2023届北京市清华大附属中学数学九上期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是．（）A．图象必经过点(3，-2) B．图象位于第二、四象限C．若，则 D．在每一个象限内，随值的增大而增大2．已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（）A．若，函数的最大值是5B．若，当时，y随x的增大而增大C．无论a为何值时，函数图象一定经过点D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点3．若二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：①；②＜0；③；④方程必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．对于反比例函数，下列说法错误的是（）A．它的图像在第一、三象限B．它的函数值随的增大而减小C．点为图像上的任意一点，过点作轴于点．的面积是．D．若点和点在这个函数图像上，则6．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在白色区域的概率等于（）A． B． C． D．无法确定7．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如图，小江同学把三角尺含有角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（）A． B． C． D．9．已知反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是()A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0二、填空题(每小题3分,共24分)11．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为_________．12．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为S12，则S12__S02（填“＞”，“＝”或”＜”）13．从，0，，，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是__________．14．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点，且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A(-3，2)，则__________．15．用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为_____．16．如图，在菱形中，,,点,,分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为__________．17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，，则菱形ABCD的面积是________.18．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．三、解答题(共66分)19．（10分）在锐角三角形中,已知,,的面积为,求的余弦值.20．（6分）如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，BE分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长．21．（6分）（1）计算：；（2）解方程：＝1．22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．24．（8分）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，与相交于点，连接求的度数；求证：四边形是菱形．25．（10分）解方程：（1）x2+4x﹣5=0（2）x（2x+3）=4x+626．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为（0，－1），该抛物线与交于另一点，连接.（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；（2）若点在上，连接，求的面积；（3）一动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿平行于轴方向向上运动，连接，，设运动时间为秒（>0），在点的运动过程中，当为何值时，？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】A．将x=3代入反比例函数，根据所求得的y值即可判断；B．根据反比例函数的k值的正负即可判断；C．结合反比例函数的图象和性质即可判断；D．根据反比例函数的k值的正负即可判断．【详解】解：A．当x=3时，，故函数图象必经过点(3，-2)，A选项正确；B．由反比例函数的系数k=-6＜0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；C．由反比例函数图象可知：当，则，故本选项不正确；D．由反比例函数的系数k=-6＜0，得到反比例函数图象在各自象限y随x的增大而增大，故本选项正确．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大．在做本题的时候可根据k值画出函数的大致图，结合图象进行分析．2、D【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.【详解】当时，，∴当时，函数取得最大值5，故A正确；当时，，∴函数图象开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；当x=1时，，∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3、D【解析】由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，解得：m＜1．故选D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．4、C【详解】观察图象可知，抛物线的对称轴为x=，即，所以2a+3b=0，即①正确；二次函数的图象与x轴有两个交点，所以＞0，②错误；由图象可知，当x=-1时，y＞0，即a-b+c>0，③正确；由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点在0和-1之间，所以方程必有一个根在－1到0之间，④正确．正确的结论有3个，故选C．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5、B【分析】对反比例函数化简得，所以k=＞0，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵k=＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；C、∵k=，根据反比例函数中k的几何意义可得的面积为=，故本选项正确；D、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1=﹣1＜0，x2=﹣＜0，且x1＞x2，∴，故本选项正确．故选：B．【点睛】题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．6、C【分析】根据概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案．【详解】以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，白色区域有4个，因此＝，故选：C．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的求解方法.7、C【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），∵m2+1＞0，∴﹣（m2+1）＜0，∴抛物线的顶点在第三象限，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．8、B【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，∵孔洞的最长边为∴S==故选B.【点睛】此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.9、D【分析】由题意根据反比例函数的性质即可确定的符号，进行计算从而求解．【详解】解：因为反比例函数的图象在二、四象限，所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查反比例函数的性质，注意掌握反比例函数，当k＞0时，反比例函数图象在一、三象限；当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内．10、C【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=61，化简整理得，x2﹣9x+8=1．故选C．