2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章　§2.6　二次函数与幂函数含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章§2.6二次函数与幂函数含答案§2.6二次函数与幂函数课标要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝是幂函数．(×)(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(√)(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(×)2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2eq\r(2))，则f(9)的值为()A．2B．3C．4D．9答案B解析设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2eq\r(2))，故f(8)＝8a＝2eq\r(2)，故a＝eq\f(1,2)，f(x)＝，f(9)＝eq\r(9)＝3.3．(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为()A．(2,10) B．[1,2)C．[2,10] D．[1,10)答案D解析当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10)．4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，4]解析由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，可得－eq\f(2a－1,2)≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].题型一幂函数的图象与性质例1(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B解析根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝eq\f(1,2)；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq\f(1,2)，C4的n＝－2.(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，当n＝1时，f(x)＝x－1＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增．所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件．思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)幂函数y＝(0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为()A．0B．2C．3D．2或3答案D解析当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增．(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y＝(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则()A．m，n是奇数，且eq\f(m,n)<1B．m是偶数，n是奇数，且eq\f(m,n)<1C．m是偶数，n是奇数，且eq\f(m,n)>1D．m，n是奇数，且eq\f(m,n)>1答案B解析由幂函数性质可知，y＝与y＝x的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，当0<x<1时，>x，则eq\f(m,n)<1；又y＝的图象关于y轴对称，∴y＝为偶函数，∴＝eq\r(n,－xm)＝＝eq\r(n,xm)，又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．题型二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2)，所以m＝eq\f(1,2).又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.因为f(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即eq\f(4a－2a－1－－a2,4a)＝8.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝x2－4x＋3解析依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝eq\f(3,a)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－eq\f(6,a)，所以16－eq\f(6,a)＝10，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三二次函数的图象与性质命题点1二次函数的图象例3(多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0答案ACD解析由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，故b>0.又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.命题点2二次函数的单调性与最值例4(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．解(1)由题意知a≠0.当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝eq\f(1,2a)，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足eq\f(1,2a)≥2，又a>0，所以0<a≤eq\f(1,4)；当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝eq\f(1,2a)<0，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立．综上，a的取值范围是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).(2)①当0<eq\f(1,2a)≤1，即a≥eq\f(1,2)时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1<eq\f(1,2a)<2，即eq\f(1,4)<a<eq\f(1,2)时，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上单调递减，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，2))上单调递增，此时g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝2a－eq\f(1,4a)－1.③当eq\f(1,2a)≥2，即0<a≤eq\f(1,4)时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.综上所述，g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a－3，a∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，,2a－\f(1,4a)－1，a∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，,3a－2，a∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).))二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”．(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”．典例(1)已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于()A．－4B.eq\f(1,6)C．2D.eq\f(13,6)答案A解析因为f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x＝－eq\f(1,2)(x—1)2＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，依题意3b≤eq\f(1,2)，所以b≤eq\f(1,6)，所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝3a，,fb＝3b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2＋a＝3a，,－\f(1,2)b2＋b＝3b，))所以a，b为方程eq\f(1,2)x2＋2x＝0的两根，所以a＋b＝－eq\f(2,\f(1,2))＝－4.(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值()A．与a无关，与b有关B．与a有关，与b无关C．与a有关，且与b有关D．与a无关，且与b无关答案A解析函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，若0≤b≤eq\f(1,2)，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，若b>eq\f(1,2)，则f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关．思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是()A．α<m<n<β B．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案C解析y＝(x－m)(x－n)＋2023(m<n)为二次函数，图象开口向上，因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根，故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)＝f(n)＝2023，画出大致图象如图所示，显然m<α<β<n.