2015局中数学1.2导数的计算练习新人教A版选修2-2

2015局中数学1.2导数的计算练习新人教A版选修2-2

基础巩固强化

一、选择题

1.若函数f(x)=5,则/>'(1)等于()

1

O--

A.B.2

C.D.

1

2

-2

［答案］D

［解析］f'(x)=(F)'=自，

所以f'(1)=」■尸=、，故应选D.

2Xy/l2

2.抛物线尸土/在点⑵1)处的切线方程是()

A.x-y-1=0B.x+y-3=0

C.x—弘+1=0D.x+y—1=0

［答案］A

［解析］.."(x)=%,

:.ff⑵=2^lx=2=l.

・・・切线方程为y—l=x—2.即x—y—l=0.

3.已知F(x)=f,则F'(2)=()

A.0B.39

C.8D.12

［答案］D

2+△x3—23

［解析］f>⑵=1.A——£

AL0Ax

］卜x3+6△x2+12△x//..,,.

=lim----------7------------=lim((Ax)2+6Ax+12)=12,故选D.

ALOZXXAx—0

4.已知f(x)=x",若/1'(-1)=-2,则。的值等于()

A.2B.-2

C.3D.-3

［答案］A

［解析］若a=2,则f(x)=x,

.'.f'(x)—2x,.'.f'(-1)=2X(—1)=—2适合条件.故应选A.

5.一个物体的运动方程为s*)=l-t+V其中s的单位是米，/的单位是秒，那么

物体在3秒末的瞬时速度是()

A.7米/秒B.6米/秒

C.5米/秒I).8米/秒

［答案］C

［解析］y(t)=s'1)=­1+2,，

二/(3)=-1+2X3=5(米/秒)，故选C.

6.(2014•北京东城区联考)曲线片打在x=i处切线的倾斜角为()

O

A.1B.——

4

n5n

c-TD--

［答案］c

［解析］,广=于巴0=1,.,.切线的倾斜角a满足tan。=1,•.，0W,

o

Tl

••0

二、填空题

7.已知①尸/'(x),②尸g(x),③尸方(x)都是路程y关于时间x的函数，且(x)

=1,H(*)=2,〃(x)=3,则运动速度最快的是(填序号).

［答案］③

［解析］由导数的儿何意义知，尸Mx)的瞬时速度为1,尸以X)的瞬时速度为2,y

=从心的瞬时速度为3,且都是匀速运动，故最快的是③.

8.若曲线尸f的某一切线与直线y=12x+6平行，则切点坐标是.

［答案］(2,8)或(-2,-8)

［解析］设切点坐标为(岗，舄)，

因为y'=3f,所以切线的斜率4=3/，又切线与直线尸12x+6平行，所以3点=12,

解得的=±2,故切点为⑵8)或(一2,-8).

9.(2014•枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线尸山"在

点P(a,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的。面积为2,则实数a的值是.

［答案］4

［解析］切线方程为夕―4诟S），

令x=0得，尸乎，

令y=0得，x=—a,

山题意知;•乎•3=2,，<3=4.

乙乙

三、解答题

10.求抛物线尸产上的点到直线X—y—2=0的最短距离.

［解析］平移直线x—y—2=0与抛物线尸V相切，

设切点为尸（刘，㈤，

,.11

yIx-XQ—Z<XQ=1,••Xo=~fK=7

由点到直线的距离公式，得最短距离

.二二7m

=8.

能力拓展提升

一、选择题

3

11.已知物体的运动方程为s=/+7（t是时间，S是位移），则物体在时刻E时的速

度为（）

1917

A.—

4B-T

［答案］D

3313

［解析］Ys'=2L,・・s'|,=2=4--=—,故选D.

12.（2013•山西省太原五中月考）已知曲线尸V—1与曲线尸3—#在户施处的切

线互相垂直，则的的值为（）

-3

C.而D.

3

［答案］D

［解析］由导数的定义容易求得，曲线y=x-l在才=照处切线的斜率k=3石，曲线y

=3—在彳=照处切线的斜率为k?=-Xo,山于两曲线在牙=用处的切线互相垂直，，

甑

3焉•(—Ab)=­1,Q,故选D.

.\X=3

13.曲线尸名上的点以0,0）处的切线方程为（）

A.y=—xB.x=0

C.y=0D.不存在

［答案］B

［解析］•・•尸汨,

Ax

y]x+△x~+y[x_x+△x-+y[~x

.、y_____________________]

,,V3______3____________

yjx+△x2+y/~x~x+Ax+

・・・曲线在点〃（0,0）处切线的斜率不存在,

・・・切线方程为x=0.

14.质点作直线运动的方程是s=S，则质点在方=3时的速度是（）

11

A.----B.----

4轲4加

2狗3折

［答案］A

［解析］

yjt+t+

t+t—t

yjt+t+/yjt+t+y[t

_______________

yjt+△t+yj~t，£+△%+5

•一As11

••1im~~~==，

…QbtAA

2"•2.即

s'(3)=」一,故应选A.

而

二、填空题

15.在曲线尸f+3f+6x—10的切线中，当斜率最小时，切线方程为.

［答案］3x-y-ll=0

［解析］设切点尸(即，乃),则过P(岗，㈤的切线斜率为y'5=施，它是施的函数，

求出其最小值.

设切点为P(加，㈤，过点尸的切线斜率A=y'I》=施=3/+6扬+6=3(刘+1)：'+3.当

加=一1时4有最小值3,此时"的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x—y-ll=0.

16.函数尸f(x〉0)的图象在点(a,就处的切线与x轴的交点的横坐标为&+“其中

AGN*,若a=16,则ai+a+.as的值是.

［答案］21

［解析］=2x,.•.在点(&,给的切线方程为广/=2&(x—a),又该切线与x

轴的交点为⑸+通)，所以a+产%即数列｛8｝是等比数列，首项4=16,其公比T，

・・a?=4,己5=1,.・&+全+左=21.

三、解答题

17.已知曲线C："经过点?(2,-1),求

(1)曲线在点尸处的切线的斜率.

(2)曲线在点？处的切线的方程.

(3)过点0(0,0)的曲线C的切线方程.

［解析］(1)将尸(2,—1)代入—中得力=1,

t—X

.byfx+Ax—fx1—x+"1-x

**AT=

____________1__________

1-X—△X\—X'

by1

/.lim~—=-----2,

ALO△X1—x

•••曲线在点P处切线的斜率为k—yl|A=2=\Q2—1.

(2)曲线在点尸处的切线方程为什1=1义(才-2),即x—p—3=0.

(3)・・•点。(0,0)不在曲线。上，设过点。的曲线。的切线与曲线。相切于点加胸，㈤,

则切线斜率k=-=--^―

XQ1-Ab

山于心=/-,，xo=J,;・切点"(、，2),切线斜率攵=4,切线方程为y—2=4(x—；),

即y=4x.

18.求曲线y=：与尸f在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面.积.

尸士［x=\,

［解析］两曲线方程联立得丁X解得

k\=—R.r=i=-1>儿=2X|E=2,

・••两切线方程为x+y-2=0,2x-y-l=O,所围成的图形如上图所示

•.•两直线与X轴交点分别为(2,0),(1,0).

...S='1X(2一泊.

选修2-2第一章1.21.2.2第1课时

基础巩固强化

一、选择题

1.若曲线尸X’的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，则/的方程为()

A.4x—y—3=0B.x+4y—5=0

C.4x—y+3=0D.x+4y+3=0

［答案］A

［解析］：直线x+4y—8=0的斜率4=-j.♦.直线1的斜率为4,而y'=4总由y'

=4得x=l而彳=1时，y=l,故直线/的方程为：y—1=4(才一1)即4x—y—3=0.

2.已知f(x)=3/+9/+6m-7,若f'(―1)=4,则a的值等于()

［答案］B

［解析］'(x)=3aV+i8x+6,

・••由F'(—1)=4得，3a—18+6=4,即a=学.

O

...选B.

3.(2014,山师附中高二期中)设f(x)=sinx—cosx,则F(x)在处的导数f(~)

=()

A.,\J2B.一^2

C.0D.勺

［答案］A

［解析］'(x)=cos/+sinx,

'.f'(-)=cos—+sin-="\/2,故选A.

4.设曲线产=*+|(〃610在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x“,则

X\,Xi....X"的值为()

［答案］B

［解析］对尸/'(〃CN*)求导得了=(〃+1)/,令%=1得在点(1,1)处的切线的斜

率4=〃+1,在点（1,1）处的切线方程为y—1=（77+I）（x—1）.

令尸0，得

/?十1

r1123n—1n1,.

贝lj为•照....x；="X-X-X---X--------X—故选B.

234nn+1n+1

5.（2014•合肥一六八高二期中）下列函数中，导函数是奇函数的是（）

y=sinx

尸cosx—5

［答案］D

［解析］由尸sinx得了=cosx为偶函数，故A错；又夕=3时，/=6,为非奇非偶

函数，.・・B错；C中尸4nx的定义域x>0,.•<错；D中尸cosx—时，y'=-sinx为奇

函数，，选D.

6.已知物体的运动方程是s=%'-4d+16表示时间，s表示位移），则瞬时速度为

。的时刻是（）

A.0秒、2秒或4秒B.0秒、2秒或16秒

C.2秒、8秒或16秒D.。秒、4秒或8秒

［答案］D

［解析］显然瞬时速度v=s'=?-12t2+32f=dr2-12t+32）,令r=0可得t=

0,4,8.故选D.

二、填空题

7.过曲线y=cosx上点/仔，,且与在这点的切线垂直的直线方程为.

［答案］2*—乎=0

O4

［解析］,.♦y=cosx,y'=—sinx,

曲线在点处的切线斜率是

.♦•所求的直线方程为y-^=-

即2x—等+乎=0.

［点评］在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数/是否为

零，当/=0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在.

8.(2014•杭州质检)若f{x)=/-2x-41nA-,则f'(x)〉0的解集为.

［答案］(2,+8)

4

［解析］山/1(x)=f—2x—41nx,得函数定义域为(0,+°°),且f'(x)=2x—2=

X

2H=2.七3=2.—一口^,尸(x)〉0,解得x>2,故「3>。的

XXX

解集为(2,+8).

4

9.在曲线尸,上求一点只使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135。，则夕点坐标

为.

［答案］(2,1)

［解析］设尸(M，yo)，

y'=亨)’=(4尸)’=-8-，tanl35°=—1,

一8疝'=—1.：.刘=2,H=1.

三、解答题

10.求下列函数的导数:

⑴尸，匠+”；⑵尸

1);

⑶尸sin%cos9⑷尸一丑1+北，

［解析］(1)；尸=f+1+士,

\XXJX

/=3%-

1x11—cosx31

=l--sin2--=l--•——--+-COSX,

•••/y-.siinnA.

4

〃…］+蛆J-W1+F］-F2

•厂］-5l+y［xLxl-x

2+2x4

=------=---2,

1-x\~x

.，（4_41~v_______4

••yJ—I-.YL—

能力拓展提升

一、选择题

11.（2014•长春市期末调研）已知直线尸而是尸Inx的切线，则〃的值为（）

A.—eB.e

11

C.一—D.一

ee

［答案］D

［解析］y'=：=h.・.x=*,切点坐标为61）,

又切点在曲线y=lnx上，lny=l,/.y=e,k=~.

kkQ

12.（2014•山师附中高二期中）直线7=府+1与曲线尸£+数+6相切于点/（1,3）,

则2a+b的值为（）

A.2B.-1

C.1D.—2

［答案］c

［解析］由条件知，点/在直线上，.♦4=2,又点1在曲线上，...a+6+l=3,...a+b

=2.由yuf+ax+Z）得/=3x+a,3+a—k,a——1,/.Z）=3,.>.2a+b=\.

13.若函数f（x）=e'sinx,则此函数图象在点（4,f（4））处的切线的倾斜角为（）

JI

A.-B.0

C.钝角D.锐角

［答案］C

［解析］y'|E=（e'sinx+e'cosx）|.r=4=e'（sin4+cos4）=*e'sin（4+R<0,故倾斜

角为钝角“选C.

