专题2.19相似三角形综合问题大题专题（培优强化30题）（原卷版）

一．解答题（共30小题）1城阳区期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F，∠EAF=∠GAC.（1）求证：△ADE∽△ABC.（2）若AD＝5，AB＝7，求的值.2江北区期中）已知AB∥CD，AD、BC交于点O.（1）试说明△AOB~△DOC；（2）若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长.3拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，CE＝CD.（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若AD＝14，求DE的长.4乐亭县期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP=D不与端点重合作∠PDQ＝60°,DQ交边AC于点Q.①△BDP∽△CQD；②若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，求a的值.5宝山区期中）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝CD，E为AC的中点，联结BE并延长，交线段AD于点F.（1）求证：△AEF∽△BAF；（2）若CD＝3，AB＝5，求DF的长.6铁西区期中）如图，已知△ABC.（I）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；（2）分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P；（3）作射线AP交BC于点D；（4）分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；（5）作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD=.（1）求CD的长；（2）=.7宝山区期中）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点（点E不与点B、C重合点F在CD的延长线上，且BE＝DF，联结EF，分别交AD、AC于点M、N.（2）求证：EF2＝2EM•FN；（3）当△AMN是等腰三角形时，求S△AMN的值.8永春县校级期中）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长.9宁波期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.（1）求证：∠DFA=∠ECD；（2）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（3）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长.10安溪县期中）如图，正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在AD边上，且＝2，AE与CF相交于点G.（1）若AD＝6√5，EG＝3，连接DG，求证：△ADE∽△DGE；（2）求∠AGF的度数.11惠山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A.（1）判断直线BD与。O的位置关系，并说明理由；（2）若AD：AO＝5：3，BC＝3，求BD的长.12新洲区期中）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC=∠EAD＝90°,点G、F分别是ED、BC的中点，连接CD、BE、GF.（1）求证：∠ACD=∠ABE；（2）求的值；（3）若四边形BEDC的面积为18，周长为15，GF＝3．则AB=.13浦东新区校级期中）如图，点D和点E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，BE、CD相交于点F，∠ABE=∠ACD.求证1）EC2＝EF•EB；（2）DF：BF＝EC：BC.14锦江区校级期中）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q.（1）求证：△BPE∽△CEQ.（2）当BP＝4，CQ＝18，求PQ的长.（3）在（2）的条件下，求EQ的长.15丰泽区校级期中）若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”.（1）知识理解：如图①,△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”.②若AD＝6，DE＝9，AB＝4，则BC=;（2）知识运用：如图②,在四边形ABCD中，∠ADC＝90°,AE⊥BD于点E，∠DAC=∠DBC，求证：①OA•OC＝OB•OD；②△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”.16长宁区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．设AD＝x.（1）BGCH用x的代数式表示BG、CH）（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长.17下城区期中）如图，延长弦DB、弦EC，交于圆外一点A，连接CD、BE.（1）证明：△ACD∽△ABE；（2）若AB＝5，AC＝6，AD＝12，求AE.18工业园区校级期中）如图，在半径为5的。O中，OA⊥OB，点D是OB延长线上一点，点C是。O上一点，AC交OB于M，且CD＝DM；（1）连接OC，求证：OC⊥CD；（2）若OM＝1，求CM的长.19徐汇区校级期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，AP⊥BE于点P.（1）如图1，如果点F是AB的中点，求证：BP•BE＝2PF•BC；（2）如图2，如果AE＝AF，联结CP，求证：CP⊥FP.20长泰县期中）如图（1）所示，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合DE∥BC，交AC于点E，连结CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.（1）当AD＝3时，△ADE的面积是6，求△DEC的面积S'的值；（2）当AD＝3时，求S值（结果用含字母S'的代数式表示（3）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，,E是AB上一点（不与A，B重合EF∥BC，交CD于点F，连结CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△CEF的面积为S'，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示.21永春县校级期中）一块直角三角形木料板的一条直角边AB长3m，面积为6m2，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图（a）、（b请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好加工损耗忽略不计，结果可保留分数）22金牛区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°,延长EF交BC的延长线于点G.（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝8，求CG的长.23朝阳区期中）如图①,一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12cm，高AD＝12cm．在这张纸片中剪出一个正方形EFGH，使其一边FG在边BC上，点E、H分别在边AB，AC上，且EH与AD交于点K.（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求正方形EFGH的边长；（3）若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图②所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长.24西安期中1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝120°,则=.（2）如图2，∠BAC＝90°,AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且ED⊥DF，求的值.25姑苏区校级期中）如图，已知半径为2的。O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与。O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2＜x＜4）.（1）当x＝3时，求弦PA，PB的长度；（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？26南岸区校级期中）在同一平面内，如图①,将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB＝AC，DE＝AE，点A为公共顶点，∠BAC=∠AED＝90°.如图②,若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N，点M不与点B重合，点N不与点C重合.（1）求证：△BAN∽△CMA；（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4.①请求出BN•CM的值；②若BM＝CN，请求出MN的长.27章丘区期中）如图，Rt△ABC，∠C＝90°,AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止.（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于16cm2？（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？（3）①是否存在t，使得△PCQ的面积等于20cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形APQB的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值.28李沧区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝8cm，BC＝6cm，点M从点A出发，沿折线AB→BC以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线AC的对称点N，连接MN交AC于点E，连接DM，DN．设运动时间为t（s0＜t＜7请解答下列问题：（1）当t为何值时，MD∥BC？（2）点M在线段BC上运动时，是否存在某一时划t使得△CMD∽△CBA？若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△DMN为直角三角形？29浦东新区期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°,对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD.（1）求证：CD2＝BC•A