2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第四章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第四章§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式课标要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).2．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).常用结论两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(√)(2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．(×)(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)))能根据公式tan(α－β)直接展开求值．(×)(4)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)2．(必修第一册P220T3改编)计算cos72°cos12°＋sin72°sin12°的结果为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)答案B解析cos72°cos12°＋sin72°sin12°＝cos(72°－12°)＝cos60°＝eq\f(1,2).3．(必修第一册P220T2改编)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(7\r(2),10)B．－eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)答案B解析∵α是第三象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).4．若将sinx－eq\r(3)cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝.答案eq\f(π,3)解析因为sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)cosx))，所以cosφ＝eq\f(1,2)，sinφ＝eq\f(\r(3),2)，因为0≤φ<π，所以φ＝eq\f(π,3).题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)已知tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(3,4)，则tan(2α＋β)的值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)答案A解析由tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(3,4)，得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(3,4),1－\f(1,7)×\f(3,4))＝1，tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)]＝eq\f(tanα＋tanα＋β,1－tanαtanα＋β)＝eq\f(\f(1,7)＋1,1－\f(1,7)×1)＝eq\f(4,3).(2)若sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，则sin2αcosβ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)答案B解析由sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，可得sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(1,6)，①sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝eq\f(1,2)，②由①＋②得，2sin2αcosβ＝eq\f(2,3)，所以sin2αcosβ＝eq\f(1,3).思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)(2023·榆林模拟)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝9，则tanα等于()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)答案A解析由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝9，解得tanα＝eq\f(4,5).(2)在△ABC中，已知sinA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，则cosC等于()A.eq\f(16,65) B．－eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)或eq\f(65,16) D．－eq\f(63,65)答案A解析在△ABC中，∵cosB＝eq\f(5,13)>0，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(12,13)>eq\f(\r(3),2)，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).∵sinA＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，∴A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，或A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,6)))(舍去)，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(16,65).题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式例2(1)(2023·新乡模拟)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝.答案eq\f(\r(2),2)解析由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，则C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).(2)已知函数f(x)＝sinx－2cosx，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cosθ＝.答案－eq\f(2\r(5),5)解析f(x)＝sinx－2cosx＝eq\r(5)sin(x－φ)，其中cosφ＝eq\f(\r(5),5)，sinφ＝eq\f(2\r(5),5)，则f(θ)＝eq\r(5)sin(θ－φ)＝eq\r(5)，因此θ－φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则cosθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,2)＋2kπ))＝－sinφ＝－eq\f(2\r(5),5).思维升华(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．(2)对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．跟踪训练2(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),sin80°)＝.答案4解析原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°－10°,sin20°)＝4.(2)化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝.答案1解析原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋eq\r(3)tan(20°＋10°)(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.题型三角的变换问题例3(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝.答案eq\f(7\r(2),10)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\f(π,4)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).(2)(2023·临沂模拟)已知eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，0<β<eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13)，则sin(α＋β)＝.