人教版高中数学全册教案-09-直线、平面、简单几何体-14

三垂线定理(二)

一、素质教育目标

(-)知识教学点

三垂线定理及其逆定理的应用.

(-)能力训练点

1.初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律.

2.善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题.

3.进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力.

(三)德育渗透点

通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：三垂线定理及其逆定理的应用规律.

2.教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问

题的能力的培养是教学的难点.

三、课时安排

本课题共安排2课时，本节课为第二课时.

四、学生活动设计

常规教学，教师课前设计好幻灯片，上课时讲练结合，学生思考并记录关键步骤，个

别学生回答问题.

五、教学步骤

(-)温故知新，引入课题

师：上节课我们学习了三垂线定理及其逆定理，请一个同学来叙述一下定理的内容.

生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条

斜线垂直.

生：在平面内的••条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的

射影垂直.

（学生回答时，教师画出图形，板书如下：）

并指出：a必须在平面a内，但不一定经过点0.

师：从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线和直线垂直的重要命题，在

论证直线和直线垂直的问题中，我们常常用到它们.这节课，我们就来学习它们的应用.

（二）解题训练，提高能力

例1RtZ\ABC在平面a内，ZC=90°,AC=16,P为a外一点，PA=PB

=PC,如果P到BC的距离为17,求点P到平面a的距离.

分析：求点到平面的距离，点到直线的距离，需要先作出这个距离，然后在适当的三

角形中解这个三角形，本题关键的问题是确定点P在平面a内射影0的具体位置和直

角三角形的外心性质.

PAia

a

AOla

aua

PAia

POl.a>=>AOla

aua

解：作POJ_平面a,

,rPA=PB=PC,

OA=OB=OC.

0为RtZXABC的外心.

取BC中点D,连结PD、OD.

则OD是aABC中位线.

:.OD1BC,KOD=|AC=8.

4

P

图1-95

由三垂线定理知PDLBC,即PD=17,在RtaABC中，0P=

M-8a=15.

说明：这个例题通过三垂线定理证明直线与直线垂直，从而得到点到直线的距离，利

用勾股定理解直角三角形是这类问题的常用方法.

教师引导学生看书，并讲解课本例题:

（课本例2）道旁有一条河，彼岸有电塔AB,高15m,只有测角器和皮尺作

测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？

例2如图1-96,在正方体AC1中，

求证:(1)AC11A1D.

(2)AC1_L平面A1BD.

图1-96

分析：本例关键在于引导学生观察图形变化时，如何正确运用三垂线定理.事实上，

要证明AC1_LA1D,满足的射影所在平面是竖直位置的平面DA1,垂线是C1D1,斜

线是AC1,射影是AD1.应当克服思维定势给证题带来的消极影响.

教学时，教师先写出第（1）小题的题目，让学生思考，并画出图形，写出证

法要点，教师作个别指点.然后，让一个学生板演，教师讲评.接着教师再写出

第（2）小题的题目，让全体同学观察、思考.

证明：（1）连结AD1,由正方形可得.

图1-97

VAD11A1D,

C1D1_L平面AD1,

Apu平面ADI

.,.AC11A1D.

(2)由(1)AC1JLA1D,

同理可证：AC11A1B.

A1DCA1B=A1,

.•.AC1L平面A1BD.

例3点P为平面ABC外一点，PA1BC,PC1AB,求证：PB1AC.

证明：过P作PO_L平面ABC于0,连结0A、OB、0C.

POIYEABC'

PA1BCQAOLBC

BCu平面ABC

同理可证OC1AB

OBiAC

POi平面ABCQPB1AC.

ACu平面ABC

例4长方体ABCD-A1B体1D1中,P、0、R分别是AA1、BB1、BC上的点,PQ

〃AB,C1Q1PR.

求证:D1Q±QR.

图1-98

分析:PQ〃AB提供的结论是PQ_L平面BB1C1C,又因为C1Q1PR,在平面BB1C1C

上，利用三垂线逆定理，就可以得到RQLQC1；又因为D1Q在平面BB1C1C上的射

影是QC1,再在这个平面上利用三垂线定理，就可以得到结论.

证明:VPQ/7AB,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,得PQL平面BB1C1C,PR是平

面BB1C1C的斜线，RQ是斜线PR在平面BB1C1C上

的同影.C&iPR，C0u平面BB&1C.

ARQ1QC1.

又•••D1C1L平面BB1C1C,又Q是平面BB1C1C的斜线,QC1是

斜线DiQt平面BBRQ上的刎物LQ1QCPRQC平面BBiCQ.

AD1Q1QR.

说明：本题运用了三垂线定理及其逆定理，探讨了直线与直线垂直关系的转换，图形

中直线位置关系较为复杂，而且射影面也非常规位置，学生可能无法轻易看出，教师应当适

当引导.

（五）归纳小结，强化思想

师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理的一些应用.

六、布置作业

（复习参考题一）8、9.

补充:

1.正三角形ABC的边长为a,ADLBC于D,沿AD把AABC折起，使NBDC

=90°,求折起后点B到AC的距离.

图1-99

解答：作BE_LAC于E,连结DE.

VBD±DC,BD±AD.

平面ADC.

XVBE±AC,

.-.DE±AC.

可解得DE=

(rat-99AD=&DE=^AD.

)

BE=-/—a?,i--.--a

14164

2.Rt^ABC中，M是斜边AB的中点，PMJ_平面ABC,PM=AC=a,求点P到

BC边的距离.

图i-ioo

解答：作PNJLBC于N,则PN就是点P到BC的距离.

：PM_L平面ABC,

.\MN±BC.

XVAC1BC,M是AB的中点,

.•.MbtitAAB（物中位线..'.MN=AAC=，在RtZMU中，PN

44

第

=­a.

3.设P是aABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时