2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与平行四边形问题（课件）

微专题二次函数与平行四边形问题例1已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.连接AC.微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶一题多设问探究1(已知三个顶点位置)：点D是坐标平面内一点，请找出点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．(1)当以AB为对角线时，AC＝________，AD＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).BDBC(1)满足条件的点D1的如解图①；例1题图①D1(2)当以BC为对角线时，AB＝________，AC＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).CDBD例1题图①(2)满足条件的点D2的如解图；D2(3)当以AC为对角线时，AB＝________，AD＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).CDBC例1题图①(3)满足条件的点D3的如解图；两组对边分别平行的四边形是平行四边形.【作图依据】_________________________________________D3探究2(已知两个顶点位置，其余两点在函数图象上)：点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，请找出点P、Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．例1题图②(1)当以AC为边时，四边形APQC或四边形AQPC是平行四边形，此时AC＝________，AP＝________．在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).CQPQ(1)满足条件的点P如解图；例1题图②例1题图②Q1P1Q2P2(2)当以AC为对角线时，四边形APCQ是平行四边形，此时AP＝________，AQ＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).CPCQ(2)满足条件的点P如解图.P3Q3例1题图②【方法总结】二次函数中平行四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知线段为_______或______讨论；以探究1为例，已知AB为对角线时，作图方法为：_______________________________，所找点即为__________________的交点；若已知AB为边时，作图方法为：__________________________________________________________________，所找点即为______________________的交点．对角线边分别过点A、C作BC，AC的平行线两平行线两平行线分别过点A、C作BC，AB的平行线，或分别过点B、C作AC、AB的平行线例2题图例2如图，抛物线经过A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)三点，顶点为M，连接AC，抛物线的对称轴为直线l，l与x轴交于点D，与AC交于点E.一题多设问一题多设问二阶(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)分别代入可得，解得∴抛物线的表达式为y＝x2＋6x＋5；(1)求抛物线的表达式;例2题图例2题图【思维教练】点A、B、C为定点，要使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则需分当AC为边或对角线时进行讨论．(2)坐标平面内是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)存在，点P在坐标为(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)；【解法提示】如解图①，当AC为边时，四边形ABPC为平行四边形，则CP＝AB＝4，此时点P的坐标为(4，5)；四边形APBC为平行四边形，则AP＝BC，|xP|＝AO

＋OB

＝6，yp＝－yc＝－5，此时点P的坐标为(－6，－5)；当AC为对角线时，四边形ABCP为平行四边形，CP＝AB＝4，此时点P的坐标为(－4，5)．综上可知，点P的坐标为(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)．例2题解图①例2题图【思维教练】由GH∥x轴，AB在x轴上．可知AB∥GH，从而只需GH＝AB即可得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形．(3)设点G是抛物线上一点，过点

G作

GH∥x轴交对称轴

l于点

H，是否存在点

G，使得以

A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点

G的坐标；若不存在，请说明理由；例2题解图②(3)存在；如解图②，∵点G在抛物线上，则设点G的坐标为(g，g2＋6g＋5)，∵GH∥x轴，点H在对称轴l上，对称轴为直线x＝＝－3，∴H(－3，g2＋6g＋5)，∵GH∥AB，∴要使以A、B、G、H为顶点的四边形为平行四边形，则GH＝AB＝4，即|g＋3|＝4，解得g＝1或g＝－7.当g＝1时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G1(1，12)；当g＝－7时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G2(－7，12)．综上所述，满足条件的点G的坐标为(1，12)或(－7，12)；例2题解图②(4)设点K是抛物线上一点，过

K作

KJ∥y轴，交直线

AC于点

J，是否存在点

K，使得以

M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点

K的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线AC上的点，设出点K、J坐标，由KJ∥ME，从而只需KJ＝ME即可得到平行四边形，再根据K、J点坐标及其相对位置，求出点K坐标．(4)存在；如解图③，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)，∵KJ∥y轴，交直线AC于点J，易得直线AC的解析式为y＝x＋5，∴设点J的坐标为(e，e＋5)，∵M(－3，－4)，E(－3，2)，∴ME＝6，∵ME∥y轴，KJ∥y轴，∴KJ∥ME，∴要使得以M、E、K、J为顶点的四边形为平行四边形，则KJ＝ME＝6，例2题解图③①当点K在点J的下方时，KJ＝(e＋5)－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，则－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3(舍去)，则K1(－2，－3)；②当点K在点J的上方时，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，则e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，则K2(－6，5)，K3(1，12)，综上所述，满足条件的点K的坐标为(－2，－3)或(－6，5)或(1，12)；例2题解图③(5)设点N是抛物线上一点，点Q是x轴上一点，是否存在点N，使得以A、E、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例2题图【思维教练】由AE为定边，可分AE为平行四边形一边及AE为平行四边形对角线两种情况分别确定点N.例2题解图④NQ①如解图④，当AE为平行四边形的一条边时，QN∥AE，且NQ＝AE，则∠NQT＝∠EAD，∵NT⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠NTQ＝∠EDA＝90°，∴△QNT≌△AED，又∵AC，DM相交于点E，∴E(－3，2)，∴NT＝ED＝2，(5)存在；过点N作NT⊥x轴，交x轴于点T，T设点N的坐标为(n，n2＋6n＋5)，当点N在x轴上方时，NT＝n2＋6n＋5＝2，解得n1＝，n2＝，此时点N的坐标为(，2)或(，2)；当点N在x轴下方时，则NT＝－n2－6n－5＝2，解得n3＝，n4＝，此时点N的坐标为(，－2)或(，－2)；例2题解图④NQT②如解图⑤，当AE是平行四边形的对角线时，则NE∥AQ，∴点N的纵坐标为2，代入抛物线的表达式得NT＝n2＋6n＋5＝2，解得n5＝，n6＝，∴点N的坐标为(，2)或(，2)，综上所述，满足条件的点N的坐标为(，2)或(，2)或(，－2)或(，－2)．例2题解图⑤综合训练三阶第1题图1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．备用图解：(1)将A(－4，0)，C(2，6)代入y＝x2＋bx＋c中得：

