专题2.3一元二次方程的应用大题专练（培优强化）（解析版）

一、解答题12022·辽宁大连·九年级期末）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染.(1)求每轮感染中平均一个人会感染几个人；(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过500人.【答案】【答案】(1)每轮感染中平均一个人会感染7个人.(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过500人.【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有64个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+7即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与500进行比较后即可得出结论.(1)解：设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）.答：每轮感染中平均一个人会感染7个人.(2)64×（1+7）=512（人512＞500.答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过500人.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.22021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠病毒的携带者.(1)每个人每轮传染多少人？(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？【答案】【答案】(1)每个人每轮传染12人.(2)共有2197人成为新冠病毒的携带者.【分析】（1）设每个人每轮传染x人，由题意可列方程进行求解；（2）由（1）可直接进行求解.(1)解：设每个人每轮传染x人，由题意得：解得：解得：x1=12,x2=−14（不符合题意，舍去答：每个人每轮传染12人.(2)解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人答：若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有2197人成为新冠病毒的携带者.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的传播问题是解题的关键.32022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）某种药品原售价为100元/盒，由于市场需求现涨价25%进行销售，又连续两次降价后售价为80元/盒．假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.【答案】【答案】20%【分析】设这种药品每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格=100×（1+25%）×(1−x)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】解：设这种药品每次降价的百分率为x，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）答：这种药品每次降价的百分率为20%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.42022·山东泰安·八年级期末）东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2023年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.(1)求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；(2)景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【答案】【答案】(1)年平均增长率为20%(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可.设景区设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为x，由题意得：20(1+x)2=28.8，答：年平均增长率为20%；设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：(y−6)[300+30(25−y)]=6300，整理得：y2−41y+420=0，解得：y1=20，y2=21.∵要让顾客获得最大优惠，答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键.52022·全国·九年级单元测试）随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为10万台，五月份的销售量为14.4万台，求销售量的月平均增长率.【答案】20%【分析】设平均增长率为x，则四月份的销售量为101+x，五月份的销售量为101又知五月份的销售量为14.4万台，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率.【详解】解：设平均增长率为x，由题意得，22解得：x1=0.2=20%或x2=−2.2（不合题意，舍去答：销售量的月平均增长率为20%.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.62022·安徽滁州·八年级期末）某工厂引进一条新生产线生产一种防疫产品，开工第一天生产200万个，第三天生产242万个.(1)求前三天生产量的日平均增长率；(2)经调查：1条生产线最大产量是300万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线最大产量将减少20万个/天．现该厂要保证每天生产该种防疫产品1100万个，在增加产量同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大应该增加几条生产线？【答案】【答案】(1)10%(2)4条【分析】（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，则2001+x2=242，解出方程即可。（2）设需增加a条生产线，根据题意得a+1300−20a=1100，解出方程，根据在增加产量同时又要节省投入的条件下，作出判断即可。解：设：前三天生产量的日平均增长率为x，则解得x1=0.1=10%，x2=−2.1（不合题意，含去）∴前三天生产量的日平均增长率为10%.解：设：需增加a条生产线，根据题意得整理得a2−14a+40=0解得a1=4，a2=10，∵增加产量同时又要节省投入，∴应该增加4条生产线.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目意思列出一元二次方程是解答本题的关键。272022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同.(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润.