华东师大版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(八)新定义试题练课件

专项素养巩固训练卷(八)新定义试题(练趋势)1.(2024吉林长春农安期中,7,★☆☆)若规定a⊗b=10a×10b,如2⊗3=102×103=105,

则3⊗4等于

(

)A.12

B.1012

C.710

D.107

类型一定义新运算D解析

∵a⊗b=10a×10b,∴3⊗4=103×104=107,故选D.2.(★★☆)【问题提出】对于任意实数a、b,定义一种新运算“⊕”:a⊕b=(a+1)2+(b+1)2,例如:2⊕3=(2+1)

2+(3+1)2=25.【初步感知】(1)(-2)⊕3=

.【深度探究】(2)我们知道,实数的加法运算和乘法运算都满足交换律,那么实数a、b的这种新

运算“⊕”是否也满足交换律?请说明理由.【拓展运用】(3)若实数a、b满足10a+10b-2ab-23=0,求a⊕b的最小值.新考向项目式学习试题解析

(1)17.(2)实数a、b的这种新运算“⊕”也满足交换律,理由如下:根据题意得,a⊕b=(a+1)2+(b+1)2,b⊕a=(b+1)2+(a+1)2=(a+1)2+(b+1)2,则a⊕b=b⊕a.(3)∵实数a、b满足10a+10b-2ab-23=0,∴2ab=10(a+b)-23,a⊕b=(a+1)2+(b+1)2=a2+2a+1+b2+2b+1=(a2+b2)+2(a+b)+2=(a+b)2+2(a+b)+2-2ab=

(a+b)2+2(a+b)+2-10(a+b)+23=(a+b)2-8(a+b)+16+9=(a+b-4)2+9≥9,当a+b-4=0,即a+b=4时,a⊕b的最小值为9.3.(★☆☆)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍

长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC长为5,则等腰三角形

ABC的周长为

.25类型二定义新概念解析∵等腰△ABC是“倍长三角形”,∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=10,则

△ABC的三边长分别是10、10、5,符合题意,等腰三角形ABC的周长为10+10+5

=25;若BC=2AB=5,则AB=2.5,△ABC的三边长分别是2.5、2.5、5,∵2.5+2.5=5,∴

此时不能构成三角形,这种情况不存在.综上所述,等腰三角形ABC的周长为25.4.(2024河南郑州七中月考,23,★★☆)定义:如图,点M、N把线段AB分割成线段

AM、MN、NB,若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、

N是线段AB的勾股分割点.(1)已知点M、N把线段AB分割成线段AM、MN、NB,若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则

点M、N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,且AM是以AM、MN、NB为边的直角三

角形的一条直角边,若AB=30,AM=5,求BN的长.

解析

(1)点M、N是线段AB的勾股分割点.理由如下:∵AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25,∴AM2+NB2=MN2,∴以线段AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,∴点M、N是线段AB的勾股分割点.(2)设BN=x,则MN=30-AM-BN=25-x.①当MN为最长边时,依题意得MN2=AM2+NB2,即(25-x)2=x2+25,解得x=12;②当BN为最长边时,依题意得BN2=AM2+MN2,即x2=25+(25-x)2,解得x=13.综上所述,BN=12或13.5.(2024吉林长春五十二中期中,24,★★☆)经过三角形的一个顶点及其对边上

一点的直线,若能将此三角形分割成两个等腰三角形,则称这个三角形为“钻石

三角形”,这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”.(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD平分∠ACB,请说明△ABC是“钻石三角

形”.(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=20°,若存在过点C的“钻石分割线”,使△ABC是

“钻石三角形”,求出满足条件的∠B的度数.解析

(1)证明:△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.∵CD平分∠

ACB,∴∠BCD=∠ACD=

∠ACB=36°.∵∠A=∠ACD=36°,∴△ACD是等腰三角形,∠BDC=∠A+∠ACD=72°.∵∠B=72°,∴∠B=∠BDC,∴△BDC是等腰三角形,

∴△ABC是“钻石三角形”.(2)如图1,图1当AD=CD时,∠ACD=∠A=20°,∴∠CDB=40°,∴当CD=BD时,∠B=∠BCD=70°;当CD=BC时,∠B=∠CDB=40°;当BD=BC时,∠B=180°-40°-40°=100°.如图2,图2当AC=AE,CE=BE时,∵∠A=20°,∴∠ACE=∠AEC=80°,∴∠B=∠BCE=

×80°=40°.如图3,图3当AC=CF,CF=BF时,∵∠A=20°,∴∠AFC=∠A=20°,∴∠B=∠BCF=

×20°=10°.综上所述,∠B的度数为70°或40°或100°或10°6.(2024河南信阳罗山期中,22,★★☆)如果一个三角形能

被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的内好线,称

这个三角形为内好三角形.(1)如图1,△ABC是锐角三角形,AB=AC(AB>BC),若∠ABC的平分线BD交AC于点

D,且BD是△ABC的一条内好线,则∠BDC=

度.(2)如图2,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求

证:AE是△ABC的一条内好线.(3)如图3,已知△ABC是内好三角形,且∠A=24°,∠B为钝角,则所有可能的∠B的

度数为

(直接写答案).学科素养推理能力

解析

(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=

∠ABC.∵BD是△ABC的一条内好线,△ABC是锐角三角形,AB>BC,∴△ABD和△

BDC是等腰三角形,且BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C.∵∠BDC=∠A+

∠ABD=2∠A,∴∠ABC=∠ACB=2∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=36°,

∴∠BDC=2∠A=72°.故答案为72.(2)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,∴∠

EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,

即△EAB是等腰三角形,∴AE是△ABC的一条内好线.(3)∠B的度数为108°或117°或144°或148°.[详解]由题意知90°<∠B<180°,设BE是△ABC的一条内好线.①如图1,当AE=BE时,∠A=∠EBA=24°,∴∠CEB=∠A+∠EBA=48°.若BC=BE,则∠C=∠CEB=48°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=108°,若BC=CE,则∠CBE=∠CEB=48°,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=72°<90°(不合题意,舍去).若CE=BE,则∠C=∠CBE=

