专题2.24第28章锐角三角函数函数单元测试（培优强化卷）（解析版）

注意事项：本试卷满分120分，试题共25题，其中选择10道、填空8道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1招远市期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°,tanA【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【解答】解：∵tanA=,∴cosA=.故选：C.2丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°,则sinA等于()【分析】根据正弦值的定义解决此题.【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°,sinA=.故选：B.3工业园区校级期中）在Rt△ABC中，BC＝3，AC=,∠C＝90°,则∠A的度数是()【分析】根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可.【解答】解：如图所示：∵BC＝3，AC=,∠C＝90°,∴tanA===故选：D.4梁平区期末）式2cos30°﹣tan45°﹣【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而结合二次根式的性质化简得出答案.【解答】解：原式＝2×﹣1﹣(﹣1）=﹣1﹣+1=0.故选：A.5景县校级模拟）如图，已知A处位于点B处的右上方，若从B处观察A处的仰角为40°,则从A处观察B处的俯角为()【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线间的内错角，大小相等，即可得出答案.【解答】解：∵从点A处观察B处的俯角与从B处观察A处的仰角互为内错角，大小相等，∴从A处观察B处的俯角为40°.故选：A.6高新区期中）如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α,塔顶点D的仰角为β,已知塔的水平距离AB＝a，则此时塔高CD的长为()A．asinα+asinβB．atanα+atanβ【分析】利用直角三角形的边角关系，用含有AB的代数式表示BD、BC即可解答.【解答】解：∵AB＝a，AB⊥CD，在Rt△ABD中有，BD＝AB•tanβ=atanβ,在Rt△ABC中有，BC＝AB•tanα=atanα,∴CD＝BD+BC＝atanβ+atanα.故选：B.7雁塔区校级期中）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为()【分析】根据网格构造直角三角形，利用网格以及勾股定理求出边长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：如图，延长BC交网格于点D，连接AD，由网格以及正方形的性质可得AD⊥BD，由网格构造直角三角形可得，ADBD2，在Rt△ABD中，tan∠ABC==,故选：A.8徐汇区校级期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°,如果∠A=α,BC=α.那么AC的长是()【分析】利用正弦函数求解即可.【解答】解：如图，=在Rt△ABC中，AC==.故选：D.9惠山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD是斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若S△ADE=,sin∠CDE=D.【分析】利用解直角三角形、三角形相似求得EF、AE的长，利用面积公式求解即可.【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，∵ED⊥AB，∴ED∥CF，∴∠CDE=∠DCF，在Rt△CDE中，sin∠CDE＝sin∠DCF=∴DF3x，∴BF＝BD﹣DF＝2x，在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2∴BC22x）2+（4x）2＝20x2，∴=∵ED=∴S△ADE===.∵S△ADE=∴BC==2.故选：C.10姑苏区校级月考）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=B.【分析】如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论.【解答】解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W.在Rt△ABB′中，AB==,∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，∴∠TAB=∠TBA，∵cos∠AOB＝cos∠ATB=,∴=,∴可以假设TH＝3k，AT＝TB＝5k，∴BH＝TB﹣TH＝2k，∴AH4k，∴AB2√5k，＝•AB•TW＝•TB•AH，∴×2k×4=×5k×4k，解得k=,∴AB的最小值＝2×=4，故选：D.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11阳谷县校级月考）如果α是锐角，sina＝cos30°,那么α为60°.