2023届福建省厦门市湖里区湖里实验中学九年级数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是（）A． B． C． D．2．下列事件是必然事件的为（）A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180°C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“义乌新闻”3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（）A． B． C． D．4．下列说法不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形5．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（）A． B． C．10 D．66．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（）A．45° B．60° C．90° D．135°7．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A． B． C． D．8．一个袋内装有标号分别为1、2、3、4的四个球，这些球除颜色外都相同．从袋内随机摸出一个球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回摇匀后，再从中随机摸出一个球，让其标号为这个两位数的个位数字，则这个两位数是偶数的概率为（）A． B． C． D．9．如图，要测量小河两岸相对两点、宽度，可以在小河边的垂线上取一点，则得，，则小河的宽等于()A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，点是曲线上的一个动点，作轴于点，当点的橫坐标逐渐减小时，四边形的面积将会（）A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先减小后增大二、填空题(每小题3分,共24分)11．若分式的值为0，则x的值为_______.12．如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点分别在轴、轴的正半轴,轴,点在函数的图象上.若则的值为_____．13．关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．14．如图,是以点为圆心的圆形纸片的直径，弦于点,.将阴影部分沿着弦翻折压平，翻折后，弧对应的弧为，则点与弧所在圆的位置关系为____________.15．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.17．将抛物线y=﹣2x2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________；18．已知，是方程的两个实根，则______．三、解答题(共66分)19．（10分）在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且．（1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明；（2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；（3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)．20．（6分）已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.(1)如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长.(2)如图②，若∠BMC=n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想.21．（6分）如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（2，4），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式≥k2x+b的解．22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接OD，点E在BC上，BE=DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BC=6，求线段DE的长；（3）若∠B=30°,AB=8,求阴影部分的面积（结果保留）．23．（8分）某公司2016年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到100万元，（1）求该公司11、12两个月营业额的月平均增长率；（2）如果月平均增长率保持不变，据此估计明年1月份月营业额．24．（8分）如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左側补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．25．（10分）已知二次函数.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．26．（10分）如图1，中，，是的中点，平分交于点，在的延长线上且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如图2若四边形是菱形，连接，，与交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）,故选D．【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.2、B【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．【详解】解：A、明天会下雨，是随机事件，不合题意；B、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是必然事件，符合题意；C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；D、打开电视机，正在播放“义乌新闻”，是随机事件，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件，正确掌握相关定义是解题关键．3、B【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°−∠BAD=42°，∴∠DCA=∠ABD=42°故选B4、D【分析】利用正方形的判定方法分别判断得出即可．【详解】A、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意；C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意；D、有一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键．5、C【解析】试题解析：又DE=4，∴EF=6，∴DF=DE+EF=10，故选C.6、C【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角，∴旋转角为90°故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键7、C【解析】试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选C．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．8、A【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是偶数的结果数为8，所以成的两位数是3的倍数的概率．故选：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．9、C【分析】利用∠ABC的正切函数求解即可．【详解】解：∵AC⊥CD，，，∴小河宽AC=BC·tan∠ABC=100tan50°（m）．​故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．10、C【分析】设点P的坐标，表示出四边形OAPB的面积，由反比例函数k是定值，当点P的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB的面积逐渐减小．【详解】点A(0，2)，则OA=2，

设点，则，

，

∵为定值，

∴随着点P的横坐标的逐渐减小时，四边形AONP的面积逐渐减小

故选：C．【点睛】考查反比例函数k的几何意义，用点的坐标表示出四边形的面积是解决问题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：根据题意得：，解得：x=-1．

故答案为：-1.【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．12、4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC的值，根据等面积法求出OA的值，OA和AC分别是点C的横纵坐标，又点C在反比例函数图像上，即可得出答案.【详解】∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2∴BC=2，解得：OA=∴点C的坐标为又点C在反比例函数图像上∴故答案为4.【点睛】本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C的横坐标.13、1．【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，解得：m=1，故答案为1.14、点在圆外【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系.【详解】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，∵，∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,∵,∴，∴，∵OF⊥AC，∴CF=AC,∴,∵，∴,∴,∴,∴点与弧所在圆的位置关系是点在圆外.故答案是：点在圆外.【点睛】本题考查了点和圆位置关系，利用垂径定理进行有关线段的计算，通过构造直角三角形是解题的关键.15、1．【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解．【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝1．故答案为1．【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形的面积．16、1【分析】三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．【详解】解：阴影部分的面积为：1×1÷1---=1-．故答案为1-．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．17、【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键.18、27【分析】根据根与系数的关系，由x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，即可得到答案.【详解】∵x1，x2是方程

