2024新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算第2课时补集练习新人教A版必修第一册

第2课时补集学问点一补集的基本运算1．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁UM＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}答案A解析如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}．2．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝()A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}答案B解析由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．3．若全集U＝{0,1,2,3}，且∁UA＝{2}，则集合A的非空真子集共有________个．答案6解析由题可知A＝{0,1,3}，非空真子集有23－2＝6个．4．已知集合M＝{x∈N|x≤6}，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则∁MB＝________.答案{2,3,5,6}解析由题可知M＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{0,1,4}，所以∁MB＝{2,3,5,6}．学问点二集合交、并、补的综合运算5．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6答案A解析因为A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，所以∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.6．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}答案D解析因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A.则5∉B(否则5∈(A∩B))，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件冲突，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．7．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∪(∁UB)＝()A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,1,2,4,5,6,7,8} D．{0,3,4,5,6}答案C解析∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{0,1,2,4,5,6,7,8}．8．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.答案{7,9}解析依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁UA＝{4,6,7,9,10}，(∁UA)∩B＝{7,9}．9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝________.答案M解析由N∩(∁IM)＝∅知N与∁IM没有公共元素，依据题意画出Venn图，如图所示，可得N⊆M，所以M∪N＝M.10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，eq\a\vs4\al(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．解在数轴上分别表示出全集U及集合A，B，如图所示，则∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}．所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}；A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．11．全集U＝{x|x＜10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.解解法一：依据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．解法二：∵(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}．12．向50名学生调查对A，B两事务的看法，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的eq\f(3,5)，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的eq\f(1,3)多1人，问：对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解如图，50名学生为全体人数，所以赞成A的人数为50×eq\f(3,5)＝30，赞成B的人数为30＋3＝33.设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为eq\f(x,3)＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x，所以由题意得(30－x)＋(33－x)＋x＋eq\f(x,3)＋1＝50，即64－eq\f(2x,3)＝50，x＝21.所以对A，B都赞成的学生有21人，对A，B都不赞成的学生有8人．学问点三依据补集的运算求参数的值或范围13．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁UA＝{1}，则a的值为()A．－1B．2C．－1或2D．0或1答案C解析∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁UA＝{1}，∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.14．已知M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x≤m}，若(∁RM)∩N≠∅，则实数m的取值范围为()A．m<2 B．m≥－2C．m>－1 D．－2≤m≤2答案B解析由题意得∁RM＝{x|－2≤x≤2}，因为(∁RM)∩N≠∅，结合数轴，易得实数m的取值范围为m≥－2.故选B.15．已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|1<x<3}，若集合M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为()A．a＝eq\f(1,2)B．a≤eq\f(1,2)C．a＝－eq\f(1,2)D．a≥eq\f(1,2)答案C解析因为U＝R，所以∁UN＝{x|x≤1或x≥3}，又因为M＝{x|x＋2a≥0}＝{x|x≥－2a}，M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，所以－2a＝1，解得a＝－eq\f(1,2).故选C.16．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.17．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________.答案2解析因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.18．已知全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m的值．解因为∁UA＝{5}，所以5∈U，且5∉A.所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满意∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7∉U，不符合题意，舍去．综上可知，m＝3.19．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．解由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满意B⊆∁RA.②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即－eq\f(1,2)≤a<3.综上可得a≥－eq\f(1,2).易错点遗漏端点致误设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(∁UM)∩N＝________.易错分析本题易产生的错解是在进行集合的交集运算时，遗漏了0这个端点值．由于集合变成了单元素集，所以经常会出现遗漏的状况．答案{x|x≥2或x＝0}正解N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∁UM＝{x|x≤0或x≥2}，则(∁UM)∩N＝{x|x≥2或x＝0}．一、单项选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∪(∁UB)＝()A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}答案A解析∁UB＝{1,5,6}，A∪(∁UB)＝{1,2,5,6}．2．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁RB)等于()A．{x|1＜x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}∪{x|3＜x＜4}答案B解析∵B＝{x|－1≤x≤3}，∴∁RB＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩(∁RB)＝{x|1＜x＜4}∩{x|x＜－1或x＞3}＝{x|3＜x＜4}．3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是()A．－1B．1C．3D．±1答案A解析由A∪(∁UA)＝U，可知A＝{1,3}．又a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.4．