专题1.3二次函数的图象与性质十大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）（解析版）

（一）二次函数的定义+c(其中a≠0，a、b、c是常数)的式，称y（二）二次函数的性质y=ax2开口方向a>0开口向上函数有最小值顶点为最低点a<0开口向下函数有最大值顶点为最高点对称轴直线x=h直线x=-直线x=顶点坐标(h，k)2x1+x2，-a(x1-x2))224增减性当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当x=h时，y最值=k4ac-b2y最值=4ay最值=-a(x14-x2)2（或用代入法）(1)a决定抛物线的开口方向①a>0开口向上；②a<0开口向下.(2)c决定抛物线与y轴交点的位置①c>0图象与y轴交点在x轴上方；②c=0图象过原点；③c<0图象与y轴交点在x轴下方.(3)a、b决定抛物线对称轴的位置(对称轴：x=-①a、b同号对称轴在y轴左侧；②b=0对称轴是y轴；③a、b异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0.(4)顶点坐标(-，).2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况.①△>0抛物线与x轴有两个不同交点；②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)；③△<0抛物线与x轴无公共点.(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断.①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值.xy2a-b2a+bxy2a-b2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a+b与a同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a+b与a异号，若对称轴为直线x=1，则2a+b=0，简记为：1的两.侧判2a+b，左同右异中为0；②若对称轴在直线x=-1的左侧，则2a-b与a异号，若对称轴在直线x=-1的右侧，则2a-b与a同号，若对称轴为直线x=-1，则2a-b=0，简记为1的两侧判2a-b，左异右同中为0；当x=-1时，y=a-b+c，所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的函数值y的符号决定；当x=-2时，y=4a-2b+c，所以4a-2b+c的符号由x=-2时，对应的函数值y的符号决定；简记为：表达式，请代值，对应y值定正负；对称轴，用处多，三种式a相约；.y轴两侧判a、b，左同右异中为0；-1两侧判2a-b，左异右同中为0.（三）二次函数的解析式≠0)，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：y=a(x-h)2+k，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式.（四）二次函数的增减性当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少.（五）二次函数图象的平移方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。方法二：直接法如果y是x的函数，则可以用直接法。平移规律如下：左右平移变x，左+右上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找.（六）对称：y=ax2y=a(-x)2+b(-x)+c，关于原点轴对称的解析式为-y=a(-x)2+b(-x)+c，在顶点处翻折后的解析式为y=-a(x-h)2+k（a相反，定点坐标不变）.（七）二次函数的最值（1）一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。（2）给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。（3）分段函数求最值根据（2）中的方法求出每一段的最大（小）值，最后比较得出整·个函数的最大（小）值。（八）二次函数与不等式（组）+c，则y>0的解集是x轴上方的图象对应的自变量x的取值范围，y<0的解集是x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围。【考点1】二次函数的定义【例1】（2021·江苏·启东市百杏中学九年级阶段练习）下列关于x的函数一定为二次函数的是()【答案】B【分析】根据二次函数的定义分析判断即可.【详解】解：A、y=2x+1是一次函数，故本选项错误；B、y=-5x2-3一定是二次函数，故本选项正确；+bx+c，当a＝0时，是一次函数，故本选项错误；+x+1是三次函数，故本选项错误；【点睛】本题考查二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数是x的二次函数，牢记此定义是解题的关键.【变式1.1】（抚顺县期末）函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）是二次函数的条件是()A．a≠0，b≠0，c≠0B．a＜0，b≠0，c≠0C．a＞0，b≠0，c≠0D．a≠0【分析】根据二次函数定义就可以解答.【解析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选：D.【变式1.2】（鄂城区期中）下列函数关系中，是二次函数的是()A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可.【解析】A、关系式为：y＝kx+b，故A错误；B、关系式为t=，故错误；C、关系式为：C＝3a，故C错误；D、S=πR2，故D正确.故选：D.【变式1.3】（南关区校级期中）已知y＝（m+2）x|m|是关于x的二次函数，那么m的值为()【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且m+2≠0，再解出m的值即可.【解析】由题意得：|m|＝2，且m+2≠0，故选：B.【考点2】二次函数的图象【例2】（萧山区模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0则两个函数在同一坐标系中的图象可能【分析】可先根据一次函数的图象判断m的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误.【解析】A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；故选：A.【变式2.1】（2022·浙江杭州·二模）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A(﹣6，0B两点，下列说法错误的是()A．a＜0B．图象的对称轴为直线x=﹣2C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．点B的坐标为（2，0）【答案】【答案】C【分析】根据图象即可判断A、C；由解析式即可判断B；根据抛物线的对称性即可判断D.