x2−5x−1=0

的两根，∴x1+x2=5，x1∙x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=52-2×（-1）=27；故答案为27.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，并正确进行化简计算.三、解答题(共66分)19、（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE．【分析】（1）由两角对应相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证明；（2）成立，证法同（1）；（3）先看PF=PE能得出什么结论，根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PF∙PE=3PF2，因此，因为，可得∠PFB=90°，则∠PBF=30°，由此可得当BD平分∠ABC时，PF=PE．【详解】解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠BPF=60°∴∠BPF=∠EBF=60°，∵∠BFP=∠BFE，∴△BPF∽△EBF；∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，∴△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：如图（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，∴△BPF∽△EBF；∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，∴△BPF∽△BCD．如图（3），同理可证△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．∴PF=PB又∵∠BEF=60°−30°=30°=∠ABP，∴PB=PE．∴PF=PE．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判断是解题的关键．20、（1）60°,5;（2）AM=BM+CM【分析】（1）由旋转性质可得△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质和等边三角形的判定可得△AMN是等边三角形,继而求出∠AMN=60°，根据∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，继而求出∠AMB；AM=MN=MC+CN.（2）【详解】解∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60到△ACN的位置，所以∠NAM=60°，因为AN=AM，所以△AMN是等边三角形,所以∠AMN=60°，因为∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，所以∠AMB=∠BMG-∠AMG=120°-60°=60°，∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△ACN的位置，所以△ABM≌△CAN,所以BM=CN=2，△AMN是等边三角形AM=MN=MC+CN=3+2=5,故答案为60°,5;（2）AM=BM+CM,∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△ACN的位置，所以△ABM≌△CAN,因为AN=AM，所以△AMN是等边三角形,所以∠AMN=60°，因为∠BMC=n°,∠AMN=∠AMC=60°，所以∠MNA=∠MAN，所以MA=MN，所以AM=BM+CM.【点睛】本题主要考的三角形的旋转及等边三角形的应用以及三角形全等性质的使用，解决本题的关键是要熟练掌握旋转性质和全等三角形的性质.21、（1）k1＝8，k1＝1，b＝1；（1）2；（3）x≤﹣4或0＜x≤1．【解析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集．【详解】（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k1x+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，m），∴k1＝1×4＝8，m＝＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣4，﹣1）．将A（1，4）、B（﹣4，﹣1）代入y1＝k1x+b中，，解得：，∴k1＝8，k1＝1，b＝1．（1）当x＝0时，y1＝x+1＝1，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，1），∴S△AOB＝×1×4+×1×1＝2．（3）观察函数图象可知：不等式≥k1x+b的解集为x≤﹣4或0＜x≤1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）根据待定系数法求出函数解析式；（1）利用分割图形法求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．22、（1）详见解析；（2）3；（3）【分析】（1）根据OA=OD，BE=DE，得∠A=∠1，∠B=∠2，根据∠ACB=90°，即可得∠1+∠2=90°，即可得OD⊥DE，从而可证明结论；（2）连接CD，根据现有条件推出CE是⊙O的切线，再结合DE是⊙O的切线，推出DE＝CE又BE=DE，即可得出DE；（3）过O作OG⊥AD，垂足为G，根据已知条件推出AD，AG和OG的值，再根据，即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵OA=OD，BE=DE，∴∠A=∠1，∠B=∠2，∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ODE=180°-(∠1+∠2)=90°，∴OD⊥DE，又OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又AC为⊙O的直径，∴CE是⊙O的切线，又DE是⊙O的切线，∴DE＝CE又BE=DE，∴DE＝CE=BE＝；（3）过O作OG⊥AD，垂足为G，则，∵Rt△ABC中，∠B=30°，AB=8，∴AC=，∠Ａ=60°（又OA=OD)，∴∠COD=120°，△AOD为等边三角形，∴AD=AO=OD=2，∴，∴OG，∴，∴阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，三角函数和等边三角形的性质，掌握知识点是解题关键．23、（1）该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%；（2）1明年1月份月营业额为125万元．【分析】（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，根据该公司10月份及12月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据明年1月份月营业额＝今年12月份营业额×（1+增长率），即可求出结论．【详解】解：（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万元）．答：明年1月份月营业额为125万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准