专题1.7圆的有关位置关系精讲精练

1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外.2、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：3．切线的判定和性质：（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如右图中，OD垂直于切线.4．切线长定理：（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补.(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆.三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.【考点1】点与圆的位置关系A．圆内B．圆上C．圆外D．圆上或圆外【变式1.1】（淮阴区月考）已知。O的半径为2cm，OA＝3cm，则点A与。O的位置关系是点A在()A．。O的内部B．。O上C．。O的外部D．无法确定【变式1.2】（永嘉县月考）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4若。P经过原点，那么点（5，0）与。P的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()【考点2】三角形的外接圆【例2】（江汉区期中）如图，△ABC的顶点均在。O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°,D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若。O的半径为4，则弦EF的长是()【变式2.1】（拱墅区校级期中）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有()【变式2.2】（秦淮区期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是()【变式2.3】（固安县模拟）如图，AB是。O的一条弦，P是。O上一动点（不与点A，B重合C、D分A.【考点3】直线与圆的位置关系【例3】（福山区期末）在平面直角坐标系中，。O的圆心坐标为(﹣3，0半径是方程x2﹣3x+2＝0的一根，那么。O与直线的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定【变式3.1】（金山区校级月考）已知同一平面内有。O和点A与点B，如果。O的半径为6cm，线段OA=10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与。O的位置关系为()A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【变式3.2】（青岛一模）如图，在Rt△ABC中，∠,AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则。C与AB的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．相切或相交圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是()【考点4】切线的性质D.【变式4.1】（费县期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB和小圆切于点P，若圆环的面积是【变式4.2】（常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC=,点D是AB边上一个动点，以点D为圆心r为半径作ΘD，直线BC与ΘD切于点E，若点E关于CD的对称点F恰好落在AB边上，A.B．1D.【变式4.3】（梁溪区校级期中）如图，□ABCD的三个顶点A、B、D均在ΘO上，且对角线AC经过点O，BC与ΘO相切于点B，已知ΘO的半径为6，则□ABCD的面积为()A．54B．76.8C．36D．72+14√5【考点s】切线长定理【例5】（西岗区期末）如图，P为ΘO外一点，PA、PB分别切ΘO于点A、B，CD切ΘO于点E，分别交A．8B．12C．16【变式5.1】（文昌期末）如图，四边形ABCD是ΘO的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCDA．44B．42C．46【变式5.2】（河北模拟）如图，ΘO内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°,其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则ΘO的面积为()【变式5.3】（高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，ΘO是它的内切圆，小明准备用剪刀在ΘO的右侧沿着与ΘO相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的A．12cmB．7cmC．6cmD．随直线MN的变化而变化【考点6】三角形的内切圆【例6】（微山县期末）如图，以△ABC的边AB为直径作ΘO经过点C，分别过点B，C作ΘO的两条切线相交于点D，OD交ΘO于点E，AE的延长线交BD于点F．下面结论中，错误的是()A．BC⊥ODB．AC∥ODC．FD＝FED．点E为△BCD的内心【变式6.1】（利川市期末）如图，△ABC的内切圆ΘO与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=A．10B．12C．14【变式6.2】（孟村县期末）如图，ΘO是Rt△ABC的内切圆，点D，E是切点，则下列说法不正确的是D．四边形ODCE没有外接圆【变式6.3】（丰南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°,AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为()A．点F为△ABC的外心B．点F到△ABC三边的距离相等C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上D．点E为AC中点【考点7】圆的最值问题1半径为1，D是ΘC上的一动点，则△ABD面积的最大值为()A．9B．12C．200半径为1，若点D为ΘO上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为()A．1B．2【变式7.2】（思明区校级月考）如图，已知P是ΘO的直径AB延长线上的一点，C是ΘO上一点，∠APC的平分线交AC于点D．若PC与ΘO的位置关系是相交，则∠PDC的度数不可能是()【变式7.3】（松山区期末）如图，点P（3，4ΘP半径为2，A（2.8，0B（5.6，0点M是ΘP上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是()【考点8】切线的有关计算与证明问题【例8】（卫辉市期末）如图，AB是ΘO的直径，过点A作ΘO的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交ΘO于点D，连接PD.（1）求证：PD是ΘO的切线；（2）当∠APO的度数为时，四边形POBD是平行四边形.点O为圆心，OB的长为半径作圆，ΘO经过点D，交BC于E，交AB与F.（1）求证：AC是ΘO的切线；（2）如果CE＝2，CD＝4，求ΘO的半径.【变式8.2】（闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径作圆经过点D，交BC于点E.（1）求证：AC是ΘO的切线；（2）若OB＝13，CD＝12，求EC的长.