【详解】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向下，∴a＜0，故A正确，不合题意；由图象可知，抛物线的对称轴为直线x=﹣2，故B正确，不合题意；由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先增大后减小，故C错误，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2，且过A(﹣6，0∴B点的坐标为（2，0故D正确，不合题意；故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的图像和性质是解题关键【变式2.2】（北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是()B.D.【分析】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线由抛物线解析式可知与y轴的交点为（01据此作出判断即可.【解析】∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵对称轴直线∴对称轴在y轴的左侧，由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（01故选：D.【变式2.3】（西林县期中）如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是()B.D.【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断.【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交x轴于同一点，故本选项正确；故选：D.【考点3】二次函数的性质【答案】B【分析】根据解析式y=−(x−2)2+9画出抛物线图象，可知−1≤x≤5时，0≤y≤9，根据图象即可得出m的取值范围，由此可解.【详解】解：对于抛物线y=−(x−2)2+9，当x=2时，y取最大值9.结合函数图象，四个选项中，只有B选项m=1满足条件，故选：B.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想，根据函数解析式画出抛物线大致形状是解题的关键.【变式3.1】（岳麓区校级月考）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是()A．y＝4x2+2x+1B．y＝2x2+4x+1C．y＝x2﹣4x+2D．y＝2x2﹣4x+1【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题.【解析】∵抛物线y＝x2﹣2x+4x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，∵y＝4x2+2x+1的对称轴是直线故选项A不符合题意；∵y＝2x2+4x+1的对称轴是直线=−1，故选项B不符合题意；∵y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线故选项C不符合题意；∵y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线故选项D符合题意；故选：D.【变式3.2】2022·浙江宁波·九年级专题练习）已知一元二次方程2x2+bx−1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx−1的图象上有三个点（0，y1）、(−1，y2）、y3则y1，y2，y3的大小关系为()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【答案】C【分析】利用一元二次方程根的意义求得b值，将b值代入二次函数的解析式，求出抛物线的对称轴，利用二次函数图象的性质即可得出结论.【详解】∵元二次方程2x2+bx-1=0的一个根是1，∴二次函数y=2x2-x-1=2∴抛物线y=2x2-x-1的对称轴为直线，∵该抛物线开口向上，点(0，y1)、(-1，y2)y3)到对称轴的距离分别为：∵该抛物线开口向上，51114511144=4=4444且1<5<y3<<y3<y2故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根的意义，利用二次函数的增减性解答是解题的关键.【变式3.3】（三门县一模）已知函数在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是.【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得.【解析】画出函数的图象如图：在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3，故答案为1≤m≤3.【考点4】二次函数图象与系数的关系【例4】（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确A．abc＜0C．4a﹣2b＋c＜0D．3a＋c＝1【答案】【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标判断出a、b、c的符号，进而可得A正确；根据x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，x＝1时，y有最大值为a+b+c，可得B正确；根据当x=﹣2时，y＜0，可得C正确；根据x＝3时，y＜0，结合b=﹣2a，可求出3a+c＜0，可得D错误.【详解】解：∵抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线x=﹣b＝1，2a∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴abc＜0，故A正确；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y有最大值为a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+bm≠1故B正确；由图象知，当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正确；由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴另一交点的横坐标大于2小于3，∴9a+3b+c＜0，∵b=﹣2a，故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型.【变式4.1】（鼓楼区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b=﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点；③﹣1＜a<−;④方程x2﹣2x+有实数根，结论正确【分析】A．函数的对称轴为即可求解；B．新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2即可求解；C．x=﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即即可求解；D.