【答案】【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人；(2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元.【分析】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可；（2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意，得200（1+x）2=288，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%，∴200（1+20%）=240（人∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人；∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍，∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件，根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456，∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，∴432-a≤3a，解得：a≥108，∵-3＜0，∴W随a的增大而减小，∴当a=108时，W最大，最大值为3132，∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元.【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程.82022·山东淄博·八年级期末）一次学术研讨会上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了91次手，这次会议到会的人数是多少？【答案】【答案】14人【分析】设这次会议到会的人数是x人，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且共握了91次手，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】解：设这次会议到会的人数是x人，依题意得=91，整理得：x2−x−182=0，解得：x1=14，x2=−13(不符合题意，舍去).答：这次会议到会的人数是14人.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.92022·广西北海·七年级期中）把20cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm2，求这两段铁丝的长.【答案】两段铁丝的长分别为【答案】两段铁丝的长分别为12cm和8cm【分析】可设出一段铁丝的长为x，则另一段为20−x，根据两正方形面积之差为5cm2，列出方程即可解得结果.【详解】解：设其中较大的一段的长为xcm(x⩾10)，则另一段的长为(20−x)cm.则两个小正方形的边长分别为xcm和(20−x)cm∵两正方形面积之差为5cm2，∴两段铁丝的长分别为12cm和8cm.【点睛】本题考查平方差公式的实际应用，结合了方程思想的应用，属于比较典型的题目，要注意此类问题解法的掌握.102022·浙江温州·八年级期中）最近上海疫情爆发，防护服极度匮乏，上海许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条某种防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线.(1)每条生产线的最大产能是件/天（用含x的代数式表示）.(2)若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服7020件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？【答案】【答案】(1)800−20x(2)该工厂引进了13条口罩生产线【分析】（1）根据题意可得引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少20x件/天，进而可得每条生产线的最大产能是780−20x−1（件/天（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解. 解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天，∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少20x件/天，∴每条生产线的最大产能是780−20x−1=800−20x件/天，故答案为：800−20x；解：根据题意，可列出方程：x(800－20x)=7020解得x1=13，x2=27为了尽量控制成本，则x=13，答：该工厂引进了答：该工厂引进了13条口罩生产线.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.112022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“V”型轨道上滚动（表面光滑，摩擦阻力不计其中左侧轨道AO长为32cm，右侧轨道BO长为20cm．钢球先由A点静止开始沿左侧斜面滚下，速度每秒增加4cm/s，到达底端O后又沿着右侧斜面向上滚动，速度每秒减少6cm/s提示：在同一侧斜面上，钢球滚动的距离=平均速度×时间t，，其中v0表示开始的速度，vt表示t秒时的速度.)(1)当钢球滚动4s时，它的速度为cm/s，经过的路程是cm；(2)经过几秒，钢球到最低点O的距离为16cm？【答案】(1)16，32【分析】（1）设当钢球从点A滚动到点O时，所滚动时间为as，根据在同一侧斜面上，钢球滚动的距离的计算公式建立方程，解方程求出a的值，由此即可得；（2）先求出钢球在右侧轨道BO的滚动速度等于0时，钢球所滚动的时间为20秒，再设经过3x秒，钢球到最低点O的距离为16cm，分①钢球在左侧轨道AO上和②钢球在右侧轨道BO上两种情况，分别建立方程，解方程即可得.(1)解得a=4或a=−4<0（不符题意，舍去所以当钢球滚动4s时，它的速度为16cm/s，经过的路程是32cm，故答案为：16，32.(2)解：设经过bs后，钢球在右侧轨道BO的滚动速度等于0，由（1）可知，当钢球从点A滚动到点O时，所滚动时间为4s，速度为16cm/s，解得b=，设经过x秒，钢球到最低点O的距离为16cm，由题意，分以下两种情况：①当钢球在左侧轨道AO上时，②当钢球在右侧轨道BO上时，解得x=或x=8>（不符题意，舍去综上，经过22秒或秒，钢球到最低点O的距离为16cm.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，较难的是题（2分两种情况讨论，并正确建立方程是解题关键.解得x=22或x=−22<0（不符题意，舍去122022·重庆沙坪坝·一模）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动，每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤.(1)求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？