(2)(2023·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2,4]．课时精练一、单项选择题1．(2023·唐山模拟)若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是()A．－2B．2C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)答案D解析当α＝－2时，f(x)＝x－2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意；当α＝2时，f(x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意；当α＝eq\f(1,2)时，f(x)＝，x∈[0，＋∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意；当α＝eq\f(1,3)时，f(x)＝，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意．2．(2023·保定模拟)已知，则()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析由题意得，<4<5＝＝c，所以b<a<c.3．(2023·成都模拟)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是单调函数，则k的取值范围是()A．[32,40]B．(－∞，32]∪[40，＋∞)C．(－∞，32]D．[40，＋∞)答案B解析因为f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为直线x＝eq\f(k,8)，且其图象开口向上，所以eq\f(k,8)≤4或eq\f(k,8)≥5，解得k≤32或k≥40，所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞)．4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为()答案B解析对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．5．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是()A．(0,1] B．[1,3]C．(0,2] D．[1,2]答案D解析f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示，由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5,6]，由图可知，m的取值范围是[1,2]．6．(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成立的是()A．f(m＋1)>0 B．f(m＋2)>0C．f(m－1)<0 D．f(m－2)<0答案B解析函数f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．f(m)＝m2－2m＋a<0，故m2－2m<－a<0，解得0<m<2.m＋2∈(2,4)，f(m＋2)>f(2)＝a>0，B正确；m－2∈(－2,0)，f(m－2)>f(0)＝a>0，D错误；取a＝eq\f(19,100)，m＝eq\f(1,5)，f(m)＝－eq\f(17,100)<0，满足条件，f(m＋1)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))＝－eq\f(77,100)<0，A错误；f(m－1)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝eq\f(243,100)>0，C错误．二、多项选择题7．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案AB解析A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意．8．下列说法正确的是()A．若幂函数的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))，则其解析式为y＝B．若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)D．若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm的图象关于y轴对称，则f(－a2＋2a－5)>f(3)答案CD解析A选项，设f(x)＝xα，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))代入得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))α＝2，即(2－3)α＝2，解得α＝－eq\f(1,3)，故解析式为y＝f(x)＝，A错误；B选项，因为－eq\f(4,5)<0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故f(x)＝为偶函数，故f(x)＝在(－∞，0)上单调递增，B错误；C选项，因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)，C正确；D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称，当m＝－1时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去，其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确．三、填空题9．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________.答案211解析由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,4m＋3>0，))解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.10．已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为____________________．答案y＝eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)解析因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为eq\f(－12a2－4a2,4a)＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±eq\f(1,2)，所以二次函数的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，则n－m的最大值为________．答案4解析由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1.由函数f(x)＝x2＋ax＋b，得－eq\f(a,2)＝1，a＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋b.因为f(x)的值域为[2，＋∞)，所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，故f(x)＝x2－2x＋3.若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.所以m最小为－1，n最大为3，则n－m的最大值为4.12．(2023·乐山模拟)幂函数y＝xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ＝________.答案1解析因为A(1,0)，B(0,1)，BM＝MN＝NA，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，不妨设y＝xα，y＝xβ分别过Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，则eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))α，eq\f(1,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))β，则eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))β))α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))αβ，所以αβ＝1.四、解答题13．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减．(1)求m的值；(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围．解(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2，则m＝－3.(2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数．由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，则2a－1<a＋3，解得a<4，即a的取值范围为(－∞，4)．14．(2024·巴中模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(0,0)，(5,0)，且最小值为－eq\f(25,2).(1)求函数的解析式；(2)当t≤x≤t＋1时，该函数的最小值为－12，求此时t的值．解(1)由题意设函数的解析式为y＝ax(x－5)(a>0)，由已知可得二次函数图象的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(25,2)))，代入得－eq\f(25,2)＝a×eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))，解得a＝2，所以二次函数的解析式为y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x.