2018年高考数学一轮复习 40 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理

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专题40空间点、直线、平面之间的位置关系

考情解读

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理;

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

重点知识梳理

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

(4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.空间中两直线的位置关系

(1)位置关系的分类

f［平行

共面直线朝一

<［相父

,异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a'//a,b'//b,把a,与〃

所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与6所成的角(或夹角).

②范围：(o,-y.

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

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卜高频考点突破，

高频考点一平面基本性质的应用

例1、如图所示，正方体Aff加口中,E、尸分别是48和皿的中点.求证:

②CE、4尺的三线共点.

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【解析】证明（1）如图，连接即，CDi,AiB.

••氏尸分别是居、出h的中点，疑i.

又ARHDiC,LEFHCDi,

.出C、爪尸四点共面.

⑵•：EFHCDi,EF<CDi,

，⑫与必相交，

设交点为P,如图所示.

贝I」由PWOS,CffU平面4S0D,得尸€平面4BOD.

同理尸€平面疝

又平面715CDn平面ADDiAi=DAf

...尸€直线以4，国、DF、D4三线共点.

【感悟提升】（1）证明线共面或点共面的常用方法

①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.

②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面。，再证明其余元素确定平面£,最后证明平

面a,£重合.

（2）证明点共线问题的常用方法

①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些

点都在这两个平面的交线上.

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②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

【变式探究】如图，平面^5即1平面/灰/,四边形/戚与四边形/戊力都是直角梯形，ABAD

=NFAB=90°,BC//ADS.BC=^AD,BE〃AF且BE=%F,G、〃分别为用、网的中点.

(1)证明：四边形加用是平行四边形；

(2)C、D、F、£四点是否共面？为什么？

【解析】⑴证明由已知尸G=G4FH=HDf

可得GH^^AD.

又EC统加，

J四边形BSG为平行四边形.

(2)解G是刚的中点，..金£统尸G,

.•.四边形9G为平行四边形，

由(1)知MS,.,.KF与次共面.

又DEFH,：.C、口、尸、E四点共面.

高频考点二判断空间两直线的位置关系

例2、(1)若直线，和入是异面直线，Z在平面a内，心在平面£内，/是平面a与平面£

的交线，则下列命题正确的是()

A.1与h,心都不相交

B.1与h,B都相交

C./至多与，，心中的一条相交

D.7至少与心中的一条相交

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（2）如图，在正方体46切-46C"中，M,"分别是6G,勿的中点，则下列判断错误的是（）

A.MN与CG垂直

B.就与/C垂直

C.MN与BD平行

D.例V与4区平行

（3）在图中，G、从欣〃分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点,

则表示直线GH、脉是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）

【解析】⑴若，与％A都不相交，则lllh,/J1///2,这与A和A异面矛盾，至少与％—中

的一条相交.

⑵连接SC,BiDi,则点Af是SC的中点，是ABiGDi的中位线，

,.•CCil5iDi,/ClBiDi,BDHBiDi,

：.MNYCCi,MN1AC,MNllBD.

又..N151与BiDi相交，

.,.MN与/由1不平行，故选D.

（3）图①中，直线GH〃MN；

图②中，G、H、"三点共面，但脆面筋以

因此直线GH与仞V异面；

图③中，连接切，GM//HN,因此阳与廨共面；

图④中，G、M、”共面，但照面的

因此GH与腑异面.

所以图②④中GH与"V异面.

【感悟提升】（1）异面直线的判定方法

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①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格

的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

②定理：平面外一点/与平面内一点6的连线和平面内不经过点6的直线是异面直线.

(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为

主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.

【变式探究】⑴如图，在正方体抽切一中，M,“分别是8G,切的中点，则下列判

断错误的是()

A.HV与CG垂直B.的V与47垂直

C.JZV与初平行D.研与4A平行

(2)a,b,。表示不同的直线，〃表示平面，给出四个命题：①若a〃〃，b//M,则a〃方或a,

6相交或a,6异面；②若bu肱a//b,贝！Ja〃朋③若a_Lc,6_Lc,则a〃6；④若a_L弘b

LM,则@〃6.其中正确的为()

A.①④B.②③C.③④D.①②

【答案】(1)0(2)A

【解析】(1)如图，连接

在的中，MN//BD,故C正确；

平面/比2〃七平面J.CGLBD,

J.MNLCa,故A正确；

'：ACLBD,MN//BD,：.MNLAC,故B正确；

；4氏与初异面,MN//BD,

；.初与4名不可能平行，故选项D错误.