(2)第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包个数比第一天多100m个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值.【答案】【答案】(1)每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤；(2)m=1【分析】（1）设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，根据等量关系式：青菜-土豆=3斤，300个爱心蔬菜包中青菜+土豆=2100斤，列出方程组，解方程组即可；（2）根据等量关系式：第二天送出的青菜-土豆=1200斤.(1)解：设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，根据题意，得30032100，解得：，答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤.(2)根据题意，得5+1−2+m300+100m=1200，【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键.132022·山东威海·八年级期末）为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？【答案】该旅行社购买了【答案】该旅行社购买了40张票.【分析】设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160-2（x-25）=（210-2x）元，根据该旅行社共支付团体票价5200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.【详解】解：设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160-2（x-25）=（210-2x）元，依题意得：x（210-2x）=5200，整理得：x2-105x+2600=0，解得：x1=40，x2=65.当x=40时，210-2x=210-2×40=130＞120，符合题意；当x=65时，210-2x=210-2×65=80＜120，不符合题意，舍去.答：该旅行社购买了40张票.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.142022·浙江丽水·八年级期末）某商店购进600个木制玩具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周若按每个10元的价格销售，仍可售出200个，为了适当增加销量，商店从第二周开始降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个.(1)设玩具以单价降低x元销售，用含x的代数式表示第二周的销售量；(2)从第三周开始，商店对剩余木制玩具做清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果销售这批木制玩具共获利1250元，问第二周的销售价格为多少元？【答案】【答案】(1)200+50x(2)7元【分析】（1）根据第二周的销售量＝第一周的销售量+50x求解即可；（2）根据销售总利润＝第一周的销售利润+第二周的销售利润+第三周的销售利润作答即可.根据题意知，第二周的销售量为（200+50x）个；根据题意，得200×（10﹣6）+（200+50x10﹣6﹣x）+[600﹣200200+50x）]×（6﹣4）=1250.整理，得整理，得x2+2x﹣15＝0.解得x1＝3，x2=﹣5（不符合题意，舍去）.10-3=7（元）答：第二周的销售价格为7元.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.152022·山东烟台·八年级期末）某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件.(1)若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？(2)在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？【答案】【答案】(1)每件商品应降价20元或30元；(2)需开展7天的降价促销活动.【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）设需开展y天的降价促销活动．根据“900-30×2=（30+3×30）y”求得y的值即可.解：设每件商品应降价x元，由题意，得（280-x-22030+3x）=（280-220）×30×2，解得x1=20，x2=30.答：每件商品应降价20元或30元；解：∵要使该商品尽快售完，∴每件商品应降价30元.设需要开展y天的降价促销活动.由题意，得900-30×2=（30+3×30）y.解得y=7.答：需开展7天的降价促销活动.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.162022·重庆一中八年级期末）临近暑假，图书市场十分火热，某书店为此充分备货．6月份书店用17000元采购了《科学与发现》和《草房》两种图书共500本，其中每本《草房》价格比每本《科学与发现》价格的倍还多5元．《科学与发现》的价格为40元/本.(1)6月份学校采购了《科学与发现》多少本？(2)由于销量很好，7月初，书店计划再采购两种图书各100m本，其中每本《科学与发现》的价格比6月份的价格上涨了5m元；每本《草房》的价格比6月份的价格下降了4m元，7月初采购的图书总价比6月份采购的图书总价少10400元．求m的值.【答案】【答案】(1)6月份学校采购了《科学与发现》300本(2)m=1【分析】1）设6月份学校采购了《科学与发现》x本，《草房》y本，根据“用17000元采购了《科学与发现》和《草房》两种图书共500本”建立二元一次方程组，求解即可；（2）根据“7月初采购的图书总价比6月份采购的图书总价少10400元”列一元二次方程，求解即可.设6月份学校采购了《科学与发现》x本，《草房》y本，根据题意，得40x+=17000，解得答：6月份学校采购了《科学与发现》300本.根据题意，得100m（40+5m）+100m（25-4m）=17000-10400，化简得m2+65m-66=0，解得m=1或m=-66（不合题意，舍去【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用与一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.172022·重庆南开中学八年级期末）新世纪百货某品牌商为响应商城618年中狂欢大促活动，六月精选出一款夏季新品T恤同时做线上、线下推广促销，线下专柜按T恤标价打八折销售，线上云购在T恤标价基础上降价200元并包邮销售．线下专柜花1600元购买的T恤的数量与线上云购花1200元购买的T恤数量相同.(1)求该T恤的标价为多少元？(2)6月该T恤在线下专柜售出100件，线上云购售出200件．7月品牌商继续对该T恤让利促销，线下专柜和线上云购分别在6月售价的基础上降价a%销售，据统计，7月线下专柜销量比6月增加了20%，线上云购销量比6月增加了3a%，7月线上线下合计销售总额达到10.8万元，求a的值.【答案】【答案】(1)500元；(2)40.