(2)由(1)知y＝2x2－10x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2－eq\f(25,2)，其图象开口向上，对称轴为直线x＝eq\f(5,2)，当t＋1≤eq\f(5,2)，即t≤eq\f(3,2)时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t＋1时，y＝2x2－10x取得最小值，所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1或t＝2(舍去)，所以t＝1；当t<eq\f(5,2)<t＋1，即eq\f(3,2)<t<eq\f(5,2)时，y＝2x2－10x在x＝eq\f(5,2)时取得最小值－eq\f(25,2)，不满足题意；当t≥eq\f(5,2)时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，y＝2x2－10x取得最小值，所以2t2－10t＝－12，解得t＝3或t＝2(舍去)．综上所述，t的值为1或3.15．设函数f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0答案B解析令f(x)＝g(x)，可得eq\f(1,x2)＝ax＋b.设F(x)＝eq\f(1,x2)，G(x)＝ax＋b，根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b的图象只有两个交点，不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时(如图1)，G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝eq\f(1,x2)>eq\f(1,－x1)＝－y1，∴y1＋y2>0，同理可得，当a<0时(如图2)，x1＋x2>0，y1＋y2<0.16．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有()A．存在实数k，使得方程无实根B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根答案AB解析设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；当k<1时，方程(*)有两个实根t1，t2(t1<t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1<－1，t2>－1.因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根．综上可知，A，B项正确，C，D项错误．§2.5函数性质的综合应用重点解读函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．题型一函数的奇偶性与单调性例1(2023·长春模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)答案C解析对于函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，令|x|－1>0，解得x>1或x<－1，所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，又f(－x)＝lg(|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当x>1时，f(x)＝lg(x－1)＋2x＋2－x，则y＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，令g(x)＝2x＋2－x，x∈(1，＋∞)，所以g′(x)＝2xln2－2－xln2＝(2x－2－x)ln2>0，所以g(x)＝2x＋2－x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而得到f(x)在(－∞，－1)上单调递减，则不等式f(x＋1)<f(2x)等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x|>|x＋1|，,|x＋1|>1，,|2x|>1，))解得x>1或x<－2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．思维升华(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．跟踪训练1(2024·扬州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，f(2)＝0，则不等式f(x－1)f(x)<0的解集是()A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－2，－1)∪(2,3)答案D解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(－2)＝f(2)＝0，当－2<x<2时，f(x)<0，当x<－2或x>2时，f(x)>0，若f(x－1)f(x)<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－1<0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－1>0，,fx<0.))当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－1<0，,fx>0))时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x－1<2，,x>2或x<－2，))解得2<x<3；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－1>0，,fx<0))时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>2或x－1<－2，,－2<x<2，))解得－2<x<－1.综上，不等式的解集为(－2，－1)∪(2,3)．题型二函数的奇偶性与周期性例2(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，f(0)＝－2，且f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))为奇函数，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)是一个周期为3的周期函数D．f(2025)＝－2答案BCD解析函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误；定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，变形可得f(x)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，而f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))为奇函数，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(3,4)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，则f(－x)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确；已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即f(x)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，则有f(x＋3)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；f(x)是偶函数且周期为3，则f(2025)＝f(0)＝－2，故D正确．思维升华周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．跟踪训练2已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2，②f(x－2)为奇函数，③当x∈[0,1)时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(x1≠x2)恒成立．则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))，f(4)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))的大小关系为()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))B．f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)答案C解析因为f(x－2)为奇函数，f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数，因为当x∈[0,1)时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，所以f(x)在(－1,1)上单调递增，因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)＋2×4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－2×3))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>f(0)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2))).题型三函数的奇偶性与对称性例3(2023·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1,0)成中心对称的是()A．y＝(x－1)f(x－1)B．y＝(x＋1)f(x＋1)C．y＝xf(x)＋1D．y＝xf(x)－1答案B解析构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点．对于A选项，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1,0)；对于B选项，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)；对于C选项，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0,1)；对于D选项，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1)．思维升华由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．