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⑵对于①，当洲M,时,则a与2平行、相交或异面，①为真命题.②中，bcMfallb，则或

②为假命题.命题③中，a与》相交、平行或异面，③为假命题.由线面垂直的性质，命题④为真命题,

所以①，④为真命题.

高频考点三求两条异面直线所成的角

例3、（1）如图所示，在正三棱柱A6C—4区G中，，是AC的中点，M：AB=^i：1,则异面直

线/区与劭所成的角为.

【答案】600

【解析】取4G的中点£,连接氐反ED,AE,

在RtzX/6遂中，即为所求,

设26=1,贝！|44=4，4用=4,6必=手

故//反£=60°.

⑵空间四边形四切中，肥=①且N6与切所成的角为30°,E、F分别为BC、加的中点,

求必与四所成角的大小.

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【解析】如图，取4c的中点G,连接EG、尸G,则EG献%B,尸G%CD,

由H8=CD知EG=FG,

.•.NG£W（或它的补角）为班与48所成的角，NEGW（或它的补角为与⑵所成的角.

•.•45与CD所成的角为30%

.,.Z5GF=3/或150°.

由EG=FG知△班G为等股三角形，

当NEGF=300时，NG£W=75。；

当乙EGF=1500时，AGEF=IS0.

故町与居所成的角为15域75°.

【感悟提升】（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图

中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.

（2）求异面直线所成角的三个步骤

①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.

②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.

③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求

出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

【变式探究】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱4式》—4为G〃中，44=2/6

=2,则异面直线46与4〃所成角的余弦值为（）

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【答案】D

【解析】连接8G,易证因〃/几

则/小笫即为异面直线46与所成的角.

连接4G,由48=1,44=2,

贝|40=丑AB=BQ=y[5,

在△儿园中，由余弦定理得

5+5-24

cos/A1BC1■—产

2X45X455

真题感悟

11.[2016高考新课标1卷】平面a过正方体力比的顶点A,a〃平面CBM,al平

面ABCD=m,al平面ABRA^n,则m、〃所成角的正弦值为

,s/3A/2*/、s/3.1

(A)—(B)—(C)—(D)-

2233

【答案】A

【解析】如图，设平面CHN1n平面ABCD=m',平面CBQifl平面=k，因为平面CBR,

所以那IIm\nlln',贝J加/所成的角等于加所成的角.过R作口间BQ,交AD的延长线于点E,连

接CE,则CE为“.连接4B,过B,作用及"43,交AAX的延长线于点招，则与耳为“，连接BD,则

BDllCE,B^HK，，则M，川所成的角即为4瓦3。所成的角，为60。，故渤/所成角的正弦值为坐,

选A.

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2.12016高考新课标1卷】(本小题满分为12分)如图，在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中,

面ABEF为正方形,A22FD,ZAFD=90,且二面角。/尸£与二面角己册户都是60.

(I)证明：平面/颇_L平面切叨C；

(II)求二面角E-BPA的余弦值.

A

【答案】(I)见解析(II)--匚

19

【解析】

(I)由已知可得加AF工相，所以加_L平面EFDC.

又AFu平面ABEF,故平面ABEFJ"平面EFDC.

(11)过。作DGJ.EF,垂足为G，由(I)知QGJ.平面@

以G为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，|而|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-个.

由(I)知/烟为二面角。一"一芯的平面角，故。7芯=西,则归n=2,|。6|=3,可得/(134,0),

5(-3.4,0),E(-3,0t0),D(0,0,@.

由已知，AB//EF,所以A5〃平面ERDC.

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又平面ABCD平面EFE>C=OC,故AB〃CD,CD//EF.

由5E〃AF,可得BE，平面跳DC,所以NCEF为二面角C—BE—尸的平面角,

NCEF=6。.从而可得。（一2,0,6）.