【分析】根据特殊角的三角函数值求出cos30°,再根据sin60°=解答即可.【解答】解：∵cos30°=,sina＝cos30°,∴sina=,∵sin60°=,∴α=60°,故答案为：60°.12晋江市期中）比较大小：tan50°＜tan60°.【分析】根据正切随角度的增大而增大得出即可.【解答】解：∵50°＜60°,故答案为：<.13工业园区校级期中）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米．则这个坡面的坡度为3：4.【分析】根据勾股定理求出斜坡的水平宽度，再根据坡度的概念计算即可.【解答】解：由勾股定理得：斜坡的水平宽度为8（米故答案为：3：4.14莱西市期末）计算：cos245°﹣tan60°•cos30°=﹣1.【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案.【解答】解：原式=(=﹣=﹣1.故答案为：﹣1.15仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA=.【分析】由锐角的正切定义，可求解.【解答】解：设小正方形的边长是a，∵tan∠PAB===,tan∠PBA===,∴tan∠PAB+tan∠PBA＝+=16百色一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，则sinC= .【分析】根据题意由AD＝12，BD＝AD，可计算出BD的长，即可而算出CD＝BC﹣BD的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AC根据正弦函数的计算方法进行计算即可得出答案.【解答】解：∵AD＝12，在Rt△ACD中，AC==,∴sinC==.17南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为（1+10）m（结果保留根号）.【分析】在Rt△AED中，求出AE＝DE•tan60°,加上1即为AC的长.【解答】解：如图，设DE⊥AC于点E，在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°=10×18河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN=.【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH（SAS得出∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB＝90°,再判断出△AOB∽△ABG，求出，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案.【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AF＝BE＝AD，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴△ABG≌△BEH（SAS∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG＝90°,:上AOB＝90。，“BG＝EH＝BE＝2，:BE＝5，:AF＝5，“上OAB＝上BAG，上AOB＝上ABG，:△AOB一△ABG，:，:==,“OM丄ON，:上MON＝90。＝上AOB，:上BOM＝上AON，“上BAG+上FAG＝90。，上ABO+上EBH＝90。，上BAG＝上EBH，:上OBM＝上OAN，:△OBM一△OAN，:，“点N是AF的中点，:AN＝AF=,:，:BM＝1，:AM＝AB-BM＝4，在Rt△MAN中，tan上AMN=故答案为：==三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19二道区校级月考）计算：2sin30。-tan45。+cos230。.【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案.=1﹣1+=.20临清市期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°,AC＝12【分析】由锐角的正弦，余弦定义即可求解.【解答】解：作AD⊥BC于D，∵cosC=,∴DC＝AC•cosC，∴DC＝12cos30°=6，∵sinB=,∴BC＝DB+DC＝6+8.21路桥区一模）火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾使用，图1是火钳实物图，图2是其示意图．已知火钳打开最大时，两钳臂OC，OD的夹角上COD＝40。，若OC＝OD＝40cm，求两钳臂端点C，D的距离结果精确到1cm，参考数据：sin70。≈0.94，cos70。≈0.34，tan70。≈2.75）【分析】连接CD，过点O作OE丄CD，垂足为E，利用等腰三角形的性质可得上C＝上D＝70。，CD=2CE，然后在Rt△OCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，即可解答.【解答】解：连接CD，过点O作OE丄CD，垂足为E，“OC＝OD＝40cm，上COD＝40。，:上C＝上D＝70。，CD＝2CE，在Rt△OCE中，CE＝OC•cos70。