2024年山东省烟台市招远市中考数学适应性试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年山东省烟台市招远市中考数学适应性试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.16的算术平方根是A.4 B.±4 C.2 D.±22.榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图1所示就是一组榫卯构件.若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是(

)

A. B.

C. D.3.计算3a4⋅5A.8a16 B.8a8 C.4.若tanA=0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是(

)A.

B.

C.

D.5.已知反比例函数y=bx的图象如图所示，则二次函数y=ax2−4x和一次函数A.B.C.D.6.下列命题正确的是(

)A.在圆中，平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧

B.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，则该四边形是矩形

C.位似图形一定是相似图形

D.点C为线段AB的黄金分割点，若AB=2，则AC=7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为(

)A.(0,1)

B.(0,−1)

C.(1,−1)

D.(1,0)8.如图，将边长为a的正六边形铁丝框ABCDEF(其面积记为S1)，变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形(其面积记为s2)，则SA.33B.3C.1 D.9.规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如，函数y1=2x+2与y2=−2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数y=kx2+2(k−2)x+k−8(k≠0)的“A.y=−x2−6x+9 B.y=−x2−6x−910.如图(1)，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC/​/x轴，直线y=2x+4沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b之间的函数关系图象如图(2)所示，那么矩形ABCD的面积为(

)A.10B.15 C.18 D.20二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：4m2n−4mn+n=12.如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC，∠BAD=64°，则∠C的度数为______．13.若−5<a≤4，则关于x的方程x+a=1的解的取值范围是______．14.如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A′BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB=23，AD=7，则原矩形ABCD和▱A′BCD′重叠部分的面积是______．15.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2,a)(a>2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是______．

16.如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段AD′，连接BD′、CD′.若△D′BC是等腰三角形，则α=______．

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

化简并计算：x−3x2−4x+418.(本小题7分)

我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A(旅游管理)、B(信息技术)、C(酒店管理)、D(汽车维修)四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图

根据图中信息解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有______人；扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为______；

(2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；

(3)从选择D(汽车维修)专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．19.(本小题8分)

如图是由边长为1的小正方形构成的7✖7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图.(不写作法，保留痕迹)

(1)图1中，在BC上画一点D，使∠BAD=45°；

(2)图2中，点P、M为格点，在AC上画一点E，使得PE+ME最小，并直接写出AEAC的值．

20.(本小题9分)

夏季来临，金都百货准备购进甲、乙两种空调.已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用20000元购进甲种空调的数量与用15000元购进乙种空调的数量相同．

请解答下列问题：

(1)求甲、乙两种空调每台的进价；

(2)若甲种空调每台售价2600元，乙种空调每台售价1900元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y(元)与甲种空调x(台)之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，若商场计划用不超过37500元购进空调，且甲种空调至少购进10台，请问：甲乙两种空调各购进多少台时，所获得的利润最大？最大利润是多少元？21.(本小题9分)

如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法如下：

1、如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG//AB交BC于点G．

2、以点D为圆心，DG的长为半径画弧，交AB于点E．

3、在EB上截取EF=ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

请结合小明的作法，解决以下问题：

(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

(2)若小明所作的四边形DEFG恰好是正方形，你能求出线段CD的长吗？22.(本小题10分)

某挖掘机的底座高AB=1米，动臂BC=1.2米，CD=1.6米，BC与CD的固定夹角∠BCD=130°.初始位置如图1，其示意图为图2.斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=80°；工作时如图3，其示意图为图4.动臂BC会绕点B转动，当点A、B、C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点．

(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；

(2)斗杆顶点D最高点的位置距地面多少米？(精确到0.1米)

(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

23.(本小题10分)

【初步发现】

如图1，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，与AC、BC相切于点E、F，AD=4，BD=5，求△ABC的面积．

解：设线段CE的长为x，根据切线长定理，得AE=AD=4，BF=BD=5，CF=CE=x，

在RtAABC中，根据勾股定理，

得(x+4)2+(x+5)2=(4+5)2，

整理，得x2+9x=20，

所以S△ABC=12×(x+4)(x+5)=(12x2+9x+20)=20

请同学们想一想，AD×BD=4×a5=20，△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？

【深入探索】

已知：如图2，△ABC的内切圆与AB相切于点D，与AC、BC相切于点E、F，AD=m，BD=n．

(1)若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn；

(2)若AC.BC=2mn，求证：∠C=90°．

【拓展延伸】

已知：△ABC的内切圆与AB、24.(本小题13分)

如图，已知二次函数y=12x2+bx+4的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点(x1,y1)、(x2,y2)，当x1+x2=2时，总有y1=y2.直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接AB、BD、CD．

