2023-2024学年高二数学2019选择性试题2.2直线与圆的位置关系（十三大题型）（原卷版）

2.2直线与圆的位置关系课程标准学习目标(1)能用直线的方程、圆的方程解决具有一定综合性的数学问题和实际问题.(2)体会数形结合、函数与方程、转化与化归、特殊与一般等数学思想及方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养.1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断．2、理解并掌握直线与圆相切的问题．3、理解并掌握直线与圆的相交问题．4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题.知识点01直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．【即学即练1】直线与圆的位置关系是（

）A．过圆心 B．相切C．相离 D．相交但不过圆心知识点02圆的切线方程的求法1、点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．【即学即练2】圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．知识点03求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．【即学即练3】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为.题型一：不含参数的直线与圆的位置关系例1．（2023·高二课时练习）直线和圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定例2．（2023·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定例3．（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定变式1．（2023·全国·高二专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【方法技巧与总结】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．题型二：含参数的直线与圆的位置关系例4．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定例5．（2023·高二单元测试）直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定例6．（2023·全国·高二专题练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定变式2．（2023·安徽亳州·高二统考开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交变式3．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定变式4．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：与圆C：的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关变式5．（2023·高二课时练习）直线：与圆C：的位置关系为（

）A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交【方法技巧与总结】通过判定直线过圆内一定点，从而转化为点与圆的位置关系．题型三：由直线与圆的位置关系求参数例7．（2023·高二单元测试）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（

）A．2 B．0C．1 D．3例8．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知点为圆上一点，点在圆外，若满足的点有且只有4个，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．例9．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式6．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式7．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．1变式8．（2023·全国·高二专题练习）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式9．（2023·云南曲靖·高二校考期中）若直线与圆相切，则b的值是（

）A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12变式10．（2023·高二单元测试）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或变式11．（2023·高二课时练习）若直线与圆相交，则（

）A． B． C． D．变式12．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【方法技巧与总结】抓住了直线与圆的位置关系的代数或几何特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法．题型四：求直线与圆的交点坐标例10．（2023·高二课时练习）过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程为．例11．（2023·高二课时练习）一个圆过圆与直线的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程为.例12．（2023·辽宁·高二开学考试）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则.变式13．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与圆，试判断直线与圆的位置关系，若相交求出交点坐标．变式14．（2023·江苏·高二假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．变式15．（2023·全国·高二课堂例题）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．【方法技巧与总结】直接联立求解．题型五：求过圆上一点的切线方程例13．（2023·福建福州·高二福州三中校考期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．例14．（2023·高二课时练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7例15．（2023·全国·高二专题练习）过圆上一点的切线方程为（

）A． B．C． D．变式16．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型六：求过圆外一点的切线方程例16．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）过点向圆引切线，则其切线方程为.例17．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）过点的圆的切线方程例18．（2023·全国·高二课堂例题）经过点，且与圆相切的直线的方程为．变式17．（2023·全国·高二专题练习）过点的圆的切线方程为．变式18．（2023·高二单元测试）经过点作圆的切线，则切线的方程为.变式19．（2023·全国·高二专题练习）过点且与圆：相切的直线方程为【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型七：求切线长例19．（2023·全国·高二专题练习）过点引圆切线，则切线长是.例20．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为.例21．（2023·全国·高二专题练习）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为．变式20．（2023·河北唐山·高二统考期末）已知圆：，圆：，过圆上的任意一点P作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最大值为.变式21．（2023·山东菏泽·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为.变式22．（2023·河北邢台·高二统考期中）过点作圆的一条切线，切点为，则.【方法技巧与总结】利用切线长公式求解．题型八：已知切线求参数例22．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆相切，则（

）A．9 B．8 C．7 D．6例23．（2023·全国·高二专题练习）若直线，与相切，则最大值为（

）A． B． C．3 D．5例24．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．变式23．（2023·河南周口·高二校考阶段练习）已知直线与圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．变式24．（2023·高二课时练习）直线与圆相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．变式25．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]变式26．（2023·四川成都·高二成都七中校考期末）若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（

）A．8或2 B．6或4 C．4或6 D．2或8变式27．（2023·全国·高二专题练习）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆相切，则实数m的值为（