≈40×0.34＝13.6（cm:CD＝2CE≈27（cm:两钳臂端点C，D的距离约为27cm.22贾汪区二模）如图，在某单位拐角处的一段道路上，有施工队正在修路并在点M处放置了施工提示牌，小李骑电动自行车从点P出发，沿着路线PQ以2m/s的速度匀速行驶，其视线被办公楼遮挡．已知PB=500m，上QPB＝20。，上NBP＝25。，行驶3分钟后，小李能否发现点M处的施工提示牌参考数据：sin20。≈0.34，cos20。≈0.94，tan20。≈0.36，sin25【分析】过点B作BA⊥PQ，分别求得AP，AN，即可求得PN的长，进而根据路程除以速度等于时间求得时间，进而即可求解.【解答】解：如图，过点B作BA⊥PQ于点A，23闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值.【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=,由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=,在Rt△ECF中，由cos∠ECB=计算即可得出答案.【解答】解1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AB==6，（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∴EF＝BF＝sin45°•BE==4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE===2，在Rt△ECF中，cos∠ECB===24雁塔区校级模拟）问题提出形ABCD的面积结果保留根号）问题探究（2）某地有两条平行的道路m、n，以及与其相交的另一条道路l，交点分别为A、B两点（如图2所示在道路m、n上分别有一点P、Q，且AP＝60m，BQ＝180m，AB＝240m，∠ABQ＝60°,现计划在道路m、n之间，道路1右侧选取两点M、N，修建四边形花园PMQN，且满足PM＝PN，∠MPN＝120°,若存在，请求出其面积的最小值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据四边形常作的辅助线是对角线，把它分割成三角形进行即可，可得连接BD，延长DA、BC交于点E，过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BH⊥AD于点H，过点D作DG⊥BC于点G，可得AE＝AB＝3，进而得到DE＝7，EFBE＝3，进而得到CE＝5=,再由四形ABCD的面积等于S△ABD+S△CBD，即可求解.可得∠E=∠ABE，从而得到,BH=,BH=（2）理由同（1）连接PQ，过点A作AC⊥BQ于点C，可证得四边形ACQP是矩形，从而得到PQ∥AC，PQ＝AC＝120m，∠APQ＝90°,再由四边形PMQN等于S△PMQ+S△PNQ，可得要使四边形PMQN的面积最小，则点M、N到PQ的距离的和最小，此时MN⊥PQ，可得到PQ垂直平分MN，从而得到∠MQP﹣∠MQN＝15°,然后连接MN交PQ于点D，延长PM交AB于点F，连接FQ，可得∠APF=∠AFP，从而得到AF＝AP＝60m，可证得△BFQ是等边三角形，根据角平分线的性质定理可得DM＝FM，然后在直角△PDM中，利用锐角三角函数可得DM360﹣180）m，即可求解.【解答】解1）如图，连接BD，延长DA、BC交于点E，过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BH⊥AD于点H，过点D作DG⊥BC于点G，∴AF∥DG，∴=,∴EF＝BF，∴AF＝AEBH＝BE，∴EF=,∴=,解得：DG=,∴四边形ABCD的面积等于S△ABD+S△CBD＝AD•BH+BC•DG=;+2×=（2）存在符合要求的四边形PMQN，理由如下：如图，连接PQ，过点A作AC⊥BQ于点C，“上ABQ＝60。，:AB＝2BC，“AB＝240m，:BC＝120m，:AC＝120m，“BQ＝180m，AP＝60m，:CQ＝AP＝60m，“APⅡCO，:四边形ACQP是平行四边形，“上ACQ＝90。，:四边形ACQP是矩形，:PQⅡAC，PQ＝AC＝120m，上APQ＝90。，“四边形PMQN等于S△PMQ+S△PNQ，:要使四边形PMQN的面积最小，则点M，点N到PQ的距离的和最小，此时MN丄PQ，“PM＝PN，:PQ垂直平分MN，:QM＝QN，MN＝2DM，:上MQP＝上NQP=上MQN＝15。，连接MN交PQ于点D，延长PM交AB于点F，连接FQ，“PM＝PN，上MPN＝120。，:上APM＝30。，∴∠APF=∠AFP，∴AF＝AP＝60m，∴BF＝AB﹣AF＝180m，∴BF＝BQ，∴△BFQ是等边三角形，∴∠PQF＝30°,∴∠FQM=∠MQP，∴DM﹣FM，∴PF＝FQ•tan∠PQF＝60m，设FM＝DM＝xm，则PM60﹣x）m，在直角△PDM中，sin∠MPD=,∴sin60°=,解得：x＝360﹣180，即DM360﹣180）m，∴MN720﹣360）m，∴四边形PMQN的面积为MN•PQ＝120×（720﹣36086400﹣129600）m2，综上所述，存在符合要求的四边形PMQN，其面积的最小值为（86400﹣129600）m2.25双阳区一模）如图，在△ABC中，AC＝AB＝10过点C作CD⊥AB交AB于点D，动点P、Q同时出发，点P从点A出