元，利用销售数量=销售总额÷销售单价，结合线下专柜花1600元购买的T恤的数量与线上云购花1200元购买的T恤数量相同，即可得出关于x的分式方程，求解且检验后即可得出结（2）利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，求解并且取其正值即可得出结论.解：设该T恤的标价为x元，则线下专柜的售价为0.8x元，线上云购的售价为(x−200)元，依题意得解得：x=500，经检验，x=500是原方程的解，且符合题意.答：该T恤的标价为500元.解：依题意得：500×0.8(1−a%)×100×(1+20%)+(500−200)(1−a%)×200(1+3a%)=108000，整理得：18a2−720a=0，答：a的值为40.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是1）找准等量关系，正确列出分式方程2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.182022·全国·九年级单元测试）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边.(1)若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由【答案】【答案】(1)5cm(2)(2)把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到22500元【分析】（1）设出花边的宽，利用面积公式表示出其面积，即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，则降价x元后可卖出的总件数为200+20x件，每件获得的利润为100−x−40元，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润-各种费用，列出二次方程，求解即可.解：设花边的宽度为acm，根据题意得，整理得，a2−70a+325=0解得a=5或a=65（舍去答：丝绸花边的宽度为5cm；（2）设每件工艺品降价x元出售，根据题意得，100−x−40200+20x−2000=22500，整理得，x2−50x+625=0，解得x1=x2=25，∴销售单价定为100−25=75（元答：把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到22500元.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型.192020·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，学校课外生物小组的试验园地是长30米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为532平方米，求小道的宽.【答案】小道宽【答案】小道宽1米.【分析】设小道的宽为x米，把小道分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积是长，宽分别为（30-2x）米、（20-x）米的矩形ABCD，根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可.【详解】解：如图，设该小道的宽为x米，依题意得（30-2x20-x）=532，解得x1=1，x2=34.因为2x=68＞30，不合题意，舍去.所以x=1.答：小道宽1米.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-面积问题，巧妙的运用等积代换是解决问题的关键.202022·浙江衢州·八年级期末）某农家购买了一卷由边长为5cm的小菱形构成的网格防护网（如图1）用于“未来乡村”建设.(1)该农家计划利用已有的一堵长为8米的墙，用该种防护网围成一个面积为54m2的矩形园ABCD（如图2若防护网用去24米，求矩形一边AB的长度.(2)如图3，边长为5cm的小菱形EFGH中，EG:FH=4:3，防护网高度为1.2m．问：24米防护网中最多有几个这样的小菱形注：防护网在转角处不被裁断）【答案】【答案】(1)9m(2)600【分析】（1）设AB=xm，则BC=（24-2x）m，构建方程求解即可；（2）求出小菱形的对角线的长，可得结论.解：设AB=xm，则BC=（24-2x）m，根据题意得：x（24-2x）=54，解得：解得：x=3或9，当x=3时，24-2×3=18＞8，不符合题意，舍去，当x=9时，24-2×9=6＜8，符合题意，答：矩形一边AB的长度为9m；解：∵边长为5cm的小菱形EFGH中，EG∶FH=4：3，设OE=4xm，OF=3xm，则（3x）2+（4x）2=52，解得：x=1，∴OE=OG=4cm，OH=OF=3cm，∴EG=8cm，FH=6cm，答：24米防护网中最多有600个这样的小菱形.【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，一元二次方程的应用、勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.212022·全国·九年级单元测试）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？【答案】【答案】横的彩条宽为5cm，竖的彩条宽为2.5cm3【分析】设横彩条的宽度为2xcm，则竖彩条的宽度为3xcm，根据题意列方程计算即可.【详解】解：由横、竖彩条的宽度比为2:3，则设每个横彩条的宽为2xcm，则每个竖彩条的宽为3xcm，剩余部分的宽为(20−6x)cm，剩余部分的长为(30−4x)cm依题意列方程得：整理，得6x2−65x+50=0，解方程，得x1=，x2=10（不合题意，舍去应设计横的彩条宽为5cm，竖的彩条宽为2.5cm.3【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程是解题的关键，解出的x解要判断x的合法性，舍去不合题意的x的值.222022·浙江杭州·八年级阶段练习）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米.(1)用含x的代数式表示y；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？(3)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由.【答案】(1)y=−3x2+30x(2)当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2(3)不能围成，理由见解析【分析】（1）根据各边长度间的关系可得出BC=（30-3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y；（2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-4＜0，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃.∴BC=（30-3x）米，∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2.不能围成．理由如下：若y=78，则−3x2+30x=78，整理得x2−10x+26=0，∴该方程无解，故不能围成.