△=4a2﹣4a＝4a，而﹣1＜a即可求解.【解析】A．函数的对称轴为=1，解得：b=﹣2a；故A正确；B．此抛物线向下移动c个单位后，新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2则x＝2时，y＝0，故抛物线过点（2，0故B正确；C．x=﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即，解得：﹣1＜a<−,故C正确；∴x2﹣2x+变形为ax2﹣2ax+1＝0，∵△=4a2﹣4a＝4a，而﹣1＜a<−∴△>0，故方程x2﹣2x+有实数根，故D正确；故选：D.【变式4.2】（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③4a－2b+c＞0；④3a+c＞0．其中错误的结论个数为 【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可.【详解】①由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，②对称轴为直线-b，即2a+b＞0，故②正确；③由图可知：当x=-2时，y＞0，故③正确；④∵当x=-1时，y=0，∴0=a-b+c＜a+2a+c=3a+c，故④正确.综上所述，有①错误.综上所述，有①错误.故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意本题选择错误的结论个数.【变式4.3】（柯桥区期中）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程ax2+（b−)x+c＝0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是()【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解.【解析】①因为抛物线的对称轴为x＝1，即−=1，所以b=﹣2a，所以①错误；所以a+b+c＝n，因为b=﹣2a，所以②正确；③因为抛物线的顶点坐标为（1，n即对称轴为x＝1，且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；所以③正确；④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx<﹣2x根据图象可知：把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象，所以当x＜0时，ax2+bx<﹣2x，即ax2+（b+2）x＜0.所以④正确；⑤一元二次方程ax2+（b−)x+c＝0因为根据图象可知：a＜0，c＞0，所以﹣4ac＞0，所以△=2﹣4ac＞0所以一元二次方程ax2+（b−)x+c＝0有两个不相等的实数根.所以⑤正确.故选：D.【考点s】二次函数图象上点的坐标特征【例5】（2022·浙江·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(m，n)，B(4﹣m，n)，且抛物线与x轴有交点，则c的最大值为()【答案】【答案】C【分析】利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，进而得到b的值，再利用抛物线与x轴有交点则Δ≥0，列出不等式即可求解.【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（m，nB（4﹣m，n∴抛物线的对称轴为直线∴b=﹣4.∵抛物线与x轴有交点，故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等式的解法，利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴是解题的关键.【变式5.1】（平和县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A(﹣3，mB（5，mC（0，m+2D(﹣1，y1E(﹣5，y2F（6，y3则函数值y1，y2，y3的大小关系是()A．y2＜y3＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2【分析】A(﹣3，mB（5，mC（0，m+2）求得抛物线对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质判断可得.【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A(﹣3，mB（5，mC（0，m+2∴抛物线的对称轴为抛物线的开口向下，∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越小，则y2＜y3＜y1，故选：A.【变式5.2】（道里区校级期中）如图，A、B是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4上的点，且AB∥x轴，若点A的坐标是（5，6则点B的坐标是()【分析】利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则利用AB∥x轴得到点A和点B关于直线x＝2对称，然后利用对称性确定B点坐标.【解析】∵y＝a（x﹣2）2﹣4上的点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴点A和点B关于直线x＝2对称，而点A的坐标是（5，6故选：D.【变式5.3】】（2022·浙江温州·九年级专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M(−2，c)．若自变量x取−4，−,1，3时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列说法一定正确的是()A．若y3y4+1>y3+y4，则y1y2+1>y1+y2B．若y4y1+1>y4+y1，则y2y3+1>y2+y3C．若y1y2+1<y1+y2，则y3y4+1<y3+y4D．若y1y3+1<y1+y3，则y2y4+1<y2+y4【答案】【答案】D【分析】先求得该图象的对称轴为=-1，不妨设a>0，根据各点横坐标与对称轴的距离大小得到y4>y1>y3>y2，再对条件分解因式，即可判断.【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M(−2，c)，∴4a-2b+c=c，即b=2a，二次函数的解析式为y=ax2+2ax+c，∴该图象的对称轴为x=-2ba=-1，不妨设不妨设a>0，4>y1>y3>y2，A、若y3y4+1>y3+y4，即y3y4+1−y3−y4=y3(y4−1)−(y4−1)=(y4−1)(y3−1)>0，则y1y2+1−y1−y2=y1(y2−1)−(y2−1)=(y2−1)(y1−1)不一定大于0，故该选项不符合题意；B、若y4y1+1>y4+y1，同理得：(y4−1)(y1−1)>0，则(y2−1)(y3−1)不一定大于0，故该选项不符合题意；C、若y1y2+1<y1+y2，同理得：(y2−1)(y1−1)<0，则(y3−1)(y4−1)不一定小于0，故该选项不符合题意；D、若y1y3+1<y1+y3，则(y2−1)(y4−1)一定小于0，故该选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出y4>y1>y3>y2是解题的关键.