答案eq\f(63,65)解析因为eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，所以eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋α<π，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(4,5).又因为0<β<eq\f(π,4)，所以eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋β<π，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq\f(12,13)，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝－eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×\f(5,13)))＝eq\f(63,65).思维升华(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等．跟踪训练3(1)(2024·上饶模拟)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，α为钝角，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，则tanβ等于()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，α为钝角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，又tan(α－β)＝eq\f(1,3)，则tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(－\f(1,2)－\f(1,3),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3))＝－1.(2)已知α为锐角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(5,13)，则cosα的值为．答案eq\f(5\r(3)＋12,26)解析∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(12,13)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(5,13)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(12,13)×eq\f(1,2)＝eq\f(5\r(3)＋12,26).课时精练一、单项选择题1．(2023·西宁模拟)若tanα＝－3eq\r(3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))等于()A．－eq\f(5\r(3),3)B．－eq\f(5\r(3),6)C.eq\f(5\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)答案C解析因为tanα＝－3eq\r(3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,6),1＋tanαtan\f(π,6))＝eq\f(－3\r(3)－\f(\r(3),3),1－3\r(3)×\f(\r(3),3))＝eq\f(5\r(3),3).2．已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案A解析由三角函数的定义，得sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝eq\f(1,2).3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))，则sin2α的值是()A．2eq\r(3)B.eq\f(4\r(3),7)C．－2eq\r(3)D．－eq\f(4\r(3),7)答案D解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))，即eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα＋\f(1,2)sinα))，整理得2sinα＝－eq\r(3)cosα，∴tanα＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2＋1)＝－eq\f(4\r(3),7).4．(1＋tan25°)(1＋tan20°)的值是()A．－2B．2C．1D．－1答案B解析由题意得(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°，又tan20°＋tan25°＝tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＝1－tan20°tan25°，所以(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝1＋(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2.5．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若cosα＝eq\f(1,7)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinαsinβ,cosαcosβ))＝eq\f(3\r(3),14)，0<β<α<eq\f(π,2)，则β等于()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)答案D解析由题意得，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14).∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\f(13,14).又∵cosα＝eq\f(1,7)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)，∴β＝eq\f(π,3).6．(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，则cos(2α＋2β)等于()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,9)D．－eq\f(7,9)答案B解析因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)，而cosαsinβ＝eq\f(1,6)，因此sinαcosβ＝eq\f(1,2)，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(2,3)，所以cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(1,9).二、多项选择题7．(2023·广州模拟)下列等式成立的有()A．sin15°cos15°＝eq\f(1,2)B．sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C．cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D.eq\r(3)sin15°＋cos15°＝1答案BC解析对于A，sin15°cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)，故A错误；对于B，sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝sin(75°＋15°)＝sin90°＝1，故B正确；对于C，cos105°cos75°－sin105°cos15°＝cos(105°＋75°)＝cos180°＝－1，故C正确；对于D，eq\r(3)sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin45°＝eq\r(2)，故D错误．8．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinβ＋sinγ＝sinα，cosα＋cosγ＝cosβ，则下列说法正确的是()A．cos(β－α)＝eq\f(\r(3),2) B．cos(β－α)＝eq\f(1,2)C．β－α＝eq\f(π,6) D．β－α＝－eq\f(π,3)答案BD解析由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinγ＝sinα－sinβ，,cosγ＝cosβ－cosα，))所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sinα－sinβ)2＋(cosβ－cosα)2＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝eq\f(1,2)，因为α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则－eq\f(π,2)<β－α<eq\f(π,2)，因为sinγ＝sinα－sinβ>0，函数y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，则α>β，则－eq\f(π,2)<β－α<0，故β－α＝－eq\f(π,3).