2024年江苏省无锡市滨湖区河埒中学中考数学二模试题（解析版）

2024年江苏省无锡市河埒中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．）1.4的平方根是（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】由平方根的概念即可选择．∵，∴4的平方根是，故选：C．【点睛】本题考查平方根的概念，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．2.在函数中，自变量的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：，解得：，故选A．【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，分式有意义的条件，则分母不能为0．3.为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A.此次调查属于全面调查 B.样本容量是300C.2000名学生是总体 D.被抽取的每一名学生称为个体【答案】B【解析】【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐一判断即可解答．解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；B、样本容量是300，故此选项符合题意；C、2000名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握这些数学概念是解题的关键．4.下列属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题的关键．根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐项分析判断，即可求解．A选项，分解因式的对象必须是多项式，故该选项不符合题意；B选项，，故该选项不符合题意；C选项，是多项式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意；D选项，是因式分解，故该选项符合题意．故选：D．5.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE＝（）A.70° B.80° C.90° D.100°【答案】C【解析】【分析】连接AD，由圆周角定理可得，∠ADE=∠ACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答．解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角，∴∠ADE=∠ACE，∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°．故选：C．【点睛】此题比较简单，考查的是圆周角定理，只要连接AD便可直接解答．6.如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）A.主视图 B.左视图C.俯视图 D.主视图和俯视图【答案】B【解析】【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．故选：B．【点睛】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．7.下列4个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的性质和判定去判定①②③④命题是否正确．①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；正确．②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；不正确．③对角线相等的四边形是矩形；不正确．④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；不正确．故选A．【点睛】此题考查的知识点：菱形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定；准确掌握各种图形的性质和判定是解答此题的关键．8.如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接、，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，可得中心角的度数，进而可得∠AOD的度数，再根据等腰三角形的性质计算即可．解：连接、，∵正多边形的每个外角相等，且其和为，∴多边形的边数为：，，．∵OA=OD．故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角以及中心角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记公式是解答本题的关键．9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将绕点O按顺时针旋转60°至，反比例函数的图象经过点B，过A作交反比例函数图象于点C，若的面积为，则k的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解．解：过B点作于E点，如图，根据旋转的性质可得：，，∴是等边三角形，∵，∴，∴在中，，∵，∴，∵，，∴，∴（负值舍去），∴，∴，∵反比例函数的图象经过点B，∴，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据，得到，是解答本题的关键．10.已知在平行四边形中，，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，先证明是等腰直角三角形，可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得，，从而得到，再由折叠的性质可得，，再结合，可得，从而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解．解：如图，过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，∵四边形是平行四边形，∴，∴，即，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，设，则，，在中，，∴，解得：，∴，∴，∴，∵将沿翻折到，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠，作适当辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】先提取公因数4，然后利用平方差公式继续进行因式分解．解：．故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟记科学记数法的方法是解题的关键．确定，即可．解：故答案为：．13.如果圆锥的母线长为4，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面展开图圆心角度数为_________．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了圆锥的有关计算、弧长公式，解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可．解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意，得，解得，则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，故答案为：．14.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【解析】【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了写出原命题逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．15.《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意．设有x人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列出方程组即可．解：设有x人，物品价格为y钱，根据题意得：，故答案为：．16.请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可．解：∵，∴，即无论x取何值该分式都有意义，∵当时，分式的值为2，∴符合题意关于x分式为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．17.已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为_______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解．解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线，∴点关于对称轴的对称点为，当时，，∴二次函数的图象与y轴的交点为，∵，当点在对称轴的左侧时，；当点在对称轴的右侧时，，且，解得：；综上所述，k的取值范围为或．故答案为：或．18.如图，四边形中，，，，，连接，则线段的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】将线段绕点逆时针旋转，得到线段，作中点，延长到点，使得，延长到点，使得，由，是等腰直角三角形，得到，，进而得到，，结合，得到四边形是正方形，，由，，，得到，设，则，，，在中，根据勾股定理得到，当时，取得最小值，取得最小值，取得最小值，本题考查了，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，正方形的性质与判定，的最值，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，将转化．