(1)求b的值；

(2)请求出四边形ABDC的面积；

(3)直线1绕点C逆时针旋转，与直线CA重合时终止运动，在旋转过程中，直线1与线段AB交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段CP的中点．

①过点P

参考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.C

6.C

7.C

8.A

9.D

10.B

11.n(2m−1)12.29°

13.−3≤x<6

14.1115.2+16.30°或60°或150°

17.解：x−3x2−4x+4÷xx−2+1x2−2x

=x−3(x−2)2⋅x−2x+118.(1)200，72°；

(2)60；

补全条形统计图如下：

(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，

∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为212=1619.解：(1)取格点K，连接BK，取BK的中点O，AO并延长交BC于点D，如图1：

点D即为所求；

理由：由图可知，△ABK是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°；

(2)取格点F，连接PF交AC于E，如图：

点E即为所求；

理由：由图可知，四边形AMCF是正方形，

∴直线AC是线段MF的垂直平分线，

∴EM=EF，

∴PE+EM=PE+EF，

∵P，E，F共线，PE+EF=PF，

∴此时PE+EM最小．

以M为原点，MC所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,4)，C(4,0)，P(−1,2)，F(4,4)，

∴直线AC解析式为y=−x+4，直线PF解析式为y=25x+125，

联立y=−x+4y=25x+125，

解得x=87y=20720.解：(1)设乙种空调每台进价为a元，则甲种空调每台进价为(a+500)元，

由题意得：15000a=20000a+500，

解得a=1500，

经检验a=1500是原分式方程的解，

∴a+500=2000(元)，

答：甲种空调每台进价2000元，乙种空调每台进价1500元；

(2)由题意可得，所获利润y(元)与甲种空调x(台)之间的函数关系式是：

y=(2600−2000)x+(1900−1500)(20−x)=200x+8000，

∴所获利润y(元)与甲种空调x(台)之间的函数关系式是y=200x+8000；

(3)由题意可得，2000x+1500(20−x)≤37500，

解得，x≤15，

又∵x≥10，

∴10≤x≤15，

∵200>0，

∴所获利润y随甲种空调数量x的增大而增大

∴当x=15时，y取最大值，此时y=200x+8000=11000(元)，

20−15=5，

答：甲空调购进15台，乙空调购进521.(1)证明：∵DE=DG，EF=DE，

∴DG=EF，

∵DG/​/EF，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵DG=DE，

∴四边形DEFG是菱形．

(2)解：能求出线段CD的长；理由如下：

当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x.如图，

∴DG/​/AB，

∴∠CGD=∠CBA，

∴sin∠CGD=sin∠CBA，

∴CDDG=CAAB，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=32+42=5，

∴CDx=35，

∴CD=35x，

同理可求得：AD=22.解：(1)过点C作CG⊥AM，垂足为G，

∵AB⊥AM，DE⊥AM，

∴AB/​/CG/​/DE，

∵∠CDE=80°，

∴∠DCG=180°−∠CDE=100°，

∵∠BCD=130°，

∴∠BCG=∠BCD−∠DCG=30°，

∵AB//CG，

∴∠ABC=180°−∠BCG=150°，

∴挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数为150°；

(2)过点D作DH⊥AM，垂足为H，过点C作CK⊥DH，垂足为K，

由题意得：AC=KH=AB+BC=1+1.2=2.2(米)，∠ACK=90°，

∵∠BCD=130°，

∴∠DCK=∠BCD−∠ACK=40°，

在Rt△DCK中，CD=1.6米，

∴DK=CD⋅sin40°≈1.6×0.64=1.024(米)，

∴DH=DK+KH=1.024+2.2≈3.2(米)，

∴斗杆顶点D最高点的位置距地面约为3.2米．

23.(1)证明：设线段CE的长为x，

根据切线长定理，得AE=AD=m，BF=BD=n，CF=CE=x，

∵∠C=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2

整理得x2+(m+n)x=mn，

∴S△ABC=12(x+m)(x+n)=12[x2+(m+n)x+mn]，

∴S△ABC=12×(x+m)(x+n)=1z[x2+(m+n)x+mn]=1z[mn+mn]=mn，

∴△ABC的面积为mn；

(2)证明：由(1)可知：AE=AD=m，BF=BD=n，CF=CE=x，

∴AC=m+x，BC=n+x，

∴AC2+BC2=(m+x)2+(n+x)2=m2+2mx+x2+n2+2nx+x2=2x2+2x(m+n)+m2+n2，

∵AC⋅BC=2mn，

∴(m+x)(n+x)=2mn，

∴x24.解：(1)∵当x1+x2=2时，总有y1=y2，

∴此抛物线的对称轴为直线x=1，

∴−b2×(−12)=1，

∴b=1．

(2)如图，连接O