2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章　必刷小题2　函数的概念与性质含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章必刷小题2函数的概念与性质必刷小题2函数的概念与性质一、单项选择题1．(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝eq\r(2－x2)}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于()A．{x|－3≤x≤－eq\r(2)}B．{x|－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)}C．{x|eq\r(2)≤x≤4}D．{x|－3≤x≤4}答案B解析因为A＝{x|y＝eq\r(2－x2)}＝{x|－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)}，B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}，所以A∩B＝{x|－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)}．2．(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－1D．1答案C解析f(x)的定义域是R，由题意得f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，故f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，即f(x)是奇函数．3．已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)))＝x＋1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝eq\f(1,x＋2)(x≠－2)B．f(x)＝eq\f(1＋x,x)(x≠0)C．f(x)＝eq\f(1,x)＋2(x≠0)D．f(x)＝eq\f(1,x)－1(x≠0)答案C解析令eq\f(1,x－1)＝t，即x＝eq\f(1,t)＋1，则f(t)＝eq\f(1,t)＋1＋1＝eq\f(1,t)＋2，由x－1≠0，得t≠0，故f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(1,x)＋2(x≠0)．4．(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝21－x B．y＝22－xC．y＝21＋x D．y＝22＋x答案B解析设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x.5．(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()A．f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1) B．f(x)＝xsinxC．f(x)＝x－eq\f(1,x) D．f(x)＝ex－e－x答案D解析对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1)为非奇非偶函数，故A不符合题意；对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝－x－eq\f(1,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在定义域内不是单调函数，故C不符合题意；对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意．6．已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(eq\r(2))，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a答案D解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))＝f(－log23)＝f(log23)，因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为2>log23>log2eq\r(8)＝eq\f(3,2)>eq\r(2)，log310>log39＝2，所以eq\r(2)<log23<log310，所以f(eq\r(2))>f(log23)>f(log310)，即c<b<a.7．(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2023)等于()A．1B．－1C．2D．－3答案B解析因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0，所以f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的一个周期为4，所以f(2023)＝f(3)＝－f(1)＝－1.8．(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案C解析令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]．因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数．因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)恒成立，即x1f(x1)－xeq\o\al(2,1)>x2f(x2)－xeq\o\al(2,2)恒成立，即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增．又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)<g(a－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a≤3，,－3≤a－3≤3，,|a|>|a－3|，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a≤3，,0≤a≤6，,a2>a－32，))解得eq\f(3,2)<a≤3，故满足不等式的a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).二、多项选择题9．(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是()A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝eq\f(2,ex＋1)－1C．f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))D．f(x)＝ln(sinx)答案ABC解析由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；由f(x)＝eq\f(2,ex＋1)－1＝eq\f(1－ex,ex＋1)可得，f(－x)＝eq\f(1－e－x,e－x＋1)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；由f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))可得，f(－x)＝ln(－x＋eq\r(x2＋1))＝lneq\f(1,x＋\r(x2＋1))＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；由f(x)＝ln(sinx)知，sinx>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误．10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则()A．f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(x)在[0,1]上单调递增C．f(x)在[1,2]上单调递减D．f(2)＝f(0)答案AD解析因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误；由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确．11．(2023·泰安模拟)关于函数f(x)＝eq\f(3x＋2,x－1)，下列说法正确的是()A．f(x)有且仅有一个零点B．f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减C．f(x)的定义域为{x|x≠1}D．f(x)的图象关于点(1,0)对称答案ABC解析令f(x)＝0，即eq\f(3x＋2,x－1)＝0，解得x＝－eq\f(2,3)，所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确；函数f(x)＝eq\f(3x＋2,x－1)＝3＋eq\f(5,x－1)(x≠1)，因为y＝eq\f(5,x－1)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确；函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确；因为函数y＝eq\f(5,x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数f(x)＝3＋eq\f(5,x－1)的图象关于点(1,3)对称，故D错误．12．(2023·福建联考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是()A．2是f(x)的一个周期B．f(4)＝0C．f(3)＝f(－5)D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝0答案BCD解析f(2x＋1)的最小正周期为2，则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，所以f(x)的最小正周期为4，故A错误；因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.