【考点6】二次函数平移问题【例6】（2022·浙江·九年级专题练习）将二次函数y=x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m(m>0)个单位，得到函数y=x2−2x+4的图象，则m+n的值为()【答案】【答案】D【分析】分别求出两抛物线的顶点坐标，再根据平移规律可得结论.【分析】分别求出两抛物线的顶点坐标，再根据平移规律可得结论.【详解】解：y=x2+2x+n=(x+1)2+n−1∴抛物线y=x2+2x+n的顶点坐标为-1，n-1）y=x2−2x+4=(x−1)2+3∴抛物线y=x2−2x+4的顶点坐标为（1，3）∵将二次函数y=x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移mm>0个单位，得到函数y=x2−2x+4的图象，故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换.由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.【变式6.1】（稷山县校级一模）已知二次函数y＝x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1当b从﹣1逐渐变化到1的过程A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b=﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案.【解析】当b=﹣1时，此函数解析式为：y＝x2+x+1，顶点坐标为：(−,);当b＝0时，此函数解析式为：y＝x2+1，顶点坐标为0，1当b＝1时，此函数解析式为：y＝x2﹣x+1，顶点坐标为：(,).故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动.故选：C.【变式6.2】（锦江区校级期中）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2N1（51线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点若平移后点N在抛物线x+k上，点M的坐标为(﹣2，5则k=.【分析】首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可求得N的坐标，将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值.【解析】（1）由点M1（3，2）到点(﹣2，5）可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，∴点N的坐标为（5﹣51+3即（0，2∵N（0，2）在抛物线x+k上，故答案为2.【变式6.3】（莱州市期中）把一条抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案.【解析】根据题意知，将抛物线x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到原抛物线的表达式为2﹣1﹣2，即y=2﹣3.故选：B.【考点7】二次函数最值问题【例7】（余姚市模拟）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1点B（0，4）.（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）点C（m，n）在该二次函数图象上.①当m=﹣1时，求n的值；②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围.【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）①把x=﹣1代入（1）中求得的解析式求得函数y的值，即可求得n的值；②把y＝1代入抛物线解析式求得对应的x的值，然后根据图象即可求得m的取值范围.【解析】（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1点B（0，4）.∴该二次函数为y=﹣x2+2x+4，∵y=x﹣1）2+5，（2）∵点C（m，n）在该二次函数图象上，把C(﹣1，n）代入y=﹣x2+2x+4得，n＝1；②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，∵抛物线的顶点为（1，5把y＝1代入y=﹣x2+2x+4得1=﹣x2+2x+4，解得x1＝3，x2=﹣1，∴m的取值范围是﹣1≤m≤1.【变式7.1】（赣州期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+a+1（a≠0）过点A（m，3B（n，3）两点，若线段AB的长不大于2，则代数式a2﹣a﹣2的最小值是.【分析】根据题意得a+1≥3，解不等式求得a≥2，把x＝2代入代数式即可求得.【解析】∵抛物线y＝ax2+2ax+a+1＝a（x+1）2+1（a≠0过点A（m，3B（n，3）两点，∴对称轴为直线x=﹣1，线段AB的长不大于2，∴a2﹣a﹣2的最小值为2）2﹣2﹣2＝0；故答案为0.【变式7.2】（2021·浙江金华·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋4的图象以y轴为对称轴．若点P（m，n）在该二次函数的图像上，则m－n的最大值等于()【答案】【答案】C【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m-n的最大值.【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，∴n=m2+4，∴当m=时，m-n取得最大值，此时m−n=−故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键.【变式7.3】（2022·浙江金华·九年级期末）已知二次函数y=−x−ℎ2（h为常数当2≤x≤5时，函数y的最大值为−1，则h的值为()【答案】【答案】D【分析】解答时，分h＞5和h＜2两种情形计算.【详解】当h＞5时，∵二次函数y=−x−ℎ2（h为常数当2≤x≤5时，函数y的最大值为−1，解得h=6或h=4(舍去)；∵二次函数∵二次函数y=−x−ℎ2（h为常数当2≤x≤5时，函数y的最大值为−1，解得h=1或h=3(舍去)；故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值和增减性，熟练掌握二次函数的增减性，并正确确定取何值时，函数有最值是解题的关键.【变式7.4】（丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax.（1）二次函数图象的对称轴是直线x=;（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1Q（x2，y2当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围.