专题1.8概率精讲精练（解析版）【人教版】

一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。二、频率与概率1.概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).2.频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网三、概率的计算1.公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝nm2.列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.3.画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.4.几何概型事件A发生的面积一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的事件A发生的面积计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.5.游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.【考点1】随机事件【例1】（扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是()A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种发芽【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.【解答】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种不可能发芽，故是不可能事件；故选：D.【变式1.1】（东湖区模拟）掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是()A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可.【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前一次的影响，掷一枚质地均匀的硬币6次，不一定3次正面朝上，因此A选项不符合题意，“可能有3次正面朝上”是正确的，因此B选项正确；可能6次都是反面向上，因此C不符合题意，有可能6次正面向上，因此D选项不符合题意；故选：B.【变式1.2】（饶平县校级期末）下列事件中，属于必然事件的为()A．打开电视机，正在播放广告B．任意画一个三角形，它的内角和等于180°C．掷一枚硬币，正面朝上D．在只有红球的盒里摸到白球【分析】打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可.【解答】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此A选项不符合题意，任意三角形的内角和都是180°,因此选项B符合题意，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项C不符合题意，在只有红球的盒里是摸不到白球的，因此选项D不符合题意，故选：B.【变式1.3】（越秀区模拟）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是A．这两个图形都是轴对称图形B．这两个图形都不是轴对称图形C．这两个图形都是中心对称图形D．这两个图形都不是中心对称图形【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义、结合不可能事件的定义分析得出答案．【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；故选：B．【考点2】事件的可能性【例2】（徐汇区期末）从标有1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，可能性最大的是A．卡片上的数字是合数B．卡片上的数字是2的倍数C．卡片上的数字是素数D．卡片上的数字是3的倍数【分析】可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的．【解答】解：A、卡片上的数字是合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张；B、卡片上的数字是2的倍数2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，2×7，2×8，2×9，2×10，共10C、卡片上的数字是素数的有2，3，5，7，11，13，17，19，共8张；故选：A．【变式2.1】（瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则下列选项中说法正确的是A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定【分析】求出男、女生做代表的可能性，判断即可.【解答】解：A、错误．男、女生做代表的可能性分别为=，=，男生的可能性大．本选项不符合题意.B、正确．本选项符合题意.C、错误．男生的可能性大．本选项不符合题意.D．错误．本选项不符合题意.故选：B.【变式2.2】（利川市期末）在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是()A．他这个队赢的可能性较大B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场D．他这个队必赢【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1.【解答】解：A、根据概率的意义，正确；B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会是肯定的，所以错误；C、和B一样，所以错误；D、根据概率的意义，错误.故选：A.【变式2.3】（丰顺县校级月考）宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示聿》有如下四句：①纸上得来终觉浅；②少壮工夫老始成；③绝知此事要躬行；④古人学问无遗力.这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性【分析】根据四句诗随机排列组合的情况得出结论即可.【解答】解：四句诗随机排列组合共有4×3×2＝24（种正确的顺序只有一种，故第一次就调整正确的可能性大小是，故选：C.【考点3】概率公式【例3】（松山区期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是()【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可.【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形.P=，其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是()【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，故选：C．