【变式8.3】（黔东南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°,∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆.（1）求证：AC是ΘD的切线；（2）若AB＝12，BC＝9．求ΘD的半径.【考点9】圆中有关阴影部分面积的计算【例9】（临沭县二模）如图，在ΘO中，AC为ΘO的直径，AB为ΘO的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交ΘO于点N，分别连接EB，CN.（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证丽；（3）若AMMB＝2，求阴影部分图形的面积.【变式9.1】（河北二模）如图、点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M、连接PM，与交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N.（1）求证：△PEM≌△PDN；（2）已知PD＝3，EM=;①通过计算比较线段PN和哪个长度更长；②计算图中阴影部分的面积（结果保留π).【变式9.2】（亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°,以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D.（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；（3）若，求AD•AB的值.【变式9.3】（南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D=∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点.（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm.①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积.【考点10】圆与相似综合问题【例10】（北林区期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在ΘO上取一点C，延长AB至点D，连接DC，过点A作ΘO的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC.（1）求证：CD是ΘO的切线；（2）若AD＝6求AE的长.【变式10.1】（包头三模）如图，线段AB经过ΘO的圆心O，交ΘO于A，C两点，AD为ΘO的弦，连接BD，∠A=∠ABD＝30°,连接DO并延长，交ΘO于点E，连接BE交ΘO于点F.（1）求证：BD是ΘO的切线；（2）求证：2AD2＝DE•AB；（3）若BC＝1，求BF的长.【变式10.2】（涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的ΘO与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F.（1）求证：EF是ΘO的切线；（2）若的半径为，BD＝2，求CE的长.【变式10.3】（福清市期中）如图，AB为ΘO的直径，点C在ΘO上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，在OD的延长线上取点E，连接CE，且∠E=∠B.（1）求证：CE是ΘO的切线；（2）若ΘO的半径长为2√5，CE＝4√5，求BC的长.【考点11】圆与三角函数综合问题【例11】（高新区期中）如图，以△ABC的边AC上一点O为圆心，OC为半径的ΘO经过B点与AC交于D点，连接BD，已知∠ABD=∠C，tanC=.（1）求证：AB为ΘO的切线；（2）若AD＝1，求CD；（3）设AM为∠BAC的平分线，AM＝4，求ΘO的半径.【变式11.1】（青山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的ΘD与AC交于点E.（1）求证：BC是ΘD的切线；（2）若sinC设BC切ΘD于点F，求tan∠CFE的值；【变式11.2】（南京模拟）如图，AB是ΘO的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交ΘO于点F，且CE＝CB.（1）求证：BC是ΘO的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果BE＝13求ΘO的半径.【变式11.3】（郯城县二模）如图，AB为ΘO直径，C、D为ΘO上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为ΘO的切线；（2）当时，求BF的长.【考点12】圆与函数综合问题【例12】（西山区校级期中）已知：如图AB是ΘO的直径，AM，BN与ΘO分别相切于点A、点B，OD平分∠ADC.（1）求证：CD是ΘO的切线；（2）若ΘO的直径为10，设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式.【变式12.1】（海淀区校级期中）如图，在半圆O中，C是直径AB上一动点（不与端点重合且AB＝6，过点C作CD⊥AB交半ΘO于点D，若AC＝x，DC＝y.（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当AC＝时，DC的长度取得最大值，最大值为；（3）在平面直角坐标系xOy中，利用适当工具准确画出（1）中所确定的函数的图象.如图1，ΘO与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交ΘO于P、Q两点（Q在P、H之间我们把点P称为ΘO关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为ΘO关于直线a的“远望数”.（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的ΘO关于直线m的“远点”坐标是，直线m向下平移个单位长度后与ΘO相切.（2）在（1）的条件下求ΘO关于直线m的“远望数”.【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6√5，0与y轴交于点N，点F坐标为（1，2以F为圆心，OF为半径作ΘF．若ΘF与直线l相离，O是ΘF关于直线l的“远点”．且ΘF关于直线l的“远望数”是12√5，求直线l的函数表达式.【变式12.3】（海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以D（5，4）为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.（1）求经过C、A、B三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与ΘD相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大？若存在，求出△CBN面积的最大值，并求出此时点N坐标；若不存在，请说明理由.【考点13】以圆为载体的阅读材料综合问题【例13】（太原二模）阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程.求证：AB•DC+AD•BC＝AC•BD.证明：如图2，作∠BAE=∠CAD交BD于点E.∵=,∴∠ABE=∠ACD依据）∴△ABC∽△AED.∴=∵AB•DC＝AC•BE，∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+EDAC•BD.∴AB•DC+AD•BC＝AC•BD.任务：（1）证明过程中的“依据”是；（2）补全证明过程；（3）如图3，ΘO的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD