2021届高三数学“小题速练”含答案解析16

2021届高三数学“小题速练”16

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知集合M={y|y=-4x+6},P={(x,y)|y=3x+2},则MflP等于()

A.(1,2)B.{1}7{2}C.{(1,2)}D.0

【答案】D

【解析】因为集合M是数集，集合P是点集，两个集合没有公共元素，

所以两个集合的交集为空集.

故选£).

2.设当=1・，则z在复平面内对应的点位于()

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】由题意知z(l—=

故z在复平面内对应的点位于第四象限，

故选D.

3.己知向量。4=(-1,2),03=(3,〃7).若丽1,而，则胆的值为()

33

A.—B.4C.--D.

22

【答案】B

【解析】依题意通=（4,加一2）,由于丽,而，所以（-1,2＞（4,加-2）="4+2加-4=0,解得加=4.

故选B.

4.2炉—六）的展开式中，一项的系数为（）

A.一280B.280

C.-560D.560

【答案】C

【解析】在（2/一g）7的展开式中，通项公式为小尸G23（-1）当，令14-当=4,

求得r=3,可得/项的系数为仁2"（—I）：-560,

故选C.

5.把直线y=^x绕原点逆时针转动，使它与圆/+/+2氐—2y+3=0相切，则直线转动的最小正

角度（）.

■九k兀5TT

A.-B.-C.—D.—

3236

【答案】B

=

【解析】由题意，设切线为ykxy-/小।—1.

・,•左=0或&=一61・&=-V3时转动最小.

一,一八，2万71冗

；・最小正角为-------二一

362

故选B.

6.如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

【答案】A

【解析】因为甲是乙的充要条件，所以乙O甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙

=乙，但乙/丙.

综上，丙二甲，但甲声丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.

故选A.

7.菱形ABCO的边长为2,现将△AC。沿对角线AC折起使平面平面ACB，求此时所成空间

四面体体积的最大值（）

16百5Gr,D百

2794

【答案】A

【解析】设AC的中点为因为力C=D'A，所以力O_LAC，

D

D

又因为平面ACD'_L平面AC8,平面ACD'c平面AC8=AC，所以。0,平面ABC，

八aa

设NABC=NADC=a,ccG(0,TT),在AACf)中，DO=ADcos—=2cos—,由题意可知：

22

DO=DO=2cos—,

2

S.ABC=；x2x2sina=2sina

1n,c4.aS.aa8,af..«Ya7t\_.a

TZ=c22nrlil

v--SAlirxL)O=-sincccos—=—sin—cos—=—sin—1—sin—0<—<一设t=sin—,则

D-ABC34ABe3232232(222)2

%诙=|«一/)，且0«1，

•,.%-板=[(1-3/卜

.•.当0<「〈争寸，喉板〉。，当去<”1时，—，

.•.当/=且时，V取得最大值”且，

327

，四面体。ABC体积的最大值为小叵.

27

故选A.

8.己知函数/(*)耳怆(％—1)|一优［0<0<1)有两个零点为，则有()

A.X|X2<1B.xtx2<x{+x2

C.x,x2=x1+x2D.xtx2>xt+x2

【答案】B

【解析】因为函数/(X)有两个零点，故方程

旭(x—l)|=a*(O<a<l)有两个解%，%2(%!<x,).

设函数g(x)=pg(x-l)|,函数〃(%)=优，则g(x)=|lg(x-l)|与〃(尤)=a"的图象有两个交点,

如图所示:

由图象知，1<%<2<々，所以0cxi-1<1,%—

所以=，炮(&-1)=/2,

因为()<a<l且占<々，所以a*'>a=，得Tg(玉T)>lg(N-1)，

lg[(xi-l)(x2-1)]<0,即0<(为一1)(9-1)<1，

整理得，Xtx2<xt+x2.

故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.对于不同直线机，”和不同平面a,B,有如下四个命题，其中正确的是()

A.若加_La,〃///7,ml.n,则a//用

B.若〃z_La,mHn,nufi,则a_L/7

C.若“_La,〃_L/?,m±a,则〃z_LA

D.若加J_。，mLn,则〃//a

【答案】BC

【解析】选项A.若利」a,n///3,mln,则。与夕可能相交可能平行，故A不正确.

选项B.若mJ_a,〃〃/〃，则“_La,又〃u£,所以。故B正确

选项C.若〃_La,n±j3,则a//£,又加_La,所以根J•尸，故C正确

选项D.若〃?_La,mA-n,则〃//a或〃ua,故D不正确.

故选：BC

10.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于A、3两点，以线段A3为直径

的圆交>轴于M、N两点，设线段A3的中点为P，则（）

A.OAOB=--p2

4

B.若MM•忸司=4p2,则直线A8的斜率为石

C.若抛物线上存在一点£（2,0到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为/=4x

D.若点F到抛物线准线的距离为2,贝UsinNPMN的最小值为:

【答案】ACD

【解析】设A（x，y）,

设直线/：x=，肛，+g与抛物线方程联立

P

x=my+—

222

y-2pmy-p=0,y,+y2=2pm,yxy2=-p,

y2=2px

______y：/3

A.OAOB=xx+yy=-^-^+y=-p~=--P~,

l2]22P2Pyi244

故A正确；

B.根据焦半径公式可知网=%+^,\BF\=X2+^,

|A*即=1+S,+々J=(加X+P)(m%+P)

