人教版高中物理选修3-4教学案：第十一章 第4节 单 摆含答案

第4节

■垠步通科溟，课前自主学习，基稳才能楼高

一、单摆

组成要求

细线摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线

小球摆球看成是没有太小只有质量的质点

单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积

小的小球和尽量细不可伸长的线。

二、单摆的回复力

1.回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

2.回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,

方向范指向平衡位置.即尸=-爷0

3.单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。

三、单摆的周期

1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论

①单摆振动的周期与摆球的质量公。

②振幅较小时，周期与振幅无关。

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2.定量探究单摆的周期与摆长的关系

⑴周期的测量：用停表测出单摆M30—50)次全振动的时间t,利用7=引■算它的周

期。

(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度儿用游标卡尺测出小球直径D,利用1=1。

+弃出摆长。

(3)数据处理：改变摆长.测量不同摆长及对应周朗.作出T-1、。/或图像，得

出结论。

3.周期公式

(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：即7与摆长，的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根

成反比。

4.周期公式的应用

由单摆周期公式可得g=竽，只要测出单摆的摆长，和周期？就可算出当地的重力加

速度。

1.自主思考——判一判

(1)制作单摆的细线弹性越大越好。(X)

(2)制作单摆的细线越短越好。(义)

(3)制作单摆的摆球越大越好。(X)

⑷单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。(X)

(5)单摆的回复力等于摆球所受合力。(X)

2.合作探究——议一议

(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量

越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？

提示：不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即

所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由7=2,与摆球的质量无关。

(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。

提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。

字翔5霞if扁昌初课堂讲练设计，举一能通类题

考点一对单摆回复力及运动特征的理解

0通知识I

1.单摆的回复力

图11-4-1

(1)单摆受力：如图1L4-1所示，受细线拉力和重力作用。

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin。提供了使摆球振动的回复力。

2.单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin吟又回复力F=mgsin0,所以单摆的回复力为F=心x(式

中x表示摆球偏离平衡位置的位移，，表示单摆的摆长，负号表示回复力尸与位移x的方向

相反)，由此知回复力符合尸=-我，单摆做简谐运动。

0通题组I

1.下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是()

A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C.单摆经过平衡位置时合力为零

D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

解析：选B单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有

向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的

回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误;

单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。

2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图U-4-2所示，以下说法正确的是()

