3.3.1空间向量基本定理（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

3.3.1空间向量基本定理共线向量:零向量与任意向量共线.

1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使温故知新aPBOP=(1-t)OA+tOB.(2)说明:

(1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.

若P为A,B中点,则OP=(OA+OB)(3)3.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP=OA+t.(1)其中向量叫做直线l的方向向量.(3)是线段AB的中点公式3.1空间向量的基本定理共面向量αaOA(2)共面向量:平行于同一平面的向量

思考:空间任意两个向量是否一定共面空间任意三个向量哪ABCD(1).已知平面α与向量,如果向量所在的直线OA平行于平面α或向量在平面α内,那么我们就说向量平行于平面α,记作//α.MaAbBA'(3)共面向量定理:推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使pPMP=xMA+yMB或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB.如果两个向量

不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y，使平面向量的基本定理如果，是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数t1，t2使OCMN对向量a进行分解：空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使ABDCO思路：作E新课一、空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使

p＝xa+yb+zc．

OPP’AA’BB’C’C证明:存在性设a、b、c不共面，

过点=a,=b,

=c,

=p;

过点作直线平行于交平面于点在平面内，

过点作直线

存在三个实数使a,b,c.作∴所以p＝xa+yb+zc.唯一性：

设另有一组实数x’、y’、z’，

使得p＝x’a+y’b+z’c，则有

xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)

a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y’且z＝z’．故实数x、y、z是唯一的．OPP’AA’BB’C’C说明：

①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）

③一组基是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量．空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一组基，

a、b、c都叫做基向量．

几个基本概念：巩固提升共线共面推论:推论:设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使

说明：

若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．

例1：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底