又4是f(x)的一个周期，所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确；f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确；f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，又f(x)是定义域为R的奇函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝0，故D正确．三、填空题13．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－x2，0≤x≤6，,fx－6，x>6，))则f(10)＝________.答案0解析由已知得f(10)＝f(10－6)＝f(4)＝24－42＝16－16＝0.14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是__________________．答案f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一)解析根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；若f(x)＝－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≥0，,x，x<0，))则此时函数的定义域为R，根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.15．已知函数f(x)＝|lnx－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．答案1解析由题意得lnx∈[0,2]，当a≥2时，f(x)＝2a－lnx在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝eq\f(3,2)<2，不符合题意；当0<a<2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－lnx，x∈[1，ea，,lnx，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．故a的值为1.16．(2024·合肥模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则eq\i\su(i＝1,2023,f)(i)＝________.答案－2025解析因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)．因为f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)＋f(x＋2)＝－2，从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，得f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的一个周期为4.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1；令x＝1，则f(1)＋f(－3)＝f(1)＋f(3)＝－2，得f(3)＝－1；令x＝0，则f(0)＋f(－2)＝f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，f(4)＝f(0)＝1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4，故eq\i\su(i＝1,2023,f)(i)＝505×(－4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2025.§2.13函数模型的应用课标要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随α值的变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(×)(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度．(√)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(×)2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x答案D解析根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快．3．(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：x23456y1.402.565.311121.30则体现这组数据的最佳函数模型是()A．y＝ B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,3)·2x D．y＝eq\f(1,2)x2答案C解析通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确．4．(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为()A．26米 B．28米C．31米 D．33米答案C解析h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq\f(125,4)，h(t)max＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(125,4)≈31.题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒答案ABC解析从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝a＋logbx D．y＝a＋eq\f(b,x)答案B解析由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是()答案A解析当点P在AB上时，y＝eq\f(1,2)×x×1＝eq\f(1,2)x,0≤x≤1；当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)，1<x≤2；当点P在CM上时，y＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－x))×1＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4)，2<x≤eq\f(5,2).综上，y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，0≤x≤1，,－\f(1,4)x＋\f(3,4)，1<x≤2，,－\f(1,2)x＋\f(5,4)，2<x≤\f(5,2).))函数图象大致如A选项所示．题型二已知函数模型的实际问题例2(1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的()A．6倍 B．102倍C．103倍 D．106倍答案C解析设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2，则lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，eq\f(E1,E2)＝eq\f(1016.8,1013.8)＝103.(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A．32天 B．33天C．34天 D．35天答案C解析依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05，即6.05＝＋0.05，解得λ＝6，所以μ(t)＝＋0.05，由μ(t)＝＋0.05≤0.1，得≤eq\f(1,120)，即－eq\f(t,7)≤lneq\f(1,120)，即eq\f(t,7)≥ln120＝3ln2＋ln3＋ln5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天．思维升华已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练2(2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数)．已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg2≈0.301)()A．3hB．4hC．5hD．6h答案B解析由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，所以t＝log0.80.4＝eq\f(lg0.4,lg0.8)＝eq\f(lg\f(2,5),lg\f(4,5))＝eq\f(lg2－lg5,2lg2－lg5)＝eq\f(lg2－1－lg2,2lg2－1－lg2)＝eq\f(2lg2－1,3lg2－1)≈eq\f(2×0.301－1,3×0.301－1)＝eq\f(－0.398,－0.097)≈4.103，比较接近4.题型三构造函数模型的实际问题例3(2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)．阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8st2＝0.2st3距离d0＝30md1d2d3＝eq\f(v2,20k)m(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？解(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋eq\f(v2,20k)＝30＋v＋eq\f(v2,20k)(0≤v≤33.3)．(2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30＋v＋eq\f(v2,20k)<90恒成立．易知当v＝0时，满足题意；当0<v≤33.3时，有eq\f(1,20k)<eq\f(60,v2)－eq\f(1,v)对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立，由k∈[0.5,0.9]，得eq\f(1,20k)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,18)，\f(1,10)))，所以eq\f(60,v2)－eq\f(1,v)>eq\f(1,10)，即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20，所以0<v<20.综上，0≤v<20.所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下．