图11-4-2

A.心时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大

B.友时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小

C.友时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小

D.覆时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大

解析：选D在心时刻和友时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C均错

误；在友时刻和右时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B错

误，D正确。

考点二”对单摆周期公式的理解

切1知识|

1.摆长/

(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即1=L

/为摆线长，"为摆球直径。

(2)等效摆长。

图11-4-3(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为7-sina,

这就是等效摆长，其周期T=2n

图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等

效。

图11-4-3

2.重力加速度g

若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即

式中A为物体到地心的距离，〃为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，

在不同星球上〃和"也是变化的，所以g也不同，g=9.8m/s，只是在地球表面附近时的取

值。

立通方法

［典例］有一单摆，其摆长7=1.02m,已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时

间力=60.8s,试求：

(1)当地的重力加速度是多大？

(2)如果揩这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？

［思路点拨］

(1)单摆的周期7与2的关系：7=*

(2)秒摆的周期为2so

［解析］(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式

4jr27f6082

由此可知g=F，只要求出7值代入即可。因为T=-=^-s=2.027s,所以g=4^TT-7

111JU1

4x3.142xl.02,2,2

2

=---2027---皿〃=9.79m/so

(2)秒摆的周期是2s,设其摆长为7o,由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单

摆的振动规律有：(=*，

”.二代122xl.02

故有：7o="p-=20272m=0.993mo

所以其摆长要缩短A/=/-1o=LO2m-0.993m=0.027mo

［答案］(1)9.79m/s?(2)缩短0.027m

计算单摆的周期的两种方法

计算单摆的周期有两种方法，一是依据二是根据T.第一种方法利用

了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。第二种方法利用了粗测周期的一种方法,

周期的大小虽然不取决于方和可但利用该种方法计算周期，会受到时间力和振动次数〃测

量的准确性的影响。

旗题组

1.甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角a甲＞。乙（a甲、

az都小于5。），在同一地点由静止开始同时释放，贝版）

A.甲先到达平衡位置B.乙先到达平衡位置

C.甲、乙同时到达平衡位置D.无法判断

解析：选C由单摆的周期公式可知周期7与1、g有关，与质量、摆动

的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。

2.一个单摆，在第一个行星上的周期为北，在第二个行星上的周期为&若这两个行

星的质量之比为肠：弱=4：1,半径之比用：是=2：1,贝（|（）

A.北：。=1：1B.71：2=4：1

C.R：2=2：1D.刀：2=1：2

解析：选A单摆的周期公式为同一单摆即有隼方，又据万有引力定律

Mm-GMmu笈.屈父/4X1“

侬=%，有3=不，因此7t3c故刀：就后=\/荻1=1：1，故A正确。

3.一个单摆的摆长为1,在其悬点。的正下方0.191处有一钉子户（如图11-4-4所示），

现将摆球向左拉开到4使摆线偏角，＜5。，放手后使其摆动，摆动到6的过程中摆角也小

于5。，求出单摆的振动周期。

图11-4-4

解析：释放后摆球到达右边最高点5处，由机械能守恒可知5和4等高，则摆球始终

做简谐运动。单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

小球在左边的周期为

小球在右边的周期为2=2九

北Ti

则整个单摆的周期为7=3+三

0通知识I

1.实验原理

单摆在偏角很小(小于5。)时的摆动，可以看成是简谐运动。其固有周期为

由此可得名=竽。据此，只要测出摆长，和周期4即可计算出当地的重力加速度值。

2.实验器材

摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等。

3.实验步骤

(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。然后把线的上端用铁夹

固定于铁架台上，在平街位置处做上标记。

(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度/线，用游标卡尺测量出摆球的直径4则单摆

d

的摆长/=/线+,

(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5。的角，然后释放摆球，当单摆振动稳

定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量〃次(一般取30—50次)全振动的时间人则周

期

(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长/和周期To

4.数据处理

(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的1和7代入公式中求出g值，最后求出g的

平均值。

设计如下所示实验表格

重力加速度重力加速度g的

实验次数摆长〃m周期T/s

g/(m-s-2)平均值/(m・s-z)

1g+4+刍

83

2

3

⑵图像法：由得/=菅］，作出涔，图像，即以『为纵轴，以1为横轴。

其斜率A=?,由图像的斜率即可求出重力加速度g°

T2/s2

Ol/m

图11-4-5

5.误差分析

(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否

可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪

段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差

而达到忽略不计的程度。

(2)偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)。

要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2,…在数

“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行

多次测量后取平均值。

6.注意事项

(1)选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度

较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。

(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线

下滑、摆长改变的现象。

(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°。可通过估算振幅的办法掌握。

(4)摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆

球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在

数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。

0通方法

［典例］在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长，和周期7计算重力加速

度的公式是g=o若已知摆球直径为2.00c叫让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆

线竖直下垂，如图11-4-6所示，则单摆摆长是________mo若测定了40次全振动的时间为

75.2s,单摆摆动周期是________o

为了提高测量精度，需多次改变/值，并测得相应的7值。现将测得的六组数据标示

在以，为横坐标，以/为纵坐标的坐标系上，即图11-4-7中用“•”表示的点，贝U：

图11-4-7

(1)单摆做简谐运动应满足的条件是o

(2)试根据图中给出的数据点作出7和1的关系图线，根据图线可求出g=

m/s2o(结果取两位有效数字)

［思路点拨］

(1)摆长等于摆线的长度与小球半径之和。

(2)用直线连接各点时要使不在直线上的点均匀分布在直线两侧，离线较远的点舍弃不

用。

4元2

(3)九1图线的斜率A与g的关系：k=­

go

R4n27一

［解析］由T=2TT\可知g=7-。由图可知：摆长1=(88.50-1.00)cm=87.50cm

t

=0.8750mo7=-=1.88so

(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5。。

(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率

k=%。由¥=驾,可得g=9.8m/s2(9.9m/s?也正确)。

ZXJ.ZX1K

［答案］见解析

0通题组

1.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中:

(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图11-4-8所示，则该摆球的直径为

________cmo

(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是o(填选项前的字母)

A.把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B.测量摆球通过最低点100次的时间力则单摆周期襦