所以EC=（l,0,出），EB=（0,4,0）,/0=卜3,—4,6），Z8=（T,0,0）.

设冷=（x,y,z）是平面的法向量，则

nEC=0口n_[x+Wz=0

5--，即，）

nEB=O[4y=0

所以可取狸=（3,0,3）.

mAC=Q

设洲是平面/8的法向量，贝R__,

mAB—0

同理可取洲=（0,第,4）.则8sgffr）=JJ=_"^.

\/|n||M|19

故二面角E-BC-A的余弦值为一噜

3.[2016高考新课标2理数】如图，菱形A3CD的对角线AC与交于点。，

AB=5,AC=6,点瓦厂分别在A£>,C£>上，AE=CF=~,EF交BD于点H.将ADEF

沿E7折到AD'EF位置，OD'=M.

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(I)证明：平面ABCD；

(II)求二面角5—O'A—C的正弦值.

【答案】(I)详见解析；(II)——.

25

【解析】

(I)由已知得.仞=8,又由=得包=乌，故NC#昉.

ADCD

因此EF±HD,从而EF±DfH.由K5=5,KC=6得0。=30=^AB1-AO1=4.

由斑叶NC得吧=丝=士.所以Off=l,D'H=DH=3.

DOAD4

于是。巨2+。笈2=32+[2=]0=。,02,

故D'H_L0H.

又。H_L即，而。HClEF=H,

所以PrH_L平面.458.

(II)如图，以H为坐标原点，"F的方向为了轴正方向，建立空间直角坐标系〃-孙z,

则H(0,0,0),A(-3,-l,0),5(0,-5,0),C(3,-l,0),O'(0,0,3),AB=(3,-4,0),

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m-AB=0

AC=（6,0,0）,A£＞'=（3』,3）.设帆=（%,%,zj是平面ABD'的法向量，则＜

m-ADr=0

，3再-4yi=0

即＜所以可取利=（4,3,—5）.设〃=（%,%,Z2）是平面AC。'的法向量,

3%+%+3zi=0

n-AC=06X=0/、

则1，即17-，所以可取〃=(0,—3,1).于是

n-AD'=0+y寸3z=p

mn-14S

ccxmn>=：­T—7=——=-------s--in<m,n因此二面角B—D'A—C

\in\\n\V50xV102525

p=十/古B2y/95

1的Vl正弦值是-----

25

1.12015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,

在正方体中，设的中点为GH的中点为N

(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

(2)证明：直线MN//平面3QH

(3)求二面角A-EG-M的余弦值.

272

（2）详见解析.（3）

3

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【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示.

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(2)连结BD,设。为BD的中点.

因为M、N分别是BC、GH的中点,

所以0M7/CD,且。拉=白8,

2

NHHCDf且NH=、CD,

2

HNH,OM=NHf

所以M瓯是平行四边形，

从而

又平面ADH,OHu平面DDE,

所以MM〃平面ADH.

(3)连结AC,过M作MP_LAC于P.

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在正方形A5CE>—EEGH中，AC//EG,

所以MPLEG.

过P作PKLEG于K,连结KM,

所以EG,平面PKM,

从而KM_LEG.

所以ZPKM是二面角A-EG-M的平面角.

设AD=2,则CM=1,PK=2,

在及CW中，PM^CMsin45=—.

2

在RfKMP中，KM=y/PK2+PM2=.

2

所以cosZPKM=丝=述.

KM3

即二面角A-EG-M的余弦值为逑.

3

（另外，也可利用空间坐标系求解）

2.12015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.如图，在阳马尸-4JCD中,

侧棱即，底面ABCD,且PD=CD,过棱尸C的中点E,作EFLPB交PB于点F,连接

DE,DF,BD,BE.

（I）证明：依，平面。跳\试判断四面体D3防是否为鳖腌，若是，写出其每个面的直角

（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（II）若面DEF与面ABCZ）所成二面角的大小为百，求变的值.

3BC

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p.

V2

【答案】（I）详见解析；（II）—.

2

【解析】（解法1）（1）因为即,底面盘⑦，所以如•*■欧

由底面知CD为长方形，有3CJ_CD，而即nCD=D,

所以BC_L平面尸CD.而DEu平面PCD,所以BCA.DE.

