华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(七)添加辅助线构造全等三角形的六大技巧课件

专项素养综合全练(七)添加辅助线构造全等三角形的六大技巧专项解读在证明几何题目的过程中,常常需要通过全等三角形研

究两条线段(或两个角)的相等关系,有时这样的全等三角形

在问题中并不十分明显,因此,我们通过添加辅助线,构造全

等三角形,进而证明所需的结论.方法一添加公共边1.已知:如图,AB=CD,AD=BC.求证:∠A=∠C.证明连结BD,在△ABD和△CDB中,

∴△ABD≌△CDB(S.S.S.),∴∠A=∠C.2.已知:如图,AB=AD,CB=CD,E、F分别是AB、AD的中点.求

证:CE=CF.

证明连结AC,在△ABC和△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠B=∠D,又∵E、F分别为AB、AD的中点,∴BE=

AB,FD=

AD,∵AB=AD,∴BE=FD,在△BEC和△DFC中,

∴△BEC≌△DFC(S.A.S.),∴CE=CF.方法二倍长中线法3.(新考向·阅读理解试题)课外兴趣小组活动时,老师提出了

如下问题:如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中

线BD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的

解决方法:延长BD至E,使DE=BD,连结CE.利用全等将边AB

转化成CE,在△BCE中利用三角形的三边关系即可求出中线

BD的取值范围,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△CED≌△ABD的理由是

.A.S.S.S.

B.S.A.S.C.A.A.S.

D.H.L.(2)求得BD的取值范围是

.【方法感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长

中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集

合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,在△ABC中,BD是AC边上的中线,分别以AB,BC为

直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角

形BCN,其中AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=90°,连结MN.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.

图1

图2解析

(1)∵BD是AC边上的中线,∴CD=AD,在△CED和△ABD中,

∴△CED≌△ABD(S.A.S.).故答案为B.(2)由(1)知,△CED≌△ABD,∴CE=AB=10,在△BCE中,BC=8,∴10-8<BE<10+8,∴2<BE<18,∵BD=DE,∴BE=2BD,∴2<2BD<18,∴1<BD<9.(3)MN=2BD.理由:如图,延长BD至E,使DE=BD,连结AE,则BE=2BD,同(1)的方法得,△ADE≌△CDB(S.A.S.),∴∠DAE=∠DCB,AE=CB,∵BC=BN,∴AE=BN,∵∠ABM=∠NBC=90°,∴∠MBN+∠ABC=180°,在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠MBN=∠BAC+∠ACB=∠BAC+∠DAE=∠BAE,∵AB=BM,∴△ABE≌△BMN(S.A.S.),∴BE=MN,∴MN=2BD.方法三补形法4.(2023河南南阳宛城期末)如图,已知∠BAC=90°,AB=AC,BD

是∠ABC的平分线,且CE⊥BD交BD的延长线于点E.若CE=2,

则线段BD的长为

.4解析如图,延长CE与BA交于点F,∵∠BAC=90°,CE⊥BE,∴∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,∴∠EBF=∠ACF,在△ABD和△ACF中,

∴△ABD≌△ACF(A.S.A.),∴BD=CF,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠EBC=∠EBF.在△BCE和△BFE中,

∴△BCE≌△BFE(A.S.A.),∴CE=EF,∴CF=2CE,∴BD=CF=2CE=4.方法四平行线法5.如图1和图2,直线MN和线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.(1)如图1,试说明AB⊥BD.(2)如图2,如果AO=BO,试说明AC=BD.

图1图2证明

(1)∵∠1=∠2=45°,∴∠BOD=∠1=45°,∴∠B=180°-45°-45°=90°,∴AB⊥BD.(2)过点B作BE∥AC交MN于E.∴∠A=∠EBO.又∵AO=BO,∠AOC=∠BOE,∴△AOC≌△BOE(A.S.A.),∴AC=BE,∠ACO=∠BEO,又∵∠1+∠ACO=180°,∠BED+∠BEO=180°,∴∠BED=∠1,∵∠1=∠2,∴∠BED=∠2.∴BD=BE,∴AC=BD.方法五截长补短法6.如图所示,AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,

点E在AD上.求证:BC=AB+CD.证明

如图,在BC上取点F,使BF=AB,连结EF.∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.在△ABE和△FBE中,

∴△ABE≌△FBE(S.A.S.),∴∠A=∠BFE,∴∠BFE+∠D=180°.∵∠BFE+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D.在△EFC和△EDC中,

∴△EFC≌△EDC(A.A.S.),∴CF=CD.∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.7.如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.证明如图,在AC上取点F,使AF=AE,连结OF,

∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO,在△AEO与△AFO中,

∴△AEO≌△AFO(S.A.S.),∴∠AOE=∠AOF.∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∴∠ECA+∠DAC=

∠ACB+

∠BAC=

(∠ACB+∠BAC)=

(180°-∠B)=60°,∴∠AOC=180°-(∠ECA+∠DAC)=120°,∴∠DOE=∠AOC=120°,∠AOE=∠COD=∠AOF=60°,∴∠COF=60°,∴∠COD=∠COF,在△FOC与△DOC中,

∴△FOC≌△DOC(A.S.A.),∴DC=FC,∵AC=AF+FC,∴AC=AE+CD.方法六作中线法8.如图所示,△ABC中,AB=BC,D为BC边上的一点,过点D作

DE⊥AB于点E,DF⊥BC,交AC于点F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数.(2)若点F是AC的中点,求证:∠CFD=

∠B.解析

(1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=180°-155°=25°,∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°,∴∠C=90°-25°=65°,∵AB=BC,∴∠A=∠C=65