22

=my}y2+pm(yi+y2)+p

=-nrp2+2p2nrp2=p2(m2+1),

由条件可知，7%2+l=4，解得：〃?=±e，

直线/的斜率左='=±且，故B不正确；

m3

C.由题意可知2+"=3,解得：P=2,

2

则抛物线方程是V=4x,故C正确；

D.由题意可知p=2,所以y+>2=4，〃，

由圆的几何性质可知sinNPMN=-,

r

。是点p到y轴的距离4=三土上，网=西+±+J

222

由分析可知玉=町,x2=my2+y,

2

且X+%=2p〃2,yiy2=~P^

得d=2m2+1,r=2m2+2,

.d2m2+1,1

所以沏/0仰=7=茄壬=1一而旬,

当加2=o时，sin/PMN取得最小值g,

此时直线/：x=l,故D正确.

故选：ACD

11.南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图,

即现在著名的“杨辉三角''.下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列｛〃“｝各项按照上小下大，左小右大的原

则写成的，其中｛«„｝是集合｛2、+2[0<s<:目6"GZ｝中所有的数从小到大排列的数列，即

q=3,。2=5,%=6,4=9,%=1°…下列结论正确的是()

3

56

91012

A.第四行的数是17,18,20,24B.0如=3-2'~

2

C.=2〃+1D.40G=16640

2

【答案】ABD

【解析】利用(SJ)来表示每一项，由题可知：

第一行：3(0,1)

第二行：5(0,2),6(1,2)

第三行：9(0,3),10(1,3),12(2,3)

第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4)

故A正确

。四生表示第n行的第〃项，则％如=2"'+2"=3•2'i,

22

故B正确

则小「2。+2"=1+2"

由“四山+1表示第〃行的第1项,八.----+]

22

故C错

又卬00表示第14行的第9项，所以40G=2'+2"=16640

故D正确

故选：ABD

xe\x<V>

x

12.已知函数/(x)=<e,函数g(x)=^(x),下列选项正确的是()

—r,X21

A.点(0,0)是函数的零点

B.3x,G(0,1),X2G(1,3),使/(%)>/。2)

C.函数/(X)的值域为［—eT,yo)

D.若关于x的方程限(切2-2改(》)=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是

【答案】BC

对于选项A,0是函数/(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误.

对于选项B,当x<l时，­(x)=(x+l)e',可得，

当x<—l时，"X)单调递减；当一1<X<1时，/(X)单调递增；

所以，当0<x<l时，0</(x)<e

当x>l时，=可得，

当l<x<3时，/(x)单调递减；当x>3时，八幻单调递增：

所以，当l<x<3时，e<f(x)〈幺，综上可得，选项B正确.

27

对于选项C,/W=/(-l)=--，选项C正确.

mine

对于选项D,关于x的方程[g(x)『-2ag(x)=()有两个不相等的实数根

O关于x的方程g(x)[g(x)-2〃]=0有两个不相等的实数根

。关于x的方程g(x)-2。=0有一个非零的实数根

o函数y=g(x)与y=2a有一个交点，且无。()

2x

xe\x<1

g(无)=gxzi

X

当xvl时，g!(x)=ex(x2+2x)

当工变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下:

Xx<-2-2—2<x<000<^<1

g(X)+0—0+

g(x)/极大值极小值/

4

极大值g(—2)=^,极小值g(0)=0

e

当xNl时，g，(x)=e'(殍2)

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下:

X1[<x<22x>2

g'(x)—0+

g(x)e极小值/

极小值g(2)=J

4

综上可得，Nv2avJ或2々>e,

e4

(2©2、e

a取值范围是—U(；,+8),D不正确.

le28J2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

n\一1

13.已知复数——(aeR)是实数，复数3+出尸是纯虚数，则实数8的值为

1+1

【答案】±1

_a-l+(a+l)z

【解析】由题得1+z-(l+z)(l-i)-2-

因为复数c^ii——1(aeR)是实数,

1+i

所以a+1=(),;.a=—1.

所以S+ai)2=S—i)2=及-1一2尻,

因为复数S+ai)2纯虚数,

%2_1=0

所以《,:.b=+l.

-2b^0

故答案为：±1

14.(l-x)(l+ax)6(a>0)的展开式中V的系数为9,则"

【答案】1

k

【解析】(1+ax)6(a>0)的通项公式TM=C：(ax)=C*3*，

若第一括号是1,则第二个括号必须是炉相乘,

若第一括号是一％,则第二个括号必须是X相乘,

则炉项系数C；・c『一6。=9,

即5cr—2〃—3=0，得3—1)(5〃+3)=0,

3

得&=1或。=——(舍)，

故答案为：1.

15.已知定义在R上的函数Ax)满足：/(x)=2—/(—x),且函数/(x+1)是偶函数，当xe[T,O]时,

13

【答案】—

【解析】因为函数/(x)满足：,/Xx)=2—/(—x),且函数/(x+1)是偶函数，

所以/(x+l)+/(-x—l)=2,且f(x+l)=/(—x+l),可得/(-x+l)+/(-x-l)=2,即

/(x+l)+/(x-l)-2

所以/(x+2)+/(x)=2…①,/(x+4)+/(x+2)=2…②

②-①，可得/(x+4)