思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)()A．6B．7C．8D．9答案C解析设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，又log0.850.3＝eq\f(lg0.3,lg0.85)＝eq\f(lg3－1,lg85－2)＝eq\f(lg3－1,lg17＋lg5－2)＝eq\f(lg3－1,lg17－lg2－1)≈7.4，所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.课时精练一、单项选择题1．(2023·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表：t2.03.04.05.16.18v1.54.027.51218.3用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝C．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2答案C解析从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意，C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意．2．(2023·广安模拟)在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()答案C解析在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.3．(2023·赤峰模拟)心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．已知一个学生在5min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln0.9≈－0.105，ln0.1≈－2.303)()A．0.021B．0.221C．0.461D．0.661答案A解析由题意可得20＝200(1－e－5k)，则e－5k＝eq\f(9,10)＝0.9，两边取以e为底的对数并整理得k＝eq\f(ln0.9,－5)≈0.021.4．火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lgeq\f(x,10－12).若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为()A．130dB B．140dBC．150dB D．160dB答案B解析设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，则50＝10lgeq\f(x1,10－12)，解得x1＝10－7，则火箭发射时的声强为109×10－7＝102，将其代入d(x)＝10lgeq\f(x,10－12)中，得d(102)＝10lgeq\f(102,10－12)＝140(dB)，故火箭发射时的声强级约为140dB.5．某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是()A．如果购物总额为78元，则应付款73元B．如果购物总额为228元，则应付款205.2元C．如果购物总额为368元，则应付款294.4元D．如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元答案C解析若购物总额为78元，则应付款78－5＝73(元)，故A正确；若购物总额为228元，则应付款228×0.9＝205.2(元)，故B正确；若购物总额为368元，则应付款300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误；若购物时一次性应付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应的购物额度eq\f(172.8,0.8)＝216(元)，因此购物总额为300＋216＝516(元)，故D正确．6．(2023·济南模拟)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元．由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝3eq\r(2a)－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q＝eq\f(1,4)A＋2，则投资这两座城市收益的最大值为()A．26万元 B．44万元C．48万元 D．72万元答案B解析设甲城市投资a万元，则乙城市投资(120－a)万元，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40≤a<120，,40≤120－a<120，))解得40≤a≤80，设投资这两座城市收益为y，则有y＝3eq\r(2a)－6＋eq\f(1,4)(120－a)＋2＝3eq\r(2a)－eq\f(1,4)a＋26，令eq\r(a)＝t⇒t∈[2eq\r(10)，4eq\r(5)]，则有f(t)＝－eq\f(1,4)t2＋3eq\r(2)t＋26，该二次函数的图象开口向下，且对称轴t＝6eq\r(2)∈[2eq\r(10)，4eq\r(5)]，所以f(t)max＝f(6eq\r(2))＝－eq\f(1,4)×(6eq\r(2))2＋3eq\r(2)×6eq\r(2)＋26＝44.二、多项选择题7．(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是()A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用答案ABD解析图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确；图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确．8．(2024·宿迁模拟)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分五个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖面值的3倍，则()A．a＝－ln5B．k＝15C．一等奖的面值为3130元D．三等奖的面值为130元答案ACD解析由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，因为100÷20＝5，所以eq\f(e3a＋b＋k－e4a＋b＋k,e4a＋b＋k－e5a＋b＋k)＝e－a＝5，则a＝－ln5，故A正确；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等奖的面值为3130元，故C正确．三、填空题9．某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3km(含3km)，3km后到10km(含10km)每多走1km(不足1km按1km计)加价0.5元，10km后每多走1km加价0.8元，某人坐出租车走了12km，他应付________元．答案11.1解析结合已知条件可知，某人坐出租车走了12km，应付6＋(10－3)×0.5＋(12－10)×0.8＝11.1(元)．10．(2023·西安模拟)某市拟建造一批外形为长方体的工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为6m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为800元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为1200元/m2，地面和房顶的造价共20000元．则一个这样的工作房的总造价最低为________元．答案48800解析设AB＝xm，x>0，则BC＝eq\f(6,x)m，这样的一个工作房的总造价为2×3x×800＋2×eq\f(6,x)×3×1200＋20000＝4800x＋eq\f(43200,x)＋20000，因为4800x＋eq\f(43200,x)＋20000≥2eq\r(4800x·\f(43200,x))＋20000＝48800，当且仅当4800x＝eq\f(43200,x)，即x＝3时，等号成立，所以一个这样的工作房的总造价最低为48800元．11．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝log5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为________．(填序号)答案②解析在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，如图所示．观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝log5x进行奖励符合商场的要求．12．(2024·海南模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477)________．答案8解析过滤第1次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)；过滤第2次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)；过滤第3次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)；…过滤第n次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3)．要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，则1.2(1－0.2)n≤0.2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n≥6，两边取以10为底的对数可得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n≥lg6，即nlgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5×2,8)))≥lg2＋lg3，所以n≥eq\f(lg2＋lg3,1－3lg2)，因为lg2≈0.3，lg3≈0.477，所以eq\f(lg2＋lg3,1－3lg2)≈eq\f(0.3＋0.477,1－3×0.3)＝7.77，所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，故排放前需要过滤的次数至少为8.四、解答题13．(2024·株洲模拟)研究表明：