三、填空题9．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值为．答案－eq\f(1,2)解析由已知得cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝－eq\f(1,2).10．求值：sin220°(tan10°－eq\r(3))＝.答案1解析原式＝－sin40°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\r(3)))＝－sin40°·eq\f(sin10°－\r(3)cos10°,cos10°)＝－sin40°·eq\f(2sin－50°,cos10°)＝eq\f(2sin40°sin50°,cos10°)＝eq\f(2sin40°cos40°,cos10°)＝eq\f(sin80°,cos10°)＝1.11．当θ∈(0，π)时，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝－eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))的值为．答案eq\f(4,3)解析因为θ∈(0，π)，所以－θ∈(－π，0)，所以eq\f(5π,6)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝－eq\f(3,5)<0，所以eq\f(5π,6)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ)))＝eq\f(4,5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)－π))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝－eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ)))＝eq\f(4,3).12．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)tanα＝.答案－4解析由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0，因此3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0，整理得8cos(α＋β)cosα＋2sin(α＋β)sinα＝0，因此sin(α＋β)sinα＝－4cos(α＋β)cosα，于是eq\f(sinα＋β,cosα＋β)·eq\f(sinα,cosα)＝－4，即tan(α＋β)tanα＝－4.四、解答题13．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosα＝2\r(2)cosβ，,cosαcosβ＝\f(3\r(2),5).))(1)求α＋β的值；(2)证明：0<α－β<eq\f(π,4)，并求sin(α－β)的值．解(1)因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα>0，cosβ>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosα＝2\r(2)cosβ，,cosαcosβ＝\f(3\r(2),5)，))解得cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(10),10)，则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,4).(2)因为α＋β＝eq\f(π,4)，sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)>sinα＝eq\f(\r(5),5)>sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且函数y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以0<β<α<eq\f(π,4)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),10).14．(2023·沈阳模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).求：(1)coseq\f(α＋β,2)的值；(2)tan(α＋β)的值．解(1)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α－eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，eq\f(α,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(\r(21),7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(3),2)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(21),14).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则eq\f(α＋β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，∵coseq\f(α＋β,2)＝－eq\f(\r(21),14)，∴sineq\f(α＋β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(7),14)，∴taneq\f(α＋β,2)＝－eq\f(5\r(3),3).∴tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),3)))2)＝eq\f(5\r(3),11).15．(2023·郑州模拟)已知角θ∈(0,2π)，θ终边上有一点(cos2－sin2，－cos2－sin2)，则θ等于()A．2 B.eq\f(3π,4)＋2C.eq\f(7π,4)－2 D.eq\f(π,2)＋2答案C解析tanθ＝eq\f(－cos2－sin2,cos2－sin2)＝－eq\f(1＋tan2,1－tan2)＝－eq\f(tan\f(π,4)＋tan2,1－tan\f(π,4)tan2)＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－2))，故θ＝eq\f(3π,4)－2＋kπ，k∈Z.又cos2－sin2<0，－cos2－sin2＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2))<0，故θ在第三象限，故k＝1，θ＝eq\f(7π,4)－2.16．(2024·厦门模拟)在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(sinα，cosα)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))，当∠AOB＝eq\f(2π,3)时，写出α的一个值为．答案－eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(答案不唯一，满足α＝－\f(π,6)＋kπk∈Z或α＝\f(π,2)＋kπk∈Z的其中一值即可))解析由题意可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(sinα，cosα)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(sin2α＋cos2α)＝1，同理可得|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，则cos∠AOB＝cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝sinαcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosαsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，所以2α＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或2α＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，解得α＝－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)或α＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．§4.4简单的三角恒等变换课标要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2．半角公式(不要求记忆)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).符号由eq\f(α,2)所在象限决定．常用结论1．