第四章图形的相似回顾与思考课件北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似回顾与思考数学九年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01要点回顾

等于

ad

＝

bc

ad

＝

bc

BC

AC

2.平行线分线段成比例.（1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段

成比例.（2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的

对应线段成比例.（3）基本图形：3.相似三角形的判定及性质.（1）相似三角形的判定.①定理一：两角分别

的两个三角形相似（最常用的判

定）.②定理二：两边成比例且

相等的两个三角形相似.③定理三：三边

的两个三角形相似.相等

夹角

成比例

（2）相似多边形的判定：每个角对应相等、每条边对应成比例

的多边形相似.（3）相似三角形（多边形）的性质.①定理一：相似三角形

的比、

⁠的

比和

的比都等于相似比.②定理二：相似三角形（多边形）的周长比等于

⁠，

面积比等于

⁠.对应高

对应角平分线

对应中线

相似比

相似比的平方

4.图形的位似.（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点

P

，

P

'所

在的直线都经过同一点

O

，且有

OP

'＝

k

·

OP

（

k

≠0），那么这

样的两个多边形叫做

，这个点

O

叫做

⁠

，

k

就是这两个相似多边形的相似比，每组位似对应点与位

似中心共线.（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列

性质：①对应顶点的连线经过位似中心；②对应边平行或在同

一条直线上；

③对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.位似多边形

位似中

心

数学九年级上册BS版02典例讲练要点一

成比例线段与黄金分割

（1）下面四组线段中，成比例的是（

B

）A.

a

＝2，

b

＝3，

c

＝4，

d

＝5B.

a

＝1，

b

＝2，

c

＝2，

d

＝4C.

a

＝4，

b

＝6，

c

＝5，

d

＝10D.

a

＝

，

b

＝

，

c

＝3，

d

＝

B【思路导航】若其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘

积，则四条线段成比例线段.对选项进行一一分析，排除错误

答案.

【点拨】根据成比例线段的定义，注意在相乘的时候，最长的

和最短的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.若线段带

单位，注意单位要统一.（2）已知点

P

是线段

MN

的黄金分割点，当

MN

＝1时，

PM

的

长是

⁠.【思路导航】分

PM

＞

PN

和

PM

＜

PN

两种情况，根据黄金

比计算.

1.已知线段

a

，

b

，

c

，

d

是成比例线段，其中

b

＝3cm，

d

＝4

cm，

c

＝6cm，则线段

a

的长度可能为（

B

）A.5cmB.2cmC.4cmD.1cm2.若乐器上一根弦

AB

＝80cm，两端点

A

，

B

固定在乐器板面

上，期间支撑点

C

是

AB

的黄金分割点（

AC

＞

BC

），则

BC

的

长是（

C

）A.（40

－40）cmB.（40

－80）cmC.（120－40

）cmD.（120＋40

）cmBC要点二

平行线分线段成比例

如图，已知直线

l1∥

l2∥

l3，

AC

分别交

l1，

l2，

l3于点

A

，

B

，

C

；

DF

分别交

l1，

l2，

l3于点

D

，

E

，

F

，

AC

与

DF

交于点

O

，且

DE

＝3，

EF

＝6，

AB

＝4.（1）求

AC

的长；

【思路导航】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式

解答；（2）利用相似三角形的性质，列出比例式解答.

【点拨】此题考查了平行线分线段成比例与相似三角形的性

质，这两者有所区别.其中，第（2）问涉及

BE

，

CF

，但

BE

，

CF

并不是被平行线截得的线段，考虑利用相似三角形的性质进

行解答.

如图，在△

ABC

中，已知

DE

∥

BC

，

EF

∥

AB

，且

AD

∶

DB

＝

3∶2，

BC

＝25，求

FC

的长.解：∵

DE

∥

BC

，∴

EC

∶

AE

＝

BD

∶

AD

.

∵

EF

∥

AB

，∴

EC

∶

AE

＝

FC

∶

BF

.

∴

FC

∶

BF

＝

BD

∶

AD

.

∵

AD

∶

DB

＝3∶2，∴

BD

∶

AD

＝2∶3.∴

FC

∶

BF

＝2∶3.∴

FC

∶

BC

＝2∶5，即

FC

∶25＝2∶5.∴

FC

＝10.要点三

相似多边形

如图，已知四边形

ABCD

∽四边形

A1

B1

C1

D1，∠

A

＝80°，

∠

B

＝75°，∠

C

＝125°，求∠

D1的度数以及

x

的值.

【思路导航】根据四边形的内角和等于360°求出∠

D

的度数，

再根据相似多边形的对应角相等可得∠

D1＝∠

D

；根据相似多

边形对应边成比例列式即可求得

x

的值.

【点拨】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边

形对应角相等、对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键.

如图，已知四边形

ABCD

∽四边形

A

'

B

'

C

'

D

'，求

x

，

y

的值以及

∠

C

'的度数.

要点四

相似三角形的性质与判定

（1）如图，点

P

是正方形

ABCD

的边

AB

上一点（不与点

A

，

B

重合），连接

PD

并将线段

PD

绕点

P

按顺时针方向旋转

90°得到线段

PE

，

PE

交边

BC

于点

F

，连接

BE

，

DF

.

解：①∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠

A

＝∠

PBC

＝90°，

AB

＝

AD

.