14.设%(x)=sinx,/i(x)=%'(x),五(*)=£'(x),…，£+I(A)=£'(x),〃£N,

则&13(才)等于()

A.sinxB.—sinx

C.cosxD.—cosx

［答案］C

［解析］6(x)=sinx,

fi(A)=fof(A)=(sinA)f=cosx,

五(x)=/；'(x)=(cosx)'=-sinx,

=垃'(x)=(-sina'=—cosx,

工(x)=£'｛x)—(—COSA)'=sinx,

・・・4为最小正周期，

/oi3(x)=£(x)=cosx故选C.

二、填空题

15.等比数列｛a｝中,ai=2,a=4,函数-=x(x—&)(x—/)…(x—a),则f(0)

［答案］2,2

［解析］f'（力・=X’•［（X-51）｛x—4）…（%—戊）］+［（X—ai）（X—42）…（才一

a）］'•x

=（%—51）（才―愚）•・•（X—戊）+［（A—ai）（X—/）・•・（X—续）］'.X,

1

所以f（0）=（0—ai）（0—a2）（0—a«）+［（0—&）（0一念）…（0—a）］'•0=国/…a.

因为数列｛4｝为等比数列，所以&&=2a=国&=现a=8,所以'（0）=81=212.

16.（2014•宁夏三市联考）经过点产（2,1）且与曲线/-a）=y-2z+i相切的直线1的

方程是.

［答案］4x—y—7=0或尸1

［解析］设切点为（照，Ab—2Ab+l）,

由左=F'（照）=3总一4而，可得切线方程为

y-（方一2*+1）=（3'一4刘）（x—施）,

代入点户（2,1）解得：蜀=0或照=2.

当照=0时切线方程为y=l；

当加=2时切线方程为4x—y—7=0.

综上得直线/的方程是：4x—y-7=0或尸1.

三、解答题

17.已知两条曲线y=sinx、y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一

点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理山.

［解析］由于尸sinx、尸cosx,设两条曲线的一个公共点为尸(施，㈤,

两条曲线在尸(刘，㈤处的斜率分别为

k\=y'|x=xo=cosxo,k?=y'【x=xo=-sinxo.

若使两条切线互相垂直，必须cosxo•(―sinxo)=—1,

即sinxo,COSAO=1,也就是sin2xo=2,这是不可能的，

.••两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.

18.已知函数/G)=答1的图象在点以一1,f(—1))处的切线的方程为x+2y+5=0,

求函数的解析式.

［分析］/(%)在点〃处切线方程为x+2y+5=0有两层含义，(一)是点."在f(x)的图

象上，且在直线x+2y+5=0上，(二)是/•'(-1)=-1.

［解析］由条件知，—1+2/(-1)+5=0,

；・f(—1)=—2,

."a—6

A1+b2,(1)

又直线x+2y+5=0的斜率A=-1,

—ax+12x+aZ?

.-a—12+abj_

二-1+b2="?⑵

由(1)(2)解得，a=2,b=3.(V6+1^0,・,.力=一1舍去).

2y—6

所求函数解析式为A-V)=7+3-

选修2-2第一章1.21.2.2第2课时

基础巩固强化

一、选择题

1.函数尸(x+l)2(x—1)在X=1处的导数等于()

A.1B.2

C.3D.4

［答案］D

［解析］/=［(矛+1力'(1)+(*+1)2(1)'

=2(x+l)•(x—1)+(x+l)'=3f+2x—1,

A/L-=i=4.

2.（2014•贵州湄潭中学高二期中）曲线Hx）=xlnx在点x=l处的切线方程为（）

A.y=2x+2B.y=2x~2

C.y=x—lD.y=x+l

［答案］C

［解析］'(x)=lnx+l,・・"'(1)=1,

又F(l)=0,，在点x=l处曲线Ax)的切线方程为y=x-l.

3.设函数£（x）=*+ax的导数为/''（x）=2x+l,则数歹”｛六｝（居心的前〃项

和是（）

［答案］A

［解析］,.•/'(X)=x"+a"的导数为f'(x)=2x+l,

m=2,a=l,f(.x)=x-\-x,

f(h)—n+n—n(n+1),

数列1•一｝的前n项和为：

fn

1

nn+1

&

=i-------=------

n+1n+\

故选A.