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示y2）找准等量关系，正确列出一元二次方程3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”.232021·江苏淮安·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问几秒后△PDQ的面积等于28cm2？【答案】【答案】2秒或4秒【分析】可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论.【详解】解：存在，t=2s或4s．理由如下：可设t秒后其面积为28cm2，即S矩形ABCD-S△ADP-S△BPQ-S△DCQ=12×6-×12t-（6-t）·2t-×6×（12-2t）=28，解得t1=2，t2=4，当其运动2秒或4秒时均符合题意，所以2秒或4秒时面积为28cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用“分割法”来求△PDQ的面积的.242022·上海·八年级专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝20，CD=12，DH⊥AB，E是线段HB上一动点，在线段CD上取点F使AE＝EF，设AE＝x，DF=y.(1)当EF∥AD时，求AE的长；(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)将△ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E＝1时，求AE的长.【答案】(1)AE=5(2)y=x−4+x2−94≤x≤)(3)AE的长为32或34【分析】（1）首先判定四边形AEFD是菱形，根据菱形的性质即可求解；（2）过点E作EM⊥DC于M，首先得出点D、F在直线EM的两侧，再利用勾股定理得出MF的长，再利用DF=DM+MF求出即可；或y−x=1求出AE即可.(1)∵EF//AD，DF//AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵EA=EF，∴四边形AEFD是菱形，∴AE=AD=5；(2)过点E作EM⊥DC于M，在Rt△ADH中，AH=1在Rt△ADH中，AH=1AB−DC=4∵AE＝EF，设AE＝x，DF＝y.在Rt△EMF中，MF=EF2−EM2=x2−9，DM=HE=AE−AH=x−4∴DF=DM+MF，如图，当F与C点重合时，AE=EF取得最大值，过点F作GF⊥AB，当DF=DC=12时，x=AE=EF=即x2=(16−x)2+32解得∴y=x−4+x2−9(4≤x≤;(3)连接AF，EF，AD′，∵EA=EF，∴∠EAF=∠AFE.∵DC//AB，∴∠DFA=∠FAE=∠AFE，∴D'必落在射线FE上，当D'E=1时，有x−y=1或y−x=1，整理得：x2-9=9，解得：x=AE=32，当y-x=1时，整理得：x2-9=25，解得：x=AE=34，综上所述：AE=32或AE=34.【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及勾【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和菱形的性质和判定等知识，利用分类讨论得出AE的长是解题关键.252021·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天.①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.【答案】（【答案】（1）20%2）①4条；②不能，理由见解析.【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论.【详解】解1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）.答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，依题意，得1+m1500-50m）=6500，解得：m1=4，m2=25，又∵在增加产能同时又要节省投入，答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，依题意，得1+a1500-50a）=15000，化简得：a2-29a+270=0，∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解.∴不能增加生产线，使得每天生产口罩∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.262022·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式s=来计算等差数列的和公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3+×2＝120.用上面的知识解决下列问题.（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木.2009年2010年2011年2012年植树后坡荒地的实际面积（公顷）25200240002240020400【答案】（1）11802）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【分析】（1）根据题意，由公式s=na+来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案.【详解】解1）由题意，得2（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得整理得x﹣9x+140，∴2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题.解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题.272021·江苏·九年级专题练习）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程lcm与时间ts满足关系l=t2+3t(t≥0)，乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm.（1）甲运动4s后的路程是多少?（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?【答案】（【答案】（1）28cm2）3s3）7s【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程t2+3t+8t=42，求解即可；（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到t2+3t+8t=126，解方程即可得到答案.【详解】解1）当t=4s时，l=t2+3t=16+12=28cm.答：甲运动4s后的路程是28cm.（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+3t，乙走过的路程为4t，则t2+3t+8t=42.解得t=3或t=−14（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s.（3）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆3×42=126cm，则t2+3t+8t=126解得t=7或t=−18（不合题意，