人教版高中数学全册教案-08-圆锥曲线方程-05

双曲线及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导.

（二）能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.

（三）学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线

的定义、标准方程一个比较深刻的认识.

二、教材分析

1.重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.

（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义;

对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.）

2.难点：双曲线的标准方程的推导.

（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.）

3.疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？

（解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，

同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式.）

三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书）

平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭

圆.教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点Fl、F2的距离的和等于常数；

⑶常数2a>|F1F2|.

2.椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）

蕉点在用上的懦胃标I昉程为=蕉点在用I

at>

（二）双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是

怎样的呢？

1.简单实验（边演示、边说明）

如图2-23,定点Fl、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在

按钉上且穿过套管，点M移动时，是常数，这样就画出曲线的一支;

由IMF2HMFl|是同一常数，可以画出另一支.

M

注意：常数要小于IF1F2I,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.

2.设问

问题1：定点Fl、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能.强调“在平面内”.

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大?

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，当点M在双曲线

左支上时,|MFI|<|MF2|.

问题3：点M与定点Fl、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|?

请学生回答，不一定，也可以是IMF21TM不正确表示为I|MF2|-|MF1|

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2]?

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零.当常数=1F1F2|时，轨迹是以Fl、F2为

端点的两条射线；当常数>|F1F2|时，无轨迹.

3.定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F21)的点的轨迹

叫做双曲线.这两个定点Fl、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做

焦距.

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这

时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即

引导学生给出双曲线的方程的推导.

标准方程的推导：

⑴建系设点

取过焦点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

图2-24

建立直角坐标系.

设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2

的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设点M与Fl、F2的距离的差的绝对值等于常

数.

⑵点的集合

由定义可知，双曲线就是集合:

P={MIIMF1|-|MF2||=2a}={M|MFl|-|MF2|=±2a}.

⑶代数方程

小K+G)、十--c)J*ya=±2a.

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

(i+c)14-ya二N4-y14-^-c)J+ya.

化筒得：

2coice

l*---------------

sma—COMB

ana

4----------------

Aaa-cosa

M="l+iAP|co«45*

y=|AP|si114T

*

两边再平方，整理得：

(c2-a2)X2-a2y2=a2(c2-a2)・

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)

由双曲线定义，2c>2a即c>a,所以c2-a2>0.

设c2-a2=b2(b>0),代入上式得:

b2x2-a2y2=a2b2.

*Si

这就是双曲线的标准方程.

两种标准方程的比较（引导学生归纳）:

（D**=IQ。，线侬*Fg

3、马（c,0）,j&lpa=aJ+baj

若$=吟5b>6表示侬旬

-c）.玲（0,0,

教师指出：

⑴双曲线标准方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b；

⑵如果X2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，

那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标

轴上.

⑶双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.

（四）练习与例题

1.求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点Fl（-3,0）、F2（3,0）,且2a=4；

本题由学生先练习再口答，L

4J

2.证明：■国务q=1与K曲线IFT=15K3相同.

由学生演板完成.■喊点耳（4叽耳©,0）,双曲维点F；

（4,叽E；0,0）.

3.已知两点Fl（-5,0）、F2（5,0）,求与它们的距离的差的绝对值是6的点

的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12,其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解:

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.

因此,所求方程蜷书即马-哈=1.

因为2a=12,2c=10,且2a>2c.

所以动点无轨迹.

(五)小结

1.定义：平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于IF1F21)

的点的轨迹.

2.标IftZl程.-b>8.b〉Q).

3.图形(见图2-25)：

4.焦点:Fl(-c,0)、F2(c,0)；Fl(0,-c)、F2(0,c).

5.a^b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2.

五、布置作业

1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：

⑴焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(是,2)；

⑵经过点P(-3,福和Q(6^,-7).融住布上.

2.已知二=1赫承曲线，菸曲联值硒.

3.已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m<0<m+n),求其焦点坐标.

作业答案:

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