【变式3.2】（紫阳县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，再利用概率公式求解即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是．故选：C．【变式3.3】（成安县期中）如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是【分析】由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，再根据概率公式求解即可．【解答】解：由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，210°7所以指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是故选：D．【考点s】几何概率【例4】（玄武区期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为故选：D．【变式4.1】（湖口县期中）如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案.【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，则地板的总面积为3a×4a＝12a2，黑砖的面积为×2a×3a＝3a2，3a21∴小球最终停留在黑砖上的概率是故选：C.【变式4.2】（明山区校级月考）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是()【分析】根据几何面积得出概率即可.【解答】解：由图知，黑色区域的面积占大正方形面积的∴它最终停留在黑色区域的概率是，故选：C.【变式4.3】（南京模拟）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为【分析】随机事件A的概率P（A事件A发生时涉及的图形面积除以一次试验涉及的图形面积，设正六边形的边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，先求出△ABC的面积，阴影的面积=3S△ABC，再求出△BCE的面积，代入公式计算即可.【解答】解：设正六边形边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，如图所示：∵正六边形的内角为180°−=120°,∴BC=2CD=3a，∴在Rt△BCE中，∠BEC=90°,∠BCE=60°,BC=3a，则a，BE=则灰色部分面积为3S△ABC=3×BC⋅AD=3×白色区域面积为2S△BCE=2×CE⋅BE=a×a=a2，3所以正六边形面积为两部分面积之和为3a2，2飞镖落在白色区域的概率故选：A.【考点s】用频率估计概率【例5】（金水区校级期中）一个密闭不透明的盒里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球()A．28个B．29个C．30个【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”.【解答】解：设盒里有白球x个，得：解得：x≈30.经检验结果符合题意.答：盒中大约有白球30个.故选：C.【变式5.1】（禹州市期末）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有()【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x个，根据题意得：解得：x＝6，经检验x＝6是原方程的解，则估计木箱中蓝色卡片有6张.故选：A.【变式5.2】（无为市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是()A．4B．8C【分析】用球的总个数分别乘以摸到红色球和黑色球的频率求出其对应个数，继而可得答案.【解答】解：由题意知，红色球的个数为40×25%＝10（个黑色球的个数为40×45%＝18（个所以口袋中白色球的个数为40﹣10﹣18＝12（个故选：C.【变式5.3】（宛城区期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是()A．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰，向上一面的点数之和超过7【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P＝0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案.【解答】解：A、从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球，取到的红球的概率是=0.6，不符合题意；B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为≈0.33，符合题意；C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是=0.25，不符合题意；D、抛掷两枚质地均匀的正六面体骰，向上一面的点数之和超过7的概率，不符合题意.故选：B.【考点6】树状图与列表法求概率【例6】（宜城市期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4．先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n.（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解.【解答】解1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝3，和m＝n＝4两种情况同理m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解（m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2）的结果有2个，小明获胜的概率为小利获胜的概率为∴小明获胜的概率大.【变式6.1】（利川市期末）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，用列表法或画树状图法求下列事件的概率：（1）取出的2个球都是黄球；（2）取出的2个球中1个白球、1个黄球.【分析】（1）列表展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解；（2）找出2个球中1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解.【解答】解：列表如下：第一个盒第二个盒黄球（白球，黄球）黄球（白球，黄球）（白球，黄球）（黄球，黄球）所有可能情况有6种，（1）所有可能情况有6种．其中2个黄球的可况有1种，P=（2）所有可能情况有6种，其中1个黄球一个白球的可能情况有3种，.【变式6.2】（平泉市期末）佳佳和琪琪两位同学玩抽数字游戏，5张卡片上分别写有2，4，6，8，x这5个数字，其中两张卡片上的数字是相同的．从中随机抽出一张，已知P(抽到数字6的卡片)=.（1）求这5张卡片上的数字的众数.（2）若佳佳已抽走一张数字2的卡片，琪琪准备从剩余4张卡片中抽出一张.