan+1-n+1a所以数列ann是首项为则ann＝1＋2(n－1)＝2所以an＝2n2－n．考点三等差数列性质的应用1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．3．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．4．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列．5．S2n－1＝(2n－1)an．6．等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn等差数列项的性质[典例3](2024·衡阳调研)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a1＋a6等于()A．6 B．7C．8 D．9B[因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a1＋a6＝a3＋a4＝3＋4＝7．]等差数列前n项和的性质[典例4](1)(2024·济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于()A．110 B．150C．210 D．280(2)(2024·广东仲元中学月考)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n+2A．295 B．C．285 D．(1)D(2)B[(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150．又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280．(2)根据等差数列的性质和前n项和公式，有a5b5＝2a52b5＝利用等差数列的性质解题的三个关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)在Sn＝na1+an2中，Sn与(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．跟进训练3(1)(2024年1月九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝()A．120 B．140C．160 D．180(2)(2024·武汉调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，S20202020－S20142014(1)C(2)10120[(1)因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝a1+a故选C．(2)由等差数列的性质可得Sn设其公差为d，则S20202020－S20142014＝6所以S20242024＝S1所以S2024＝10120．]考点四等差数列的前n项和及其最值1．通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d．若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．2．前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1[典例5](2024·凉山州模拟)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．[解]法一(函数法)：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142所以d＝－53Sn＝20n＋nn-12·-53＝－＝－56n-25因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130．法二(邻项变号法)：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142所以d＝－53an＝20＋(n－1)×-53＝－53n因为a1＝20>0，d＝－53所以数列{an}是递减数列．由an＝－53n＋653≤0，得当n≤12时，an＞0；当所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×-法三(图象法)：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142所以d＝－53又10+152＝12.5，所以n＝12或13时，Sn所以S12＝S13＝12×20＋12×112×-所以最大值为S12＝S13＝130．法四(性质法)：由S10＝S15得S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，即a13＝0．又d＝a13-a113-1＝－53，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝12求等差数列前n项和最值的主要方法(1)利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项；(2)利用等差数列的前n项和为二次函数，根据二次函数的性质求最值．跟进训练4(1)(2024·临沂一中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A．5 B．6C．7 D．8(2)(2024·河南郑州联考)已知等差数列16，14，12，…的前n项和为Sn，且Sn>0，则n的最大值为________．(1)C(2)16[(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0．根据首项等于13可推出这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n．根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．(2)等差数列的首项为a1＝16，公差d＝－2，Sn＝16n＋nn-12×(－2)＝－n2＋17由Sn>0，即－n2＋17n>0，解得0<n<17，又n∈N*，∴n的最大值为16．]课后习题(三十二)等差数列1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于()A．14B．12A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝a10-a610-62．(人教A版选择性必修第二册P21例6改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31 B．32C．33 D．34B[设等差数列{an}的公差为d，法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8a1+a8法二：由a1+5d=2∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×3．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A．35 B．42C．49 D．63B[法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，故选B．法二：∵{an}为等差数列，∴Sn∴2S1010＝S∴S15＝42，故选B．]4．(湘教版选择性必修第一册P19例7改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．820[设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a1+5．(2024·莆田模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为()A．－3 B．3C．－12 D．12B[由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3．]6．(2024·山东实验中学月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4a2＝53A．45 B．C．145 D．C[设等差数列{an}的公差为d，则由a4a2＝a得a1＝2d，则S4S2＝47．(2024·铁岭模拟)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13 B．12C．11 D．10A[因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝na1+an8．(多选)(2024·南京模拟)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的是()A．a7 B．a8C．S15 D．S16BC[由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝15a1+a152＝15a8为定值，但S16＝9．(2024·咸阳调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为()A．6 B．7C．8 D．13B[根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B．]10．(2024·临沂质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________．0[设等差数列{an}的公差为d，∵a2=-3∴a1=-4，d=1，∴a5＝11．(2024·广东中山