跟踪训练3若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B．函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称C．在区间(2,3)上，f(x)单调递减D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))答案C解析f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，∵f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A，B错误；根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调递增，∵f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2,0)中心对称，则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确；又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，故D错误．题型四函数的周期性与对称性例4(多选)(2024·昆明模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2,0)对称，则下列结论正确的是()A．f(0)＝f(2)B．f(x)的最小正周期T＝2C．f(x)在(1,2]上单调递减D．f(2021)>f(2022)>f(2023)答案AC解析由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，所以f(0)＝f(2)，故A正确；由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)，又图象关于点(2,0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误；因为f(x)在(－1,0]上单调递增，且T＝4，所以f(x)在(3,4]上单调递增，又图象关于点(2,0)对称，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确；根据f(x)的周期为4，可得f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(2)，f(2023)＝f(－1)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0,1)上单调递增，在(－1,0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立，故D错误．思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．跟踪训练4(多选)(2023·盐城模拟)已知非常数函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有()A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称B．g(2023)＝0C．g(x)的最小正周期为4D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)答案ABD解析因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x＝1为对称轴，所以直线x＝－1也是对称轴，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为4的周期函数，则g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B正确；但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误．课时精练一、单项选择题1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2023.5)等于()A．－0.75 B．－0.25C．0.25 D．0.75答案D解析由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期，故f(2023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75.2．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则函数f(x)()A．在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减B．在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增C．在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减D．在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增答案B解析∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴f(x)在区间[0,1]上单调递增，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是周期为2的函数，∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增．3．(2023·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1,1)上单调递增，则()A．f(－5.3)<f(5.5)<f(2)B．f(－5.3)<f(2)<f(5.5)C．f(2)<f(－5.3)<f(5.5)D．f(5.5)<f(2)<f(－5.3)答案B解析根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，则有f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，易得f(x)的对称轴为直线x＝1，因为f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f(x)在(1,3)上单调递减，f(5.5)＝f(1.5)，f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)，因为1<1.5<2<2.7<3，所以f(1.5)>f(2)>f(2.7)，即f(－5.3)<f(2)<f(5.5)．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2,4)时，f(x)＝＋m，若eq\f(f2025－1,2)＝f(－1)，则m等于()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)答案C解析因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)，故函数f(x)的周期为4，则f(2025)＝f(1)，而f(－1)＝－f(1)，所以由eq\f(f2025－1,2)＝f(－1)可得f(1)＝eq\f(1,3)，而f(1)＝－f(3)＝＝eq\f(1,3)，解得m＝－eq\f(4,3).5．已知函数f(x)＝2x＋2－x，则下列函数的图象关于直线x＝1对称的是()A．f(x－1)＋coseq\f(π,2)x B．f(x＋1)＋sineq\f(π,2)xC．f(x－1)＋sineq\f(π,2)x D．f(x＋1)＋coseq\f(π,2)x答案C解析因为函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，故函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象为函数f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝sineq\f(π,2)x的图象关于直线x＝1对称，因此函数f(x－1)＋sineq\f(π,2)x的图象关于直线x＝1对称．6．(2024·济宁检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若∀a，b∈[0，＋∞)，且a≠b，都有eq\f(afa－bfb,a－b)<0成立，则不等式f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))－(2t2－t)f(2t－1)>0的解集为()A．(－1,0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)答案D解析令g(x)＝xf(x)，由题意知g(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为R上的奇函数，所以g(x)在R上单调递减，①当t>0时，原不等式等价于eq\f(1,t)

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))>(2t－1)f(2t－1)，即geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))>g(2t－1)，所以eq\f(1,t)<2t－1，所以1<2t2－t，解得t>1；②当t<0时，原不等式等价于eq\f(1,t)

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))<(2t－1)f(2t－1)，即geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))<g(2t－1)，所以eq\f(1,t)>2t－1，所以1<2t2－t，解得t<－eq\f(1,2).所以t<－eq\f(1,2)或t>1.二、多项选择题7．(2023·揭阳模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)成立，当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－1，给出下列结论，其中正确的是()A．f(2)＝0B．点(4,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心C．函数f(x)在[－6，－2]上单调递增D．函数f(x)在[－6,6]上有3个零点答案AB解析因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为