又因为即=如，点E是改的中点，所以DE_LPC.

而汽7n3C=C,所以DE_L平面级C.而国u平面即C,所以留_LDE.

又PBiEF,DECiEF=E,所以231.平面DW.

由D&_L平面PBCfPBL平面DEF,可知四面体BDEP的四个面都是直角三角形,

即四面体即即其四个面的直角分别为8EB,NDE"N即3,ND的.

（II）如图1,在面尸BC内，延长BC与EE交于点G,则OG是平面。即与平面ABCO

的交线.由（I）知，总,平面。所，所以PB'ZX?.

故/BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设尸£>=DC=1,BC=A,有Jl+万,

在RtAuW中，由。尸_LP3,得NDPF=NFDB=—,

3

贝Utan工=tan/DPF==J1+%=6,解得4=^/^.

3PD

所以型=_L=".

BCA2

故当面。瓦与面ABCD所成二面角的大小为工时，—=^.

3BC2

（解法2）

（I）如图2,以。为原点，射线分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

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设PD=£>C=1,3C=/l,则”Q(/。B2C，尸B,点E是尸C

的中点，

所以£(0,；,；),DE=(O,1,1),

于是PBDE=O,即依

又已知EF_LPB,而DEEF=E,所以PB_L平面。跖.

因尸C=(O,1,-1),DEPC=O,则£>E_LPC,所以£®_L平面P3C.

由DE_L平面尸3C,P3_L平面£>£F,可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖膈，其四个面的直角分别为ZDEB,Z.DEF,Z.EFB,ZDFB.

(II)由P£>_L平面A3。，所以DP=(O,。,1)是平面ABCD的一个法向量;

由(I)知，尸3,平面DEF,所以BP=(-尢-1,1)是平面£>跖的一个法向量.

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为-,

3

BP，DP]_j_

则cos—=

3\BP\-\DP\VA2+22

解得，S所以ff=：=李

DCy/2

故当面。瓦与面ABCD所成二面角的大小为三时,

3~BC~^2

3.12015高考广东，理18】如图2,三角形产℃所在的平面与长方形A3CD所在的平面垂

直，PD=PC=4,AB=6,3c=3.点E是CD边的中点，点/、G分别在线段AB、BC

上，且AF=2阳，CG=2GB.

(1)证明：PE-LFG.

(2)求二面角P-0的正切值；

(3)求直线E4与直线FG所成角的余弦值.

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p

【解析】(D证明：；尸D=PC且点£为8的中点，

PELDC,又平面卫DC!_平面715cD,且平面PDCf)平面45CD=CD,PSu平面RDC,

理J■平面HBCD,又FGu平面HBCD,

.,.PELFGy

(2)解：由⑴知PE_L平面ABCD,.\PEXAD,

又：CD_LAD且PEClCD=E,

，ADJ_平面PDC,

又；PDu平面PDC,；.AD_LPD,

又YADLCD,ZPDC为二面角P-AD-C的平面角,

在RtZkPDE中，由勾股定理可得：

PEWPD2-DE2=742-32=V7,

PGVr

/.tanZPDC=DG=3；

(3)如下图所示，连接AC,

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AF=”B，CG=2GBgp—=—=2,

FBGB

：.ACHFGf

乙P/C为直线产/与直线和所成角或其补角，

在AP/C中，PA=^PD2+AD2=5,/C=J/Q'+OZ/=3回

5,(3邛429君

P41A-AC1-PC'

由余弦定理可得8smC=…

2x5x3造一25

直线产/与直线EG所成角的余弦值为喳.

L（2014•辽宁卷）已知如〃表示两条不同直线，。表示平面.下列说法正确的是（）

A.若加〃a,n//a,贝|加〃77

B.若/_1_a,nua,则ml.n

C.若/_La,m_Ln,贝!Jn//a

D.若/〃a,m_Ln,贝U/?_L。

【答案】B

【解析】由题可知，若勿〃n//a,则勿与〃平行、相交或异面，所以A错误；若忆L。,

nda,则m,Ln,故B正确；若ml_a,m_Ln,则n//。或T?Ua,故C错误.若m//a,mLn,

则〃〃。或。或〃与d相交，故D错误.