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为.故答案为.点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.12、=【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则S12＝S1．故答案为：＝．【点睛】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．13、【分析】由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有：，共2种情况，则可利用概率公式求解．【详解】∵共有5种等可能的结果，无理数有：，共2种情况，∴取到无理数的概率是：．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14、【解析】分别过A点作x轴和y轴的垂线，连接EC，由∠COE=90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径、，由A点坐标及垂径定理可求出OE和OC，解直角三角形即可求得．【详解】解：如图，过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，∵∠COE=90°，∴EC是⊙A的直径，∵A(−3，2)，∴OM=3，ON=2，∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，∴M为OE中点，N为OC中点，∴OE=2OM=6，OC=2ON=4，∴=．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．15、5【解析】试题解析：∵半径为10的半圆的弧长为：×2π×10=10π∴围成的圆锥的底面圆的周长为10π设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=10π解得r=516、【分析】根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点，过点作Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时最小，且最小值为的长，，然后利用锐角三角函数求AE即可．【详解】解：根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点，过点作Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E根据对称性可知：PK=K，∴此时=，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，∴此时最小，且最小值为的长，∵在菱形中，,∴，∠ADE=180°－∠A=60°在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=∴即的最小值为故答案为．【点睛】此题考查的是菱形的性质、求两线段之和的最值问题和锐角三角函数，掌握菱形的性质、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．17、【分析】在Rt△OBC中求出OB的长，再根据菱形的性质求出AC、BD的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC=90°，∵，，∴BC=4cm，∴OB=cm，∴AC=4cm，BD=cm，∴菱形ABCD的面积是：cm2.故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半，菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.也考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用.18、1【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，∴，∴，∴或，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=1；故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．三、解答题(共66分)19、【分析】由三角形面积和边长可求出对应边的高，再由勾股定理求出余弦所需要的边长即可解答．【详解】解：过点点作于点，∵的面积，∴，在中，由勾股定理得，所以【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握余弦的定义（余弦=邻边：斜边）和用面积求高是解题的关键．20、（1）等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）．【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到，，从而得到，然后利用等弧对等角、等角对等边等知识得到，从而证得，判定等腰三角形；（2）成立，证明方法同（1）；（3）首先根据上题得到，从而利用已知条件得到，然后利用勾股定理得到，，从而求得，最后求得【详解】解：（1）结论：△FAG是等腰三角形；理由：如图1，为直径，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形；（2）（1）中的结论成立；为直径，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形；（3）由（2）得：，，，解得：，，，．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出是等腰三角形，是一道难度不大的三角形和圆的结合的题目．21、（2）3；（2）x＝2或-2．【分析】（2）将特殊角的三角函数值代入及利用零指数幂法则计算即可得到结果；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：（2）＝4×-2＋2×2＝2－2＋2＝3；(2）＝2∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解（2）小题题的关键，能正确分解因式是解（2）小题题的关键．22、（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1【分析】（1）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得∠ODB=∠C，进而可得OD∥AC，于是可得OD⊥DE，进一步即可得出结论；（2）连接OF，由切线的性质和已知条件易得四边形ODEF为矩形，从而可得EF=OD=3，在Rt△AOF中根据勾股定理可求出AO的长，进而可得AB的长，即为AC的长，再利用线段的和差即可求出结果．【详解】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）如图，连接OF；∵DE，AF是⊙O的切线，∴OF⊥AC，OD⊥DE，又∵DE⊥AC，∴四边形ODEF为矩形，∴EF=OD=3，在Rt△OFA中，∵AO2=OF2+AF2，∴，∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1．答：CE长度为1．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．23、【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，∴AB＝10，∴AC＝=8，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，∵∠ADE=∠C=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：DE＝．【点睛】本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.24、(1)；(2)见解析.【分析】（1）已知C、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，又因AE // BF，根据平行线的性质可得∠DAB+∠CBA=180°，即可得∠BAC+∠ABD=90°，∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义易证AB=BC，AB=AD，即可得AD=BC，再由AD // BC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形ABCD是菱形．【详解】∵、分别是、的平分线，∴，，∵，∴，∴，∴；证明：∵，∴，，∵、分别是、的平分线，∴，，∴，，∴，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定及性质、菱形的判定，证明四边形ABCD是平行四边形是解决本题的关键.25、（1）x1=-5,x2=1；（2）x1=-1.5,x2=2【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解.【详解】解：（1）x²+4x-5=0因式分解得，(x+5)(x-1)=0则，x+5=0或者x-1=0∴x1=-5,x2=1（2）x(2x+3)=4x+6提公因式得，x(2x+3)