4.二次函数y=f（x）的图象过原点，且它的导函数尸f.'（x）的图象是过第一、二、

三象限的一条直线，则函数尸f（x）的图象的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］C

［解析］由题意可设Ax）=a*+厩，/（x）=2ax+6,由于尸（"）的图象是过第一、

二、三象限的一条直线，故2a>0,b>0,则/（才）=（x+g~一£，

顶点(一/，-9在第三象限，故选C.

5.函数尸sin2x—cos2x的导数是()

A.B.y'=cos2x-sin2x

C.yf=sin2x+cos2xD.y

［答案］A

［解析］y'=(sin2x—cos2x)'=(sin2x)'—(cos2x)

=2cos2x+2sin2x=2镜cos

6.(2013•烟台质检)已知二次函数Mx)的图象如图所示，则其导函数F'(x)的图象

大致形状是()

［答案］B

［解析］依题意可设f(x)=ax2+c(水0,且c>0),于是f'(x)=2ax,显然f'(x)

的图象为直线，过原点，且斜率2水0,故选B.

二、填空题

7.(2013•天津红桥区高二段测)已知函数F(x)=x•2\当/(方=0时,x=_______.

「答案】七

［解析］f'(x)=2'+x・2=n2=2"(l+xln2),

由F'(x)=0及2">0知，l+xln2=0,・、x=—

In2

8.设函数F(x)=cos(，5x+。)(0Vn)，若f{x}+f1(x)是奇函数，则。=

,JI

［答案］-7-

6

［解析］f，(x)=一■sinG/5x+0),

f\x)+f'(x)=cos(/x+0)—#sin(/x+6)

=2sinQ^x+

若/•(x)+f'(x)为奇函数，则£(0)+f'(0)=0,

(5人、5n

即0=2sin［0+-^->(AEZ).

又0£(0,n),/.

6

9.(2014•江西临川十中期中)已知直线.2x—l与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值

为.

［答案］1ln2

［解析］Vy=ln(^+5),.*./=—J—,设切点为(照，㈤，贝I」为=2痴一1,%=ln(xo

x~va

+a),且-1-=2,解之得a=31n2.

照十a2

三、解答题

10.偶函数Hx)=df+43+cV+公+6的图象过点尸(0,1),且在X=1处的切线方程

为y=x-2,求9=/'(才)的解析式.

［解析］・・・F(x)的图象过点尸(0,1),・・.e=l.

又・・・f(x)为偶函数，・・・〃一x)=f(x).

故axbxexdx~\-e=ax-bxex-dx-\-e.

:・b=0,d=0.f{x)=ax+ex+1.

•・•函数F(x)在x=l处的切线方程为y=x—2,

・•・切点为(L-1).

a+c+1——1.

,:f'(x)|*=i=4a+2c,

A4a+2c=l.

_5__9

.•.a=5,c=~-

5a

，函数y=f{x}的解析式为f(x)=-x—^x+1.

能力拓展提升

一、选择题

IL(2014•新课标H理,8)设曲线尸ax—ln(x+D在点(0,曲处的切线方程为尸2x,

贝I」a=()

A.0B.1

C.2D.3

［答案］D

［解析］本题考查导数的基本运算及导数的儿何意义.

令f(x)=ax—In(x+1),；・f'(x)=a-—-.

x+1

・・・f(0)=0,且f(0)=2.联立解得a=3,故选D.

12.(2013•全国大纲文，10)已知曲线尸父+苏+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为

8,则3=()

A.9B.6

C.—9D.—6

［答案］D

［解析］y'=4f+2ax,/|LT=-4—2d=8,

/.a=-6.

13.已知尸tanx,*e(0,当y'=2时，x等于()

2

B.3n

n

D.

6

cos'x+sin'x1

~=~=2,

cosxcosx

•.”€（0,5），H

・X=

'~4T-

14.(2014•辽宁六校联考)设aGR,函数/U)=e'+a•尸的.导函数尸F'(x)是奇

3

函数，若曲线尸f(x)的一条切线斜率为则切点的横坐标为()

C.In2D.—ln2

［答案］C

［解析］f'(X)=e'-ae'由f'(x)为奇函数，得f'(x)=-f'(―x),即(a

-1)(3+6-