【分析】（1）由对称轴是直线可求解；（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解.【解析】（1）由题意可得：对称轴是直线故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，）＝∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴a=﹣1，∴二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y=﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x=﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，【考点8】二次函数与方程、不等式之间的关系【例8】（蕲春县期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为（2，0若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有3个.【分析】根据题意可知一元二次方程的根应为整数ax2+bx+c＝p（p＞0通过抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为（2，0可以画出大致图象判断出直线y＝p（0＜p≤﹣9a观察图象当0＜y≤﹣9a时，抛物线始终与x轴相交于(﹣4，0）于（2，0故自变量x的取值范围为﹣4＜x＜2．所以x可以取得整数﹣321，0，1，共5个．由于x=﹣3与x＝1，x=﹣2与x＝0关于对称轴直线x=﹣1对称，所以于x=﹣3与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x=﹣2与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x=﹣1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y＝p时，p的值应有3个.【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=﹣1=−1，解得b＝2a.又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）.把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c解得，c=﹣8a.∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）对称轴h=﹣1，最大值=−9a如图所示，令ax2+2ax﹣8a＝0解得x=﹣4或x＝2∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于(﹣4，0）与（2，0）∴ax2+bx+c＝p即常函数直线y＝p，由p＞0∴0＜y≤﹣9a由图象得当0＜y≤﹣9a时4＜x＜2，其中x为整数时，x=﹣321，0，1∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个.又∵x=﹣3与x＝1，x=﹣2与x＝0关于直线x=﹣1轴对称当x=﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点.所以p值可以有3个.故答案为3.【变式8.1】（北仑区期中）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A(﹣23B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是.【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.【解析】∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A(﹣23B（3，q）两点，观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3.故答案为﹣2＜x＜3.【变式8.2】（东城区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1=﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是.【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断.【解析】∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣2，0而抛物线的对称轴为直线∴点(﹣2，0）关于直线的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1=﹣2，x2＝3，所以③正确.由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；故答案为②③.【变式8.3】（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不A．abc＜0B．a＋b＞m（am＋bm≠1）C．4a﹣2b＋c＜0D．3a＋c＝1【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标判断出a、b、c的符号，进而可得A正确；根据x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，x＝1时，y有最大值为a+b+c，可得B正确；根据当x=﹣2时，y＜0，可得C正确；根据x＝3时，y＜0，结合b=﹣2a，可求出3a+c＜0，可得D错误.【详解】解：∵抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线x=﹣b＝1，2a∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴abc＜0，故A正确；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y有最大值为a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+bm≠1故B正确；由图象知，当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正确；由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴另一交点的横坐标大于2小于3，∴9a+3b+c＜0，∵b=﹣2a，故选：D.【考点9】待定系数法求二次函数解析式【例9】（海淀区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4.（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围.【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为(﹣1，0进而可得a的值；（3）根据点N（2，y2）关于直线x=﹣1的对称点为N′(﹣4，y2进而可得m的取值范围.