C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值

偏大

D.选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

解析：⑴主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9cm+7X，mm=0.97cm,

不需要估读。

(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5。，并从平衡位置计时，故A错误；

若第一次过平衡位置计为“0”则周期7=看,若第一次过平衡位置计为“1”，则周期7=彘,

ou21y.u

B错误；由？=27^，|得€=竽，其中/为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆

球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对

误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误。

答案：(1)0.97(2)C

2.用单摆测定重力加速度的实验装置如图11-4-9所示。

(1)(多选)组装单摆时，应在下列器材中选用(选填选项前的字母)。

A.长度为1m左右的细线

B.长度为30cm左右的细线

C.直径为1.8cm的塑料球

D.直径为1.8cm的铁球

(2)测出悬点。到小球球心的距离(摆长)2及单摆完成Z?次全振动所用的时间t,则重

力加速度无=(用2、仄方表示)。

(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。

组次123

摆长Z/cm80.0090.00100.00

50次全振动时间t/s90.095.5100.5

振动周期T/s1.801.91

重力加速度g!(m-s-2)9.749.73

2

请计算出第3组实验中的7=s,g=m/so

(4)用多组实验数据作出图像,也可以求出重力加速度已知三位同学作出的f-L

图线的示意图如图1L4-10中的a、b、c所示，其中a和6平行，b和c都过原点，图线6

对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线瓦下列分析正确的是(选

填选项前的字母)。

图11-4-10

A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L

B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次

C.图线c对应的g值小于图线6对应的g值

解析：(1)组装单摆时，应选用1m左右的细线，摆球应选择体积小、密度大的球，选

项A、D正确。

(2)单摆的振动周期7=5

ggR,=4n2Z4nnL

根据T=2TT\I%得g=7-=―厂。

/o

(3)7；=—=2.01So

ggL/=4nL.2

根据7=2TFA/3得g=7-29.76m/so

（4）根据7=2口^|,得/=空/,即当2=0时，7=0。

出现图线a的原因是计算摆长时过短，可能是误将悬点。到小球上端的距离记为摆长,

选项A错误；对于图线c,其斜率A变小了，根据A=],可能是7变小了或/变大了。选

4n24n2

项B中误将49次全振动记为50次，贝!]周期7变小，选项B正确；由覆7=A得g=~^,则k

变小，重力加速度g变大，选项C错误。

答案：⑴AD⑵竺^Tt岩nL（3）2.019.76（4）B

课后层级训练，步步提升能力

一、基础题畲熟

1.在如图所示的装置中，可视为单摆的是（）

解析：选A单摆是由不可伸长的细线和金属小球组成的，其悬点应在摆球摆动过程中

固定不变，故只有A项正确。

2.在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为71,

单摆的周期为&则石和石的关系为（）

A.71＞冗B.T=T2

C.£＜£D.无法确定

解析：选A弹簧振子的周期由振动系统本身决定，与重力加速度无关，故北=7月，

对单摆来说，由可知，其周期与单摆所处位置的重力加速度g有关，因gQg月,

故尔7月，所以刀＞&A正确，B,C、D均错误。

3.如图1所示，光滑糟的半径A远大于小球运动的弧长，今有两个小球（视为质点）同

时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点。远些，则它们第一次相遇的地点在（）

甲

乙

图1

A.。点B.。点偏左

C.。点偏右D.无法确定，因为两小球质量关系未定

解析：选A由于半径火远大于运动的弧长，所以小球做简谐运动，其周期都为T=

与位移的大小无关，故同时到达。点，A正确。

4.如图2是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，以向右的方向作为摆球偏离平衡位移

的正方向，从方=0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，乙在平衡位置的（）

A.左方，向右运动B,左方，向左运动

C.右方，向右运动D.右方，向左运动

解析：选D甲第一次到达右方最大位移处时，t=1.5s,此时乙的位移为正值，且正

在减小，故乙此时在平衡位置右侧，且向左运动，D正确。

5.（多选）在用单摆测重力加速度的实验中，测得单摆偏角小于5。，实验中某学生所

测g值偏大，其原因可能是（）

A.实验室离海平面太高

B.摆球太重

C.测出〃次全振动时间为t,误作为5+1）次全振动时间进行计算

D.以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算

解析：选CD由单摆的周期公式g值偏大，可能是周期算小了或是摆长算

长了，选c、Do

二、能力题⑥通

6.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原

理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰

好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图3

所示，从小球第1次通过图中的6点开始计脚，第21次通