二倍角公式的变形公式(1)1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升幂公式)(2)1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式)(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降幂公式)2．半角正切公式的有理化taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z)．(√)(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(√)(4)sin2eq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)＝eq\f(\r(3),2).(×)2．(必修第一册P226T2改编)cos15°等于()A.eq\r(\f(1＋cos30°,2)) B.eq\r(\f(1－cos30°,2))C．±eq\r(\f(1＋cos30°,2)) D．±eq\r(\f(1－cos30°,2))答案A解析因为15°是第一象限角，所以cos15°>0，由半角的余弦公式可知cos15°＝eq\r(\f(1＋cos30°,2)).3．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)答案D解析由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3).4．(必修第一册P223T2改编)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(7),4)，则cos2θ的值为．答案eq\f(1,8)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(7),4)，所以sinθ＝eq\f(\r(7),4)，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝eq\f(1,8).题型一三角函数式的化简例1(1)eq\r(1－sin40°)＋eq\r(\f(1－cos40°,2))的化简结果为()A．－sin20° B．－cos20°C．cos20° D．sin20°答案C解析原式＝eq\r(sin20°－cos20°2)＋eq\r(\f(1－1－2sin220°,2))＝|sin20°－cos20°|＋eq\r(sin220°)＝cos20°－sin20°＋sin20°＝cos20°.(2)化简：cos20°cos40°cos80°＝.答案eq\f(1,8)解析cos20°cos40°cos80°＝eq\f(sin20°cos20°cos40°cos80°,sin20°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°cos40°cos80°,sin20°)＝eq\f(\f(1,4)sin80°cos80°,sin20°)＝eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝eq\f(1,8).积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算．典例化简下列各式．(1)sin54°－sin18°＝；(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝.答案(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(1,2)解析(1)由和差化积公式可得，sin54°－sin18°＝2cos36°·sin18°＝2×eq\f(2sin18°cos18°cos36°,2cos18°)＝eq\f(2sin36°cos36°,2cos18°)＝eq\f(sin72°,2cos18°)＝eq\f(cos18°,2cos18°)＝eq\f(1,2).(2)由和差化积和积化和差公式可得，cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×eq\f(1,2)(cos120°＋cos26°)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋cos26°＝－eq\f(1,2).思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1(1)(2023·成都联考)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq\f(16,3)cos2eq\f(θ,2)＝1＋cos2θ，则tanθ等于()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),2)C．－eq\f(3\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)答案B解析因为eq\f(16,3)cos2eq\f(θ,2)＝1＋cos2θ，将cos2eq\f(θ,2)＝eq\f(1＋cosθ,2)，cos2θ＝2cos2θ－1代入化简，可得3cos2θ－4cosθ－4＝0，解得cosθ＝2(舍去)或cosθ＝－eq\f(2,3)，又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinθ＝eq\f(\r(5),3)，则tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(\r(5),2).(2)已知0<θ<π，则eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))＝.答案－cosθ解析原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(4cos2\f(θ,2)))＝coseq\f(θ,2)·eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2))))＝eq\f(－cos\f(θ,2)·cosθ,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))).因为0<θ<π，所以0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(θ,2)>0.所以原式＝－cosθ.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2(2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t＝eq\f(\r(5)－1,2)，则eq\f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))等于()A.eq\f(\r(5)＋1,4) B.eq\f(\r(5)－1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案D解析依题意，得t＝eq\f(sin36°,sin72°)＝eq\f(sin144°,sin72°)＝2cos72°，则eq\f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))＝eq\f(cos54°,4cos72°\r(4－2cos72°2))＝eq\f(cos54°,4cos72°\r(4sin272°))＝eq\f(cos54°,4cos72°·2sin72°)＝eq\f(sin36°,4sin144°)＝eq\f(1,4).命题点2给值求值例3(2023·济宁模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))等于()A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)答案D解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).命题点3给值求角例4已知α，β均为锐角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，则cos2α＝，2α－β＝.答案eq\f(1,7)eq\f(π,3)解析因为cosα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).又因为α，β均为锐角，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<eq\f(π,2)，又β为锐角，所以－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(π,2)，又sin(2α－β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq\f(π,3).思维升华(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．(2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解．(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．跟踪训练2(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))＝－eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,10)))＝.