解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，作中点，延长到点，使得，延长到点，使得，连接、、、，∵，，线段绕点逆时针旋转，得到线段，∴，是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，即：，∵是中点，，∴，，，又∵，∴，又∵，∴四边形是正方形，∴，∵，，，∴，即：，设，则，，，∴，在中，，当时，取得最小值，取得最小值，此时取得最小值，，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是含有特殊角的三角函数值的混合运算，整式的乘法运算，熟记特殊角的三角函数值以及完全平方公式，平方差公式是解本题的关键．（1）先化简绝对值，计算负整数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后合并即可；（2）根据完全平方公式，平方差公式去掉括号，再合并即可．【小问1】解：原式；【小问2】解：原式．20.（1）解方程：；（2）解不等式组：．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．解：（1），∵，，，∴，∴，解得：，；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．21.△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，F为EC的中点，BC、DF的延长线交于点G．（1）求证：△DEF≌△GCF；（2）求证：BC＝2CG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由D、E分别是AB、AC的中点,，可知DE是△ABC的中位线，从而有DE∥BC，故有∠EDF=∠G，余下易得△DEF≌△GCF；（2）由（1）得DE=CG，再由DE是中位线，则有BC=2DE，所以有结论成立．证明：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，F为EC的中点，∴BC＝2DE，DE∥BC，EF＝FC，∴∠EDF＝∠G，在△DEF和△GCF中，，∴△DEF≌△GCF（AAS）；（2）∵△DEF≌△GCF，∴DE＝CG，∴BC＝2CG．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形中位线定理等知识，中位线定理的应用是关键．22.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是．（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．【答案】（1）；（2）作图见解析，【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，由概率公式求解即可．【小问1】解：由题意知志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是故答案为：．【小问2】解：画树状图如图：由图可知，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有共4种，可知小张和小李选择相同主题的概率为∴小张和小李选择相同主题的概率为．【点睛】本题考查了树状图求概率．解题的关键在于正确的列出所有情况．23.央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．【答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）126；（4）300人【解析】【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；（3）先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；（4）用社科类百分比×2500可得．解：（1）此次共调查的人数人；（2）生活类的人数人，小说类人数为人，补全图形，如下图：（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，故答案为：126（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500×12%=300人．故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．24.如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．（1）求证：为的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线；方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线；（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得．【小问1】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵是的直径，D是的中点，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．方法二：如图2，连接OC，BC．设．∵AB是的直径，D是的中点，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵AB是的直径，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．【小问2】解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵G为BD中点，∴．∴，．∴．∴．方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．∵AB是的直径，∴．∵，D是的中点，∴．∵G为BD中点，∴．∴．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．25.榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100箱榴莲．已知“线上”销售的每箱利润为100元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（20≤x≤60）之间的函数关系如图中的线段AB．（1）求y与x之间的函数关系；（2）当“线下”的销售利润为4350元时，求x的值；（3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用a元（a＞0），若“线上”与“线下”售完这100箱榴莲所获得的总利润为w元，当20≤x≤45时，w随x增大而增大，求a的取值范围．【答案】（1）y＝﹣0.5x+160（20≤x≤60）（2）x的值为30（3）a的取值范围为0＜a＜15.5【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到x（﹣0.5x+160）＝4350，然后求解即可；（3）根据题意，可以得到利润w与m的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以求得a的取值范围．【小问1】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，∵点（20，150），（60，130）在该函数图象上，∴，解得，即y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+160（20≤x≤60）；【小问2】由题意可得，xy＝4350，又∵y＝﹣0.5x+160，∴x（﹣0.5x+160）＝4350，解得x1＝30，x2＝290（舍去），即x的值30；【小问3】设“线下”销售榴莲x箱，则“线上”销售榴莲（100﹣x）箱，总利润为w元，由题意可得，w＝x（﹣0.5x+160﹣a）+100（100﹣x）＝﹣x2+（60﹣a）x+10000，该函数的对称轴为直线x＝﹣＝60﹣a，∵当20≤x≤45时，w随x增大而增大，∴60﹣a＞44.5，解得a＜15.5，∴0＜a＜15.5．【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答．26.（1）在平面直角坐标系中，已知点，若过点A、B且和x轴正半轴上相切于点P，求出此时点P的坐标；（2）如图，已知线段，用无刻度的直尺和圆规在射线上作出点P，使得最大（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线l，交线段于点E，过点B作轴于点M，则，点O在在直线l上，可得是等腰直角三角形，且点M在直线l上，求出直线l的解析式，过点A作于点D，则，设点O的坐标为，则点，，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可；（2）延长交于C，延长至D使得，然后作线段的垂直平分线交于E，以点E为圆心，为半径作圆E，过点B作的垂线交圆E于H，作使得，点P为所求．解：（1）如图，作线段的垂直平分线l，交线段于点E，过点B作轴于点M，则，点O在在直线l上，∵，∴点E的坐标为，，∴，∴是等腰直角三角形，且点M在直线l上，设直线l的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线l的解析式为，∵⊙O和x轴正半轴上相切于点P，∴轴，过点A作于点D，则，设点O的坐标为，则点，，在中，，∴，解得：或（舍去），∴点P的坐标为；（2）如图，点P即为所求．理由：如图，连接，由作法得：，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点P在以为弦的圆上，此时的度数最大．【点睛】本题考查学生的作图能力和转化能力，将所求的坐标转化为求边长，从而与勾股定理建立联系；常见的尺规作图有：作等线段，作等角，作角平分线，作垂直平分线，作垂线；本题难点在于把作切点切线性质的应用．27.二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围；（3）连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标．【答案】（1）（2）（3）点M的坐标为或或【解析】【分析】（）由待定系数法即可求解；（）由,得在中,根据(列方程即可得到根据a的取值范围即可求出的取值范围;（3）证明，并求出的取值范围，分①若；②若；③若；三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点的坐标.【小问