高中数学选择性必修一课件：第一课时 空间向量基本定理(人教A版)

1.2空间向量基本定理第一课时空间向量基本定理课标要求素养要求1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解.在理解并应用空间向量基本定理的过程中，掌握空间向量正交分解的方法，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.新知探究如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.提示1.不共面.1.空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得__________________. (1)定义：如果三个向量a，b，c__________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个__________，a，b，c都叫做__________. (2)性质：空间任意三个__________的向量都可以构成空间的一个基底.零向量不能是基向量2.基底p＝xa＋yb＋zc不共面基底基向量不共面3.正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量____________，且长度都为______，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_______________.像这样，把一个空间向量分解为三个______________的向量，叫做把空间向量正交分解.两两垂直1a＝xi＋yj＋zk两两垂直拓展深化[微判断]1.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.()

提示由空间向量基本定理可知，空间的任何一个向量都可用三个不共面的向量

表示.2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.(

)3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.(

)4.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.(

)

提示任何三个不共面的向量才可构成空间的一个基底，不共线的向量可能共面.×√√×[微训练]1.设向量a，b，c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是(

) A.{a－2b，3a－b，0} B.{a，b，a＋b} C.{3a＋b，a＋b，c} D.{a＋b＋c，a＋b，c}

解析A中由于0与任意两个向量共面，不能作基底；B中a＋b＝a＋b，故三向量共面，不能作基底；D中a＋b＋c＝(a＋b)＋c，故三向量共面，不能作基底.

答案C答案3i＋2j＋5k[微思考]

若{a，b，c}是空间的一个基底，那么a与b可共线吗？

提示a与b不共线.因为a，b，c不共面，所以a与b不共线.∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.规律方法判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.其中可以作为空间的基底的向量组有________(填序号).(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.其中可以作为空间的基底的向量组有________(填序号).同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底.因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底.答案(1)D

(2)②③④规律方法用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.解(1)如图，连接AC，规律方法由空间向量基本定理可以知道，如果三个向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，并且有序数组(x，y，z)是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础.【训练3】如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.一、素养落地1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念，培养数学抽象素养.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象和数学运算素养.2.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示.二、素养训练答案D2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(

) A.3a，a－b，a＋2b B.7b，2b＋3a，b－2a C.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c解析对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面.故选C.答案

C答案3备用工具&资料答案3二、素养训练答案D拓展深化[微判断]1.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.()

提示由空间向量基本定理可知，空间的任何一个向量都可用三个不共面的向量

表示.2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.(

)3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.(

)4.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.(

)

提示任何三个不共面的向量才可构成空间的一个基底，不共线的向量可能共面.×√√×答案3i＋2j＋5k3.正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量____________，且长度都为______，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_______________.像这样，把一个空间向量分解为三个______________的向量，叫做把空间向量正交分解.两两垂直1a＝xi＋yj＋zk两两垂直1.空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得__________________. (1)定义：如果三个向量a，b，c__________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，