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2.（2014•福建卷）在平面四边形46（力中，AB=BD^CD=\,ABLBD,CD1BD.胳AABD沿BD

折起，使得平面4初，平面腼，如图1-5所示.

⑴求证：ABLCD-,

（2）若〃为力。中点，求直线力〃与平面血％所成角的正弦值.

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【解析】解:⑴证明：:,平面池。1平面BCD,平面TISDC平面SCDuRD,儿Su平面ABD,AB1BD,：.AB\.

平面SCO.

又ODu平面BCD,：.AB]_CD.

（2）过点B在平面BCD内作BE1即.

由⑴知AB1平面BCD,BSu平面BCD,BDu平面BCD,.•.居1AE,AB1BD.

以B为坐标原点，分别以防，通威的方向为x轴，J轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。口图所示）.

依题意，得即,0,0),1,0),50,1,0),邢,0,1),«\>i

贝1,0),加(0,i,3,疝=(0,1,-1).

设平面A/8C的法向量n=（xo,w，a）,

JCO+州=0,

则%+畀=0,

取m=l,得平面MBC的一个法向量。=（1,-1,1）.

设直线AD与平面MBC所成角为Q,

\n-Ab\_J,x/6

贝“而d=|cos〈n,Aby|

肝@13■

即直线闻与平面MBC所成角的正弦值为坐

3.（2014•新课标全国卷H）直三棱柱/8G/出G中，/鸵4=90°,M,"分别是4瓜，4G

的中点，BC=CA=CQ,则砌与AV所成角的余弦值为（）

A±R2叵立

105102

【答案】C

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【解析】如图，E为的中点.由于M,N分别是小历，4C1的中点，故AWVB1C1且故

的糠即,所以四边形M的为平行四边形，所以加统所以直线⑷V,NE所成的角即为直线

期所成的角.设BE,则员仁县山邛，所以MB=乎二圾疝=但有

4.(2014•四川卷)三棱锥/-8切及其侧视图、俯视图如图1-4所示.设〃，“分别为线

段/〃，的中点，尸为线段充上的点，豆MNLNP.

(1)证明：户是线段功的中点；

(2)求二面角A-NP-〃的余弦值.

图1-4

【解析】解：⑴如图所示，取物的中点。，连接A。，CO.

由侧视图及俯视图知，△板，△及力为正三角形，

所以Z〃_L微OCLBD.

因为/。，%t平面/OC,且/on〃c=o,

所以〃?_L平面AOC.

又因为“t平面所以应LL/C

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取8。的中点〃，连接阳PH.

又M,N,〃分别为线段AB,8。的中点，所以的〃物，NH//AO,

因为所以施L薇

因为的忆L2,所以死L被

因为阳Mt平面旦NHCNP=N,所以即_L平面阕R

又因为如u平面阕P,所以BMHP.

又OCLBD,小t平面BCD,OCu平面BCD,所以HP//OC.

因为〃为方。的中点，所以尸为理的中点.

(2)方法一：如图所示，作N214C于连接

由(1)知，NPflAC,所以N01NP.

因为MN1NP,所以NMA9为二面角4-NP-M的一个平面角.

由(1)知，AABDfAB⑵为边长为2的正三角形，所以4。=。(=/一

由俯视图可知，/。1平面BCD.

因为OCu平面BCD,所以401Og因此在等腰直角ZUOC中，AC=\l6.

作BR1/C于五

因为在ZU5C中，AB=BCf所以五为月C的中点、，

所以密Ap-(舒=挚

因为在平面/8C内，NQLAC,BRLAC,

所以M〃阮

又因为“为48的中点，所以0为4?的中点,

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b,,BRA/10

所以阀=2=芋.

同理，可得掰=乎.

故△仞阳为等腰三角形，

所以在等腰△〃惚中，

mBD

~2~J10

cos/加=拓=丽=§-

故二面角A-NP-〃的余弦值是坐.

方法二：由俯视图及Q)可知，平面BCD.

因为OC,OSu平面BCD,所以4010C,AO]_OB.

又。ClOB,所以直线。1,OB,OC两两垂直.