∴∠

ADP

＋∠

APD

＝90°.由题意可知，∠

DPE

＝90°，∴∠

APD

＋∠

FPB

＝90°.∴∠

FPB

＝∠

ADP

＝32°.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判

定与性质，正确应用三角形相似的性质是解题的关键.（2）如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝10cm，

BC

＝8

cm.点

P

从点

C

出发，以2cm/s的速度沿

CA

向点

A

匀速运动，同

时点

Q

从点

B

出发，以1cm/s的速度沿

BC

向点

C

匀速运动，当

一个点到达终点时，另一个点随之停止.经过几秒，△

PCQ

与△

ABC

相似？【思路导航】根据相似三角形的判定分两种情况讨论，再求出

时间即可.解：设经过

t

s，△

PCQ

与△

ABC

相似.∵∠

C

＝∠

C

，∴分为两种情况：

【点拨】本题考查相似三角形中的动点问题，解决此类问题时

一定要注意三角形相似时的对应边，若对应边不确定时，要注

意进行分类讨论.

1.如图，在正方形

ABCD

中，点

M

是

BC

边上的任意一点，连接

AM

并将线段

AM

绕点

M

按顺时针方向旋转90°得到线段

NM

，与

CD

交于点

Q

.

在

CD

边上取点

P

使

CP

＝

BM

，连接

NP

，

BP

，

AQ

.

（1）求证：

BP

＝

MN

；

（2）若△

MCQ

∽△

AMQ

，求证：

BM

＝

MC

.

2.如图，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

＝10cm，

BC

＝16

cm.点

D

从点

A

出发沿

AB

方向向点

B

匀速运动，同时点

E

从点

B

出发沿

BC

方向向点

C

匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接

DE

.

设运动时间为

t

（s）（0＜

t

＜10）.解答下列问题：（1）当

t

为何值时，△

BDE

的面积为7.5cm2？

（2）在点

D

，

E

的运动过程中，是否存在时间

t

，使得△

BDE

与△

ABC

相似？若存在，请求出对应的

t

的值；若不存在，请说

明理由.

要点五

相似三角形的实际应用

学习了相似三角形的相关知识后，小明和同学们想利用

“标杆”测量大楼的高度.如图1，小明站立在地面点

F

处，他的

同学在点

B

处竖立“标杆”

AB

，使小明的头顶点

E

、杆顶点

A

、楼顶点

C

在一条直线上（点

F

，

B

，

D

也在一条直线上）.已

知小明的身高

EF

＝1.5m，“标杆”

AB

＝2.5m，

BD

＝23m，

FB

＝2m.图1（1）求大楼

CD

的高度（

CD

垂直于地面

BD

）；图1（2）如图2，小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可

以用同样的方法测得楼

CD

上点

G

的高度

GD

＝11.5m，则相对

于第一次测量，标杆

AB

应该向大楼方向移动多少米？图2【思路导航】（1）过点

E

作

EH

⊥

CD

于点

H

，交

AB

于点

J

，则

四边形

EFBJ

和四边形

EFDH

都是矩形，利用相似三角形的性质

求出

CH

，即可得出结论；（2）过点

E

作

ET

⊥

CD

于点

T

，交

移动后的标杆于点

R

，利用相似三角形的性质求解即可.解：（1）如图1，过点

E

作

EH

⊥

CD

于点

H

，交

AB

于点

J

，则

四边形

EFBJ

和四边形

EFDH

都是矩形.∴

BJ

＝

DH

＝

EF

＝1.5m，

EJ

＝

FB

＝2m，

JH

＝

BD

＝23m.∵

AB

＝2.5m，图1∴

AJ

＝

AB

－

BJ

＝2.5－1.5＝1（m）.∵

AJ

∥

CH

，∴△

EAJ

∽△

ECH

.

∴

CH

＝12.5m.∴

CD

＝

CH

＋

DH

＝12.5＋1.5＝14（m）.故大楼

CD

的高度为14m.（2）设标杆

AB

移动至

A1

B1处.如图2，过点

E

作

ET

⊥

CD

于点

T

，交

A1

B1于点

R

.

设

B1

F

＝

x

m.∵

A1

R

∥

GT

，∴△

EA1

R

∽△

EGT

.

∴

x

＝2.5.∴标杆

AB

应该向大楼方向移动2.5－2＝0.5（m）.图2图2【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造相似三角形.属于中考常考题型.

如图，小丁家窗外有一堵围墙

AB

，由于围墙的遮挡，清晨太阳

光恰好从窗户的最高点

C

射进房间地面的

D

处，中午太阳光恰

好能从窗户的最低点

E

射进房间地面的

F

处，

AB

⊥

BD

于点

B

，

CE

⊥

BD

于点

O

，小丁测得

OE

＝1m，

CE

＝1.5m，

OF

＝1.2

m，

OD

＝12m，求围墙

AB

的高度.

要点六

图形的位似

如图，在平面直角坐标系中，已知△

ABC

三个顶点的坐标

分别为

A

（2，1），

B

（1，4），

C

（3，2）.请解答下列问

题：（1）画出△

ABC

关于

y

轴对称的△

A1

B1

C1，并直接写出点

C1的

坐标；（2）以原点

O

为位似中心，相似比为1∶2，在

y

轴的右侧，画

出△

ABC

放大后的△

A2

B2

C2，并直接写出点

C2的坐标；（3）若点

D

（

a

，

b

）在线段

BC

上，请直接写出经过（2）的

变化后点

D

的对应点

D2的坐标.【思路导航】（1）依据轴对称的性质，即可得到△

ABC

关于

y

轴对称的△

A1

B1

C1，进而得出点

C1的坐标；（2）依据以原点

O

为位似中心，相似比为1∶2，即可得出△

ABC

放大后的△

A2

B2

C2，进而得到点

C2的坐标；（3）依据以原点

O

为位似中心，相

似比为1∶2，即可得出点

D