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅答案A解析∵∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．∵B＝{1,2}，∴A＝{3}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，且∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．5．已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|0<x≤6}和B＝{x∈Z|－4<x<4}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有()A．5个B．6个C．7个D．无穷多个答案C解析由题可得A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，则A∩B＝{1,2,3}，A∪B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}，依据Venn图知阴影部分的集合为∁A∪B(A∩B)＝{－3，－2，－1,0,4,5,6}，故选C.6．已知集合M＝{x|x－2<0}，N＝{y∈Z|y＝－x2＋4，x∈R}，则(∁RM)∩N的子集有()A．2个B．4个C．8个D．16个答案C解析∵集合M＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，∴∁RM＝{x|x≥2}．又N＝{y∈Z|y＝－x2＋4，x∈R}＝{y∈Z|y≤4}．∴(∁RM)∩N＝{2,3,4}，则集合(∁RM)∩N的子集有23＝8(个)．故选C.7．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠∅.设集合(∁UA)∩(∁UB)有x个元素，则x的取值范围是()A．3≤x≤8，且x∈NB．2≤x≤8，且x∈NC．8≤x≤12，且x∈ND．10≤x≤15，且x∈N答案A解析因为A∩B≠∅，当集合A∩B中仅有一个元素时，集合(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)中有3个元素；当A∩B中有6个元素时，集合(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)中有8个元素，所以得到3≤x≤8且x∈N.故选A.8．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(3,2)))))，N＝{x|x－2>0}，全集U＝R，则下列关于集合M，N的叙述正确的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．(∁UM)∩N＝∅ D．N⊆(∁UM)答案D解析因为M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(3,2)))))，则∁UM＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2)))))，又N＝{x|x>2}，所以M∪N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(3,2)或x>2))))，故解除B；M∩N＝∅，故解除A；(∁UM)∩N＝{x|x>2}，故解除C；易得集合N⊆(∁UM)，故D正确．二、多项选择题9．设A，B，I均为非空集合，且满意A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是()A．(∁IA)∪B＝IB．(∁IA)∪(∁IB)＝IC．A∩(∁IB)＝∅D．(∁IA)∩(∁IB)＝∁IB答案ACD解析令A＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}，检验四个选项可知，A，C，D正确，B错误．故选ACD.10．设U＝{1,2,3,4,5}且AU，BU，A∩B＝{2}．(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是()A．3∈A,4∈B B．2∈A∩BC．2∈A,3∈(∁UB) D．1∈A∪B,5∈A∪B答案ABC解析本题可用Venn图解答，由下图易知A，B，C正确，D错误．故选ABC.11．设A＝{－1,1,2,3}，B＝{x|x2－5x＋p＝0}，M＝{x||x|≤|p－4|}，若∁AB＝{－1,1}，则下列说法正确的是()A．p＝6 B．(∁RA)∩B＝∅C．(∁RM)∩B＝∅ D．A∩M＝{－1,1,2}答案ABD解析∵A＝{－1,1,2,3}，∁AB＝{－1,1}，∴B＝{2,3}，∴将x＝2代入x2－5x＋p＝0，得p＝6，故A正确；∵B⊆A，∴(∁RA)∩B＝∅，故B正确；∵M＝{x||x|≤|6－4|}＝{x|－2≤x≤2}，∴∁RM＝{x|x<－2或x>2}，∴(∁RM)∩B＝3，故C错误；A∩M＝{－1,1,2}，故D正确．故选ABD.12．已知I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}为全集，集合A，B为I的子集，且A∩(∁IB)＝{1,4,7}，(∁IA)∩B＝{2,3}，(∁IA)∩(∁IB)＝{6,8,9,10}，那么集合A的子集可以为()A．{6,7,8,9,10} B．{1,4,7}C．{1,4,5,7} D．{6,8,9}答案BC解析由于集合A，B将全集I划分为四个子集：(∁IA)∩(∁IB)，A∩(∁IB)，(∁IA)∩B，A∩B.所以借助于Venn图，可快速做出推断，依题意填充数字到相应区域，如图，可知A∩B＝5，故A＝{1,4,5,7}，所以A的子集可以为B，C.三、填空题13．已知集合U＝{(x，y)|y＝3(x－1)＋2}，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x－1)＝3))))，则∁UA＝________.答案{(1,2)}解析∵A＝{(x，y)|y＝3(x－1)＋2，x≠1}．又当x＝1时，由y＝3(x－1)＋2得y＝2，∴∁UA＝{(1,2)}．14．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x－1≤2}，B＝{x|x－a≥0，a∈R}，若(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<0}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<1或x>3}，则a＝________.答案1解析如图所示，由(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|x<0}，得A∪B＝{x|x≥0}，由(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{x|x<1或x>3}，得A∩B＝{x|1≤x≤3}，∵A＝{x|－1≤x－1≤2}＝{x|0≤x≤3}，∴B＝{x|x≥a，a∈R}＝{x|x≥1}，∴a＝1.15．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满意(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，则a＝________，b＝________.答案eq\f(8,7)－eq\f(12,7)解析∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0.①又A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0.②联立①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2a＋b＝0，,16＋4a＋12b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,7)，,b＝－\f(12,7).))经检验，符合题意，∴a＝eq\f(8,7)，b＝－eq\f(12,7).16．设集合U＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝1))))，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则(∁UM)∩(∁UN)＝________.答案{(2,3)}解析解法一：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝1))))＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}．因为N＝{(x，y)|y≠x＋1}，如图，集合U为坐标平面内全部的点，M表示直线y＝x＋1上除点(2,3)外的全部点，而N表示坐标平面内除去直线y＝x＋1以外的全部点，所以M∪N表示坐标平面内除点(2,3)外的全部点，所以(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{(2,3)}．解法二：因为M＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，所以∁UM＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}．又因为N＝{(x，y)|y≠x＋1}，所以∁UN＝{(x，y)|y＝x＋1}．所以(∁UM)∩(∁UN)＝{(2,3)}．四、解答题17．已知集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2)))).(1)当a＝1时，求A∪(∁RB)；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤1))))，∁RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或x≥2))))，∴A∪(∁RB)＝{x|x≤1或x≥2}．(2)∵A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)<x≤\f(3－a,2)))))，若A⊆B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥－\f(1,2)，,\f(3－a,2)<2，))解得－1<a≤1，∴a的取值范围是{a|－1<a≤1}．18．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的值．解由已知，得A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0