如图所示，以。为坐标原点，以OB,OC,QA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O

则他0,圆5(1,0,0),C(Q,®0),5-1,0,。).

因为M,N分别为线段㈤，AB的中点,

又由(1)知，P为线段BC的中点,

于是48=(1,0,一木),BC=(—1,小,

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/曰阿A5=0,

由;I火CRC-0即

<(xi,yi/zi)•(1f0,—=0,

L(JCI,yi,2i)­(-1,S,0)=0,

Xi—?\/^zi=0f

从而，

LXi+Syi=0.

取zi=l,贝iJxi=S,yi=l,所以m=(S,1,1).

设平面MW的一个法向量m=（期，yi＞玲,由,

‘得.

[mlNP,、[也•即=0,

取0=1>则以=1,工2=0>所以m=(0>1,1).

771•Z?2(、

设二面角力■顺■〃的大小为9,贝!Jcose=IIaII=

_VTo

一5,

故二面角上晒〃的余弦值是处.

押题专练

1.在下列命题中，不是公理的是（）

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

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D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

【解析】选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.

2.已知直线a和平面a,B,aC8=1,afta,闻£,且a在a,£内的射影分别为直线6

和c,则直线6和c的位置关系是（）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

【答案】D

【解析】依题意，直线6和。的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.

3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平

面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）

A.①B.①④C.②③D.③④

【答案】B

【解析】显然命题①正确一

由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.

命题③中，两个平面重合或相交，③错.

三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.

4.a,b,。是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）

A.若直线石，6异面，b,c异面，则乃，c异面

B.若直线a6相交，b,c相交，贝劣。相交

C.若a〃6,则a,6与c所成的角相等

D.若a_L6,bl.c,则a〃c

【答案】C

【解析】若直线a,6异面，b,c异面，则a,c相交、平行或异面；若a,6相交，b,c

相交，则4c相交、平行或异面；若a_L8,bLc,则小c相交、平行或异面；由异面直线

所成的角的定义知C正确.故选C.

5.已知正方体力比9—48K〃中，E,尸分别为胡，制的中点，那么异面直线/£与〃/所成角

的余弦值为（）

4325

A-5B，5C-30-7

【答案】B

【解析】连接陇则/£〃所，

/"的?为异面直线/£与以尸所成的角.

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设正方体棱长为a,

则DiD=a,DF—2a，D\F=?a，

6.如图所示，平面a,£,丫两两相交，a,b,。为三条交线，且乃〃6,则3与c,b与c

的位置关系是

【答案】a//b//c

【解析】Va//b,aua,M.a,：,b//a.

又•：bu8,。G£=c,b//c.a//b//c.

7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面。上，旦AB〃CD,则直线瓦1与正方体

的六个面所在的平面相交的平面个数为.

【答案】4

【解析】〃与正方体左、右两侧面均平行.所以与第相交的侧面有4个.

8.在正方体力及力一48K〃中，E,尸分别为棱S的中点，则在空间中与三条直线4几

EF,切都相交的直线有条.

【答案】无数

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【解析】方法一在EF上任意取一点M,直线4田1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个

交点N,M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点M而直线孙与这3条异面直线都

有交点.如图所示.

方法二在/江h上任取一点P,过点P与章戋EF作一个平面a,因CD与平面a不平行，所以它们相交,

设它们交于点Q,连接PO,则PQ与EF必然相交，即P。为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直

线与三条直线AiDx,EF,CD都相交.

9.如图，空间四边形力区力中，E、F、G分别在/从BC、CD上,且满足力£：EB=CF：FB=2：1,

CG：0=3：1,过£、F、G的平面交49于点〃

⑴求/〃：HD-,

(2)求证：EH、FG、初三线共点.

AFCF

【解析】⑴解V—=—=2,C.EF//AC,

DDrD

...厮〃平面/①，而厮U平面皮谢

平面EFGHC平面ACgGH,

：.EF//GH,J.AC//GH.

/”

3

一

物

切

厂

1>1

且3-4-

...加掰.•.四边形明如为梯形.

令EHCFG=P,则户e掰而龙仁平面ABD,

又PGFG,河z平面宽9,

平面ABDH平面BCD=BD,

:.PGBD.：.EH、FG、必三