）A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7【方法技巧与总结】利用切线定义进行转化，建立等量方程进行求解．题型九：求弦长问题例25．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）圆与直线相交于，两点，则．例26．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆相交于两点，则弦的长为．例27．（2023·全国·高二课堂例题）过点引一条直线交圆于两点，若，则直线的方程为．【方法技巧与总结】求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长．题型十：已知弦长求参数例28．（2023·北京海淀·高二清华附中校考期中）若直线被圆C：截得的弦长为1，则．例29．（2023·高二单元测试）经过点的直线l与圆交与P，Q两点，如果，则直线l的方程为．例30．（2023·高二单元测试）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是.变式28．（2023·福建福州·高二校考期末）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程．变式29．（2023·全国·高二专题练习）若直线截圆所得弦长，则的值为.【方法技巧与总结】利用弦长公式进行转化求解．题型十一：切点弦问题例31．（2023·河南南阳·高二统考期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．2例32．（2023·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（

）A． B． C． D．例33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.则点到直线的距离的最大值为.变式30．（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．变式31．（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为．变式32．（2023·高二单元测试）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．变式33．（2023·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知圆：，则过点作的圆的切线，切点分别为A､B，则直线AB方程为变式34．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为．变式35．（2023·高二校考单元测试）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=．变式36．（2023·全国·高二期中）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点.【方法技巧与总结】求切点弦问题利用同构法求解．题型十二：最值问题例34．（2023·广东佛山·高二校联考期中）过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的最大值为．例35．（2023·高二单元测试）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为．例36．（2023·全国·高二专题练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是．变式37．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为．变式38．（2023·全国·高二专题练习）已知实数，，，满足，，，则的最大值是．变式39．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知实数x，y满足，则的最大值为.变式40．（2023·上海静安·高二校考期末）已知实数满足，，则的最大值为.变式41．（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）已知直线：与，轴的交点分别为，，且直线：与直线：相交于点，则面积的最大值是.变式42．（2023·江苏·高二假期作业）已知实数满足方程，求的最大值和最小值．变式43．（2023·高二课时练习）（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．变式44．（2023·全国·高二专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．变式45．（2023·全国·高二专题练习）已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．(1)求圆的标准方程．(2)已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求的最小值．变式46．（2023·全国·高二专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.变式47．（2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知直线和圆．(1)证明：圆C与直线l恒相交；(2)求出直线l被圆C截得的弦长的最小值．变式48．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知圆.(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；(2)设P是直线上一点，过P作圆C的切线PE，PF，切点分别为E，F，求的最小值.变式49．（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知圆C经过点和且圆心在直线上．(1)求圆C的方程；(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．变式50．（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.(1)若，求切线所在直线方程；(2)求的最小值.【方法技巧与总结】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等．题型十三：三角形面积问题例37．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考开学考试）设直线，交圆于A，B两点，当面积最大时，（

）A． B． C．2 D．例38．（2023·云南曲靖·高二校考开学考试）直线与圆相交于两点，，若满足，则.例39．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是．变式51．（2023·高二课时练习）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为．变式52．（2023·江西南昌·高二进贤县第二中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点及圆，动直线过点且交圆于、两点，则的面积的最大值为.变式53．（2023·福建泉州·高二校考期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．变式54．（2023·高二课时练习）已知直线与圆（圆心为点C）交于A，B两点，则的面积为（

）A． B． C． D．变式55．（2023·高二课时练习）点已知动直线恒过定点，为圆上一点，若（为坐标原点），则的面积为（

）A． B． C． D．变式56．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用弦长公式求解．一、单选题1．（2023·湖南郴州·高二校考阶段练习）已知圆,过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（

）A． B．2 C． D．42．（2023·高二课时练习）如图是一个圆曲隧道的截面，若路面宽为10，净高CD为7，则此隧道圆的半径是（

）A．5 B． C． D．73．（2023·新疆·高二校联考期末）已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“乌巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（

）

A． B．C． D．5．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．6．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）中学时期，我们学过“过圆内定点，最长弦为直径”那么最短的弦又如何去刻画呢？请处理如下问题：过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．7．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知圆：与轴正半轴交于点A，点为圆上动点，点为弦中点，则到直线的距离为的点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．48．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（

）A．圆关于轴的对称圆的方程为B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为二、多选题9．（2023·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）直线与圆的交点个数不可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．310．（2023·江苏盐城·高二校联考期中）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（

）A． B． C． D．11．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考期中）方程有两个不等实根，则的取值可以是（

）A． B． C．1 D．12．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．