高中数学求值域的10种方法

...wd......wd......wd...求函数值域的十种方法一．直接法〔观察法〕：对于一些对比简单的函数，其值域可通过观察得到。例1．求函数的值域。【解析】∵，∴，∴函数的值域为。【练习】1．求以下函数的值域：①；②；③； eq\o\ac(○,4)，。【参考答案】①；②；③；eq\o\ac(○,4)。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例2．求函数〔〕的值域。【解析】。∵，∴，∴，∴，∴。∴函数〔〕的值域为。例3．求函数的值域。【解析】此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：。例4．假设，试求的最大值。【分析与解】此题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值。【练习】2．求以下函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；eq\o\ac(○,5)，；eq\o\ac(○,6)。【参考答案】①；②；③；④；eq\o\ac(○,5)；eq\o\ac(○,6)三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例5．求函数的值域。分析与解：由于此题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。反解得，故函数的值域为。【练习】1．求函数的值域。2．求函数，的值域。【参考答案】1．；。四．别离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用别离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例6：求函数的值域。解：∵，∵，∴，∴函数的值域为。适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式。例7：求函数的值域。分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用别离变量法；那么有。不妨令：从而。注意：在此题中假设出现应排除，因为作为分母.所以故。另解：观察知道此题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。【练习】1．求函数的值域。【参考答案】1．五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数的值域。解：令〔〕，那么，∴。∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。例9：求函数的值域。解：因，即。故可令，∴。∵，，故所求函数的值域为。例10.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令X=，那么有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例11.求函数，的值域。解：令，那么由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。例12.求函数的值域。解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如〔、不同时为零〕的函数的值域，常用此方法求解。例13：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，∵，∴，解得，又，∴∴函数的值域为七、函数的单调性法：确定函数在定义域〔或某个定义域的子集〕上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数的值域。解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，∴函数在定义域上是增函数。∴，∴函数的值域为。例15.求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。〔原理：同增异减〕例16：求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数〔外层函数〕和二次函数〔内层函数〕复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性〔同增异减〕知：。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用等。例17：求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。例18：求函数的值域。解：由解得，∵，∴，∴∴函数的值域为。九、图像法〔数形结合法〕：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19：求函数的值域。解：∵，∴的图像如以以下图，由图像知：函数的值域为例20.求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P〔x〕到定点A〔2〕，间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例21.求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例22.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A〔3，2〕到点P〔x，0〕的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：〔1〕当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，那么构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：〔2〕当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：例23、：求函数的值域.分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点〔2，3〕到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：点评：此题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例24．求函数的值域。分析与解答：令，，那么，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为十：不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例25.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例26.求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：＊十一、多种方法综合运用：例27.求函数的值域。解：令，那么〔1〕当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以〔2〕当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元