【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4.∴对称轴为直线x=﹣1，故答案为：直线x=﹣1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，解得a=﹣1或a=∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x﹣1或y=x2+x+；（3）∵对称轴为直线x=﹣1，∴点N（2，y2）关于直线x=﹣1的对称点为N′(﹣4，y2①当a＞0时，若y1＞y2，则m<﹣4或m＞2；②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2.【变式9.1】（海珠区校级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(﹣1，0B（3，0﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）把A(﹣1，0B（3，0C（03）代入y＝ax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC与直线x＝1的交点就是要求的点M，求出直线BC的关系式即可.【解析】（1）把A(﹣1，0B（3，0C（03）代入y＝ax2+bx+c得，∴抛物线的关系式为yx2﹣2x﹣3；（2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为∵点M在对称轴x＝1上，且△ACM的周长最短，∴MC+MA最小，∵点A、点B关于直线x＝1对称，∴连接BC交直线x＝1于点M，此时MC+MA最小，设直BC的关系式为y＝kx+b，∴解得，∴直线BC的关系式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝1﹣3=﹣2，∴点M（12∴在抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ACM的周长最短，此时M（12）.【变式9.2】（红谷滩新区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(﹣2，0抛物线的对称轴是直线x＝1.（1）求抛物线的解析式.（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为15，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）连接BF、CF、OF，作FG⊥x轴于点G，设点F的坐标为分别表示出S△OBF、S△OCF、S△AOC，根据题意列式计算即可.解得，则抛物线的解析式为：y=−x2+x+4；（2）连接BF、CF、OF，作FG⊥x轴于点G，设点F的坐标为（t，−t2+t+4∵S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OCF=﹣t2+2t+8，由题意得t2+2t+8＝15，∴存在点F使四边形ABFC的面积为15，此时，点F的坐标为（1或（3.【变式9.3】（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(1,0),B(3,0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)点M(x1,y1,Nx2,y2)是抛物线上不同的两点.①若y1=y2，求x1,x2之间的数量关系.②若x1+x2=2(x1−x2)，求y1−y2的最小值.【答案】【答案】(1)y=x2−4x+3(2)①x1+x2=4；②最小值为−2【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可2）①若y1=y2，则y1−y2=0，化简即可得到x1,x2的关系；②y1−y2代入化简成顶点式即可得到最小值.(1)抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(1,0),B(3,0)解得解得(2)①点Mx1,y1,Nx2,y2是抛物线上不同的两点.∴y1=x−4x1+3,y2=x−4x2+3若y1=y2，则y1−y2=0.y1−y2=x−4x1+3−x−4x2+3=x1−x2x1+x2−4=0∵x1≠x2∴x1+x2=4；②y1−y2=x12−x22−4x1−x2=x1+x2x1−x2−4x1−x2=2x1−x22−4x1−x2=2x1−x22−2x1−x2当x1−x2=1时，y1−y2的最小值为-2.【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.【考点10】二次函数性质的推理计算问题【例10】（永定区期中）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m2+1，直线y＝x﹣2与x轴交于点M，与y轴交于点N.（1）求证：抛物线与x轴必有公共点；（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求△ABC的面积；（3）若线段MN与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围.【分析】（1）△=(﹣2）2﹣4(﹣m2+14m2≥0，即可求解；（2）由△ABC的面积=×AB•|yC|即可求解；（3）将直线MN与抛物线联立得到x2﹣3x﹣m2+3＝0，通过设y′＝x2﹣3x﹣m2+3，利用二次函数y′和x轴的交点情况，分类求解即可.）＝故抛物线与x轴必有公共点；（2）对于y＝x2﹣2x﹣m2+1①,令y＝x2﹣2x﹣m2+1＝0，解得x＝1+m或1﹣m，则抛物线的对称性为x＝1，当x＝1时，y＝x2﹣2x﹣m2+1=﹣m2，即点C（1m2将点C的坐标代入y＝x﹣2得m2＝1﹣2，解得m=±1，则点C（11则△ABC的面积×AB•|yC|=×2×1＝1；（3）对于y＝x﹣2，令y＝x﹣2＝0，解得x＝2，令x＝0，则y=﹣2，∴N（0，2M（2，0而线段MN为y＝x﹣2②（0≤x≤2联立①②得：x2﹣3x﹣m2+3＝0，令y′＝x2﹣3x﹣m2+3，若抛物线y＝x2﹣2x﹣m2+1与线段MN只有1个公共点，即函数y在0≤x≤2范围内只有一个交点，当与线段相切时，(﹣2）2﹣4×(﹣m2+1）＝0，解得：：﹣【变式10.1】（平和县期中）已知抛物线y＝x2﹣mx+n经过点A（3，0）.（1）当m+n=﹣1时，求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当B点坐标为（03）时，若抛物线y＝x2﹣mx+n图象的顶点在直线AB上，求m、n的值；（3）①设m=﹣2，当0≤x≤3时，求抛物线y＝x2﹣mx+n的最小值；②若当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值为﹣4，求m、n的值.【分析】（1）将点A（3，0）代入解析式，得9﹣3m+n＝0，与m+n＝1组成方程组，解方程组求得m、（2）先表示出二次函数y＝x2﹣mx+n图象的顶点，利用直线AB列出式，再与点A在二次函数上得到的式组成方程组求得m，n的值，（3）①易求抛物线解析式为y＝x2+2x﹣15．根据抛物线的对称性和增减性来求二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值；②本题要分