解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x，(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；第1题图对称轴为直线x＝

＝－2，当x＝－2时，y＝×4＋2×(－2)＝－2，∴顶点M的坐标为(－2，－2)；第1题图设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－4，0)、B(0，4)代入解析式得：

解得∴直线AB的函数解析式为y＝x＋4(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；(2)∵A(－4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，第1题图∴直线AB的函数解析式为y＝x＋4，在Rt△AOB中，AB＝，∴sin∠ABO＝；第1题图备用图(3)连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，请求出点P的坐标；(3)过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，过P作PQ⊥x轴于点Q，过点C作CH⊥x轴于点H，分两种情况：PQH①当S△AOP∶S△COP＝1∶2时，如解图①∵S△AOP∶S△COP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝1∶3，∴PQ∶CH＝1∶3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x＋4中，令y＝2得2＝x＋4，∴x＝－2，∴P(－2，2)；备用图PQH第1题图∵S△COP∶S△AOP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝2∶3，∴PQ∶CH＝2∶3，②当S△COP∶S△AOP＝1∶2时，如解图，过点C作CH⊥x轴于点H.H∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x＋4中，令y＝4得4＝x＋4，∴x＝0，∴P(0，4)；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，则点P坐标为(－2，2)或(0，4)；第1题图H(4)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图【解法提示】设N(m，n)，分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A(－4，0)，O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中点为(，)，OC中点为(，)，∴解得∴N(6，6)，备用图解得∴N(－2，6)，②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：备用图③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：

解得∴N(－6，－6)，综上所述，存在点H，使得以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．备用图(4)存在；以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C连接AC.其中OC＝OB，tan∠CAO＝3.(1)求抛物线的解析式；第2题图解：(1)∵抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为(0，3)，∵OC＝OB＝3，∴点B坐标为(3，0)，∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为(－1，0)，将A(－1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式中，得解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；第2题图(2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，点Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大时P点坐标；第2题图(2)∵点Q为线段PB中点，∴S△CPQ＝

S△CPB，当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．设直线BC解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B(3，0)，C(0，3)代入，得解得∴直线BC解析式为y＝－x＋3，设点P坐标为(a，－a2＋2a＋3)，过点P作PH∥y轴交BC于点H，第2题图H点H坐标为(a，－a＋3)，∴PH＝(－a2＋2a＋3)－(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＋a－3＝－a2＋3a，S△CPB＝

·PH·(xB－xC)＝·PH·3＝PH＝

(－a2＋3a)＝(a2－3a＋

－

)＝(a－

)2＋

，第2题图H第2题图当a＝

时，即点P坐标为(

，

)时，S△CPQ最大＝

S△CPB＝

，∴点P坐标为(

，

)；H第2题图(3)将抛物线沿射线CB方向平移

个单位得新抛物线y′，点M为新抛物线y′的顶点，点D为新抛物线y′上任意一点，点N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【解法提示】沿CB方向平移

个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝－(x－3)2＋2，∴点M坐标为(3，2)，点C坐标为(0，3)，设点N坐标为(n，0)，∵，∴，∴yD＝1，则1＝－(x－3)2＋2－1＝－(x－3)2，(x－3)2＝1，x－3＝±1，∴x＝4或x＝2，∴xD＝4或xD＝2，第2题图∵，,∴xN＝7，或

，∴xN＝5，∴点N坐标为(7，0)或(5，0)，或

，

，得yD＝－1，∵，,∴xN＝7，或

，∴xN＝5，∴点N坐标为(7，0)或(5，0)，或

，

，得yD＝－1，第2题图则－1＝－(x－3)2＋2，(x－3)2＝3，x＝

，∴xD＝3－或xD＝3＋，即xN＝－或xN＝，∴点N坐标为(－，0)或(，0)．综上所述，当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，点N坐标为(7，0)或(5，0)或(，0)或(－，0)．第2题图（3）点N的坐标为(7，0)或(5，0)或(，0)或(－，0)3.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，将射线PB绕P点逆时针方向旋转45°后与二次函数图象交于点Q.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；第3题图备用图解：(1)把A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4，得解得∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋3x＋4.(2)当点P在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；(2)如解图①，过点Q作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x＋1交y轴于点F，第3题图则F(0，1)，且该直线过点A(－1，0)，∵OA＝OF，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，∴PQ∥AF，设直线PQ的解析式为直线y＝x＋c，FE由A(－1，0)，B(4，0)得，二次函数的对称轴为直线x＝，当点P落在直线x＝

上，则P(

，0)，∴

＋c＝0，解得c＝－

，∴直线PQ的解析式为y＝x－

，第3题图FE由

解得或

(不符合题意，舍去)，∴PQ=第3题图FE(3)如解图②，当－1≤x≤4时，EQ的长随x的增大而减小，∴当点P与点A(－1，0)重合时，EQ的长最大，PQ的长也最大，此时直线PQ的解析式为y＝x＋1，由解得或(不符合题意，舍去)，此时EQ＝4，PQ＝EQ＝

，∴PQ的最大值为.(3)求线段PQ的最大值；解图②(4)