答案eq\f(7,25)解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,10)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))＝eq\f(7,25).(2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋eq\f(\r(3),tan80°)＝eq\f(1,sinα)，则α＝.答案50°解析因为1＋eq\f(\r(3),tan80°)＝eq\f(sin80°＋\r(3)cos80°,sin80°)＝eq\f(2sin80°＋60°,sin80°)＝eq\f(2sin140°,2sin40°cos40°)＝eq\f(sin40°,sin40°cos40°)＝eq\f(1,cos40°)＝eq\f(1,sin50°)＝eq\f(1,sinα)，所以sinα＝sin50°，又因为α为锐角，所以α＝50°.题型三三角恒等变换的综合应用例5(2023·广州模拟)若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是()A．2α＋β＝eq\f(5π,2) B．2α－β＝eq\f(3π,4)C．α＋β＝eq\f(7π,4) D．α－β＝eq\f(π,2)答案A解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα≠0，∵(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosβ，∴2sin2α(1＋sinβ)＝2sinαcosαcosβ，即sinα(1＋sinβ)＝cosαcosβ.∴sinα＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，∴cos(α＋β)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴π<α＋β<2π，且－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)－α<0，∴α＋β＝eq\f(π,2)－α＋2π，解得2α＋β＝eq\f(5π,2).思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3(2024·哈尔滨模拟)已知eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,3)，若a＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)，b＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2θ，c＝eq\f(1,cosθ)－cosθ，则a，b，c的大小关系是()A．c>a>b B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c答案C解析a＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝sinθcosθ，b＝eq\f(1,2)(1－cos2θ)＝sin2θ，c＝eq\f(1,cosθ)－cosθ＝eq\f(sin2θ,cosθ)＝sinθtanθ，又eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,3)，则sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，且tanθ>1>sinθ>eq\f(\r(2),2)>cosθ>eq\f(1,2)，所以c＝sinθtanθ>b＝sin2θ>a＝sinθcosθ.课时精练一、单项选择题1．(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cosα＝eq\f(1＋\r(5),4)，则sineq\f(α,2)等于()A.eq\f(3－\r(5),8) B.eq\f(－1＋\r(5),8)C.eq\f(3－\r(5),4) D.eq\f(－1＋\r(5),4)答案D解析因为α为锐角，所以sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(3－\r(5),8))＝eq\r(\f(\r(5)－12,16))＝eq\f(\r(5)－1,4).2．(2023·邢台模拟)1＋tan22.5°等于()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1＋\r(2),2)答案A解析由tan45°＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1，得2tan22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan22.5°＋1)2＝2，又tan22.5°>0，所以1＋tan22.5°＝eq\r(2).3．(2023·湖南师范大学附属中学模拟)已知eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝2，则tanθ等于()A.eq\f(4,3)B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(2,3)答案C解析由eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2))＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝taneq\f(θ,2)＝2，得tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(4,1－4)＝－eq\f(4,3).4．(2023·连云港模拟)已知2cos(2α＋β)－3cosβ＝0，则tanαtan(α＋β)等于()A．5B.eq\f(1,5)C．－5D．－eq\f(1,5)答案D解析2cos(2α＋β)＝3cosβ，则2cos(α＋β＋α)＝3cos(α＋β－α)，则2cos(α＋β)cosα－2sin(α＋β)sinα＝3cos(α＋β)cosα＋3sin(α＋β)sinα，即－5sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β)cosα，所以－5tan(α＋β)tanα＝1，所以tanαtan(α＋β)＝－eq\f(1,5).5．(2023·茂名模拟)已知tanα＝eq\r(2)，则eq\f(sin3α,sinα)－sin2α等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案B解析因为tanα＝eq\r(2)，所以eq\f(sin3α,sinα)－sin2α＝eq\f(sinα＋2α,sinα)－sin2α＝eq\f(sinαcos2α＋cosαsin2α,sinα)－sin2α＝cos2α＋2cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α＝3cos2α－2sin2α＝eq\f(3cos2α－2sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(3－2tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(3－2×\r(2)2,1＋\r(2)2)＝－eq\f(1,3).6．(2024·平顶山模拟)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)，则sin2α＋sin2α等于()A.eq\f(16,25)B.eq\f(4,5)C.eq\f(37,50)D.eq\f(7,10)答案D解析由eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)，知eq\f(5π,3)<α＋eq\f(π,4)<2π，因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(4,5)，所以sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(7\r(2),10)，而sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2))＝－eq\f(7,25)，所以sin2α＋sin2α＝－eq\f(7,25)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))2＝eq\f(7,10).二、多项选择题7．下列计算结果正确的是()A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,8)C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－eq\f(1,2)D．2sin18°cos36°＝eq\f(1,2)答案BD解析对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以A错误；对于B，sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cos15°＝eq\f(1,2)sin15°cos15°＝eq\f(1,4)sin30°＝eq\f(1,8)，所以B