高中数学选择性必修一课件：3 3 2 第1课时 抛物线的简单几何性质(人教版)

第1课时抛物线的简单几何性质第三章

3.3.2抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.学习目标图形标准方程焦点坐标准线方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质.导语

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)随堂演练课时对点练一、抛物线的几何性质二、抛物线的几何性质的应用内容索引一、抛物线的几何性质问题1

类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？提示1.范围当x>0时，抛物线y2

＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M

的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x

的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.2.对称性观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0).4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e＝1.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0).4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e＝1.标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形

范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴

轴

轴

轴

轴xx知识梳理yy1焦点坐标F______F_________准线方程x＝_______x＝____y＝______y＝____顶点坐标O(0,0)离心率e＝___注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.例1

抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1

边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是√跟踪训练1

边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是√解析设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).二、抛物线的几何性质的应用例2

(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.解如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又|OA|＝|OB|，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.解如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，反思感悟利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦：解决焦点弦问题.跟踪训练2

(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得

则p的值可以为A.2 B.4 C.6 D.8√√解析由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是______.解析由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，1.知识清单：(1)抛物线的几何性质.(2)抛物线的几何性质的应用.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误.课堂小结随堂演练1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是A.开口向上，焦点为(0,1)B.开口向上，焦点为C.开口向右，焦点为(1,0)D.开口向右，焦点为√1234解析由抛物线y＝4x2，2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为A.y2＝8x B.y2＝－8xC.x2＝8y D.x2＝－8y√1234√解析设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为√1234解析设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，4.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝______.01234解析因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.课时对点练1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝

则抛物线的焦点到直线AB的距离为√解析由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，基础巩固123456789101112131415162.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x√解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，12345678910111213141516√123456789101112131415164.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为

则点P到抛物线的焦点F的距离为A.4 B.5 C.6 D.7√解析由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，12345678910111213141516∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.解析曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为√123456789101112131415166.(多选)点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为√12345678910111213141516√因为点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，7.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为______.解析∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，12345678910111213141516∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0).8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝_____.6解析如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，∵M为FN的中点，|MM′|＝1，12345678910111213141516∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝

，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，12345678910111213141516所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.12345678910111213141516解设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，12345678910111213141516∵|AF|＋|BF|＝8，∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，12345678910111213141516∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x.√∴点A的坐标为(1，±2).12345678910111213141516综合运用12.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝

，则抛物线C的方程为A.y2＝6x B.y2＝2xC.y2＝x D.y2＝4x√解析过P向x轴作垂线，设垂足为Q，12345678910111213141516将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.13.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO

的面积为

则抛物线方程为A.y2＝6x B.y2＝8xC.y2＝16x D.y2＝x12345678910111213141516√解析设M(x1，y1)，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.14.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线

相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_____.123456789101112131415166解得p2＝36，p＝6.15.如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|＋|PB|的最小值为________.拓广探究12345678910111213141516解析抛物线的准线方程是x＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，1234567891011121314151616.已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；12345678910111213141516解抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.12345678910111213141516解如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，1234567891