①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由.②琪琪先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出1张，用列表法（或树状图）求琪琪两次都抽到数字6的概率.【分析】（1）根据抽到数字6的卡片的概率为可得x值，从而可得众数；（2）①分别求出前后两次的中位数即可；②画出树状图，再根据概率公式求解即可.【解答】解1）∵2、4、6、8、x这五个数字中，P（抽到数字6的卡片）则数字6的卡片有2张，即x＝6，则众数为：6；（2）①相同，理由是：原来五个数字的中位数为：6，抽走数字2后，剩余数字为4、6、6、8，则中位数为所以前后两次的中位数相同；②根据题意画树状图如下：可得共有16种等可能的结果，其中两次都抽到数字6的情况有4种，则琪琪两次都抽到数字6的概率为【变式6.3】（福鼎市期中）某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图.请根据以上信息，回答下列问题：（1）杨老师采用的调查方式是抽样调查（填“普查”或“抽样调查”（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数150°.（3）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率.【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查.（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品总数为班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4＝10（件继而可补全条形统计图；用C班作品数除以总作品数再乘360°即可求出扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数.（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别不同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查.故答案为：抽样调查.（2）所调查的4个班征集到的作品数为C班有244+6+410（件补全条形图如图所示，扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×=150°;故答案为：150°;（3）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两名学生性别不同的有12种情况，∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为【考点7】概率与函数方程综合题【例7】（兰州期中）已知a，b可以取﹣21，1，2中的任意一个值（a≠b则直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的概率是.【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数，即可求出所求的概率.【解析】列表如下：1212所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数有4种，【变式7.1】（金牛区校级期中）从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为a，那么使关于x的方程=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的概率为.【分析】由题意得使关于x的方程=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的a的值有4个，由概率公式即可得出答案.【解析】∵使关于x的方程=1有解，∵一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根，∴△=(﹣3）2﹣4×1×a＝9﹣4a＞0，解得：a<,∴从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，符合条件的有4个，∴使关于x的方程=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的概率为，故答案为：.【变式7.2】（金牛区校级期中）有五张大小形状相同的卡片，分别写有1～5这五个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则a的值使得关于x的分式方程有整数解的概率为.【分析】解分式方程得出根据分式方程有整数解得出a≠4且a≠1，再分别求出a＝2、3、5时x的值，利用概率公式即可得出答案.∴ax﹣2﹣（x﹣2）＝6，∵分式方程有整数解，∴a≠4且a≠1，当a＝5时，x=（舍∴使分式方程有整数解的a的值有两个，∴a的值使得关于x的分式方程有整数解的概率为，故答案为：.【变式7.3】（武侯区校级期中）有六张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为.【分析】先求出不等式组的整数解，再由概率公式可求解.【解析】∵不等式组∴不等式组的整数解为2，3，4，∴抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率==，1故答案为.2【变式7.4】（锦江区校级期中）已知a为正整数，且二次函数y＝x2+（a﹣7）x+3的对称轴在y轴右侧，则a使关于y的分式方程有正整数解的概率为.【分析】利用二次函数的性质得到−>0，解得a＜7，求得a的值为1，2，3，4，5，6，再把分式方程化为1﹣ay+4y﹣12＝1，解得y=接着分别把a的值代入确定分式方程为整数解所对应的a的值，然后根据概率公式求解.【解析】∵二次函数y＝x2+（a﹣7）x+3的对称轴在y轴右侧.∴−>0，∴a﹣7＜0，∵a是正整数，分式方程可化为ay﹣4﹣2（y﹣1）=﹣y，解得∵关于y的分式方程有正整数解，∴a使关于y的分式方程有正整数解的概率为故答案为：.【变式7.5】（青羊区校级期中）从﹣3，01，2这5个数中任取一个数记为m，则能使二次函数yx﹣2）2+m的顶点在x轴上方的概率为.【分析】根据概率公式直接求解即可.【解析】∵在﹣3，01，2这5个数中，能使二次函数yx﹣2）2+m的顶点在x轴上方的3个，分别是，1，2，∴能使二次函数yx﹣2）2+m的顶点在x轴上方的概率为；故答案为：.【考点8】游戏的公平性【例8】（古丈县期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由.【分析】（1）A组共有3张卡片，其中2有1张，据此解答.（2）根据题意画出树状图即可；（3）根据（1）计算出各自获胜的概率即可得出结论. 【解答】解1）∵A组共有3张卡片，其中2有1张，∴P（抽到数字为2）=.（2）画树状图如下：∴有六种等可能的结果；（3）不公平，理由如下：2×5＝10不是3的倍数；4×3＝12是3的倍数；6×3＝18是3的倍数；6×5＝30是3的倍数；故小诚获胜的概率为=，小明获胜的概率是，∴这样的游戏规则对小诚、小明双方不公平.【变式8.1】（逊克县期末）淘淘和明明玩骰游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负.（1）请你用“画树状图