=66°,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°(不合题意,舍去).②如图2,当AE=AB时,∠ABE=∠AEB=

=78°,∴∠CEB=∠A+∠ABE=102°.∵△CEB是等腰三角形,且∠CEB=102°>90°,∴CE=BE,∴∠C=∠CBE=

=39°,∴∠CBA=∠ABE+∠CBE=117°.③如图3,当AB=BE时,∠A=∠AEB=24°,∴∠ABE=132°,∴∠BEC=156°.∵△CEB是等腰三角形,且∠BEC=156°>90°,∴BE=CE,∴∠C=∠CBE=

=12°,∴∠CBA=∠ABE+∠CBE=144°.设CE是△ABC的一条内好线.如图4.当CE=AE时,∠A=∠ACE=24°,∵△CBE是等腰三角形,且∠B是钝角,∴BC=BE,∴∠BEC=∠BCE=∠A+∠ACE=

48°,∴∠ABC=180°-48°-48°=84°<90°(不合题意,舍去).设AE是△ABC的一条内好线.如图5.∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠CAE,∵△ABE是等腰三角形,且∠B是钝角,∴BE=AB,∴∠BAE=∠AEB=2∠CAE,∵∠BAC=24°=3∠CAE,∴∠CAE=∠C=8°,∴∠BAE=16°,∴∠ABC=180°-8°-24°=148°.综上所述,∠ABC=108°或117°或144°或148°.当CE=AE时,∠C=∠CAE,7.(新独家原创,★★☆)材料阅读:若一个整数能表示成a2-b2(a、b是正整数)的形

式,则称这个数为“平方差数”.例如:因为3=22-12,所以3是“平方差数”;再如:

因为a2+2ab=a2+2ab+b2-b2=(a+b)2-b2(a、b是正整数),所以a2+2ab也是“平方差

数”.(1)请你写出一个大于20且小于30的“平方差数”;判断56是不是“平方差数”.(2)判断多项式x2+4xy-4+4y2(x、y是正整数)是不是“平方差数”,并说明理由.(3)因式分解:-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-n)2.解析

(1)21是“平方差数”(答案不唯一).因为56=4×14=(9-5)×(9+5)=92-52,所以

56是“平方差数”.(2)是,理由如下:∵x2+4xy-4+4y2=(x2+4xy+4y2)-4=(x+2y)2-22,∴x2+4xy-4+4y2是“平方差数”.(3)-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-n)2=(-2mnx2+m2x2+n2x2)-4(m-n)2=x2(-2mn+m2+n2)-4(m-n)2=x

2(m-n)2-4(m-n)2=(m-n)2(x2-4)=(m-n)2(x-2)(x+2).8.(2022福建莆田期末,19,★★☆)“回文”是汉语特有的一种使

用词序回环往复的修辞方法,正着读,倒着读,文字一样,韵味无穷.例如:处处飞花

飞处处,潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像回文联一样的“回文等式”,以下是三个

两位数乘两位数的“回文等式”:21×24=42×12,31×26=62×13,12×84=48×21.(1)下列选项中能构成“回文等式”的是

.(填上所有正确的选项)A.18×31与13×81

B.46×32与63×24C.46×96与69×64

D.22×454与454×22E.31×286与682×13(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律,并用所学数学知识证明.跨学科语文解析

(1)A选项,18×31=558,13×81=1053,558≠1053,故该选项不符合题意;B选项,46×32和63×24不符合回文等式的形式,故该选项不符合题意;C选项,46×96=4416,69×64=4416,故该选项符合题意;D选项,22×454=454×22,故该选项符合题意;E选项,31×286=8866,682×13=8866,故该选项符合题意.故答案为CDE.(2)两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律:两个因数的十位上的数相乘的

积等于个位上的数相乘的积.证明:设“回文等式”左边的两个两位数分别为10a+b,10c+d,其中a、b、c、d为小于10的正整数,依题意得(10a+b)(10c+d)=(10d+c)(10b+a),∴100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10ad+10bc+ac,∴99ac=99bd,∴ac=bd.9.(2024重庆巴南期末,10,★★☆)在对多项式进行因式分解时,有一些多项式用

提公因式法和公式法无法直接分解.将一个多项式重新分组后,再用提公因式法

或公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法.例如:ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+

y)=(a+b)(x+y).下列说法:①因式分解:x2-2xy+y2-1=(x-y+1)(x-y-1);②若a、b、c是△ABC的三边长,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC为等腰三角形;③若a、b、c为实数且满足a2+2b2+c2+28=4a+8b+8c,则以a、b、c为三边长能构

成三角形.其中正确的个数有

(

)A.0

B.1

C.2

D.3类型三定义新方法C解析

①x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)·(x-y-1),故①正确;②∵a2+bc=b2+ac,∴a2+bc-b2-ac=0,∴a2-b2+bc-ac=(a+b)(a-b)-(a-b)c=(a-b)(a+b-c)=0,∵a、b、c为△ABC的三边长,∴

a+b-c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形,故②正确;③∵a2+2b2+c2+28=4a+8b+8c,∴(a2-4a+4)+2(b2-4b+4)+(c2-8c+16)=0,∴(a