专题1.6圆的有关性质与计算精讲精练

一、圆的有关定义1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⌒”表示，大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧二、垂径定理及其推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧2.推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3、圆的对称性（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.（3）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理顶点在圆心的角叫做圆心角.2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.[来源:Z_xx_k.Com]推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网四、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3、推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.五、圆内接四边形：（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.六、弧长、扇形、圆锥1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长.3、圆锥的侧面积其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径.【考点1】圆的认识【例1】（杜尔伯特县期末）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为()A．圆的直径是半径的2倍B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【变式1.1】（长安区校级月考）下列说法中，不正确的是()A．过圆心的弦是圆的直径B．等弧的长度一定相等C．周长相等的两个圆是等圆D．直径是弦，半圆不是弧【变式1.2】（宜兴市月考）下列语句中正确的有几个()①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；④一个圆有无数条对称轴.【变式1.3】（仪征市期中）如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是()A．LA＞LB＞LCB．LA＜LB＜LCC．LB＞LC＞LAD．LC＜LA＜LB【考点2】垂径定理【例2】（周村区期末）如图，ΘO中，弦AB⊥CD，连接AD，BC，若AD＝2，BC＝4，则ΘO半径的长是A.B.D.【变式2.1】（青冈县期末）如图，ΘO的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆D.【变式2.2】（桐乡市期中）如图，在平面直角坐标系中，ΘP的圆心坐标（6，aa＞5半径为5，函数y＝x的图象被截得的弦AB的长为8，则a的值为()A．6B【变式2.3】（镇海区校级期中）如图，AB是半圆的直径，∠ABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和D，【考点3】圆心角【例3】（天津模拟）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数【变式3.1】（桐庐县期中）如图，在ΘO中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，BD，已知ΘO的半径【变式3.2】（溧水区期中）如图，点A，B，C在ΘO上，∠AOC＝90°,,BC＝1，则ΘO的半径【变式3.3】（莱州市一模）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC【考点4】圆周角【例4】（岳麓区校级期末）如图，AB是ΘO的直径，C，D是ΘO上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；其中一定成立的是()【变式4.1】（仁怀市模拟）已知，如图，点A，B，C三点都在ΘO上，∠B=的面积为2，则ΘO的半径为()D.【变式4.2】（兰山区校级期中）如图，已知ΘO中，CD，AB是ΘO的两条弦，∠AOB与∠COD互补，若AB＝8，CD＝6，则ΘO的半径长为()【变式4.3】（鄞州区期中）如图，AB是ΘO的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2．下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°;②若点P为AC的中点，则CE＝2OE.③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是()【考点5】圆内接四边形【例5】（滨海新区期中）如图所示，四边形ABCD为ΘO的内接四边形，∠BCD＝130°,则∠BOD的大【变式5.2】（江岸区校级模拟）如图，A、P、B、C是ΘO上的四点，∠APC=∠BPC＝60°,PA＝2，PC=4，则△ABC的面积为()B.【变式5.3】（和平区校级期中）如图，四边形ABCD是ΘO的内接四边形，∠B＝90°,∠BCD＝120°,【考点6】弧长的计算【例6】（黔西南州期末）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为cmB.D.【变式6.1】（丹东）如图，AB是ΘO的直径，C是ΘO上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°,则【变式6.2】（贺州二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为()【变式6.3】（碑林区校级期中）如图，点C为的中点，∠ABC＝22.5°,AB=【考点7】扇形的面积转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画和亦，连接AD，则图中阴影部分的面积是()B.D．5+τ【变式7.1】（襄汾县期末）如图，一根5米长的绳，一端拴在围墙墙角的柱上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动那么羊在草地上的最大活动区域面积是平方米.A.B.D.【变式7.2】（乳山市期末）如图，扇形纸扇完全打开后，扇面（即扇形ABC）的面积为135τcm2，竹条AB，AC的长均为18cm，D，E分别为AB，AC的中点，则的长为()A．cmB．7τcmC．cmD．8τcm【变式7.3】（瑞安市校级期中）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为()A．10τ﹣8B．5τ﹣8C．25τ﹣64D．50τ﹣64【考点8】圆锥的计算【例8】（开福区校级期中）如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为()A．30πB．60πC．65πD．90π【变式8.1】（秦淮区期中）一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是()A．3πB．6πC．12πD．24π【变式8.2】（赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为A．10cmB．20cmC．5cmD．24cm【变式8.3】（荔湾区一模）如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°,则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数【考点9】有关圆的性质的计算与证明问题【例9】（西华县期末）如图，AB是半ΘO的直径，P是半圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使DP＝AP，连接BD，C是BD的中点，连接OP，OC，PC.（1）求证：BA＝BD；（2）填空：①若AB＝8，当AP＝时，四边形AOCP是菱形；②当∠DPC＝时，四边形OBCP是正方形.【变式9.1】（安徽期末）如图，AB是ΘO的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝2，AC＝4，求ΘO的半径及CE的长.【变式9.2】（闽清县校级期中）如图，AB是ΘO的直径，C为ΘO上一点，连接AC，BC．AD平分∠BAC，点D在ΘO上，连接OD，交BC于点E.（2）求证：AC＝2OE.【变式9.3】（福清市期中）如图1，在ΘO中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F.（1）求证：CE＝AD；（2）如图2，点G在CD上，且∠CAG=∠ABE.①求证：AG＝BC；②若FG＝2，BE＝4，求OG的长.【考点10】圆中有关阴影部分面积的计算问题【例10】（西山区校级期中）如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE.（1）若AD＝2，求阴影部分的面积结果保留根号和π)